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相关试卷

1、已知常数 $a > 0$ ， $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + a x}$ 的图象经过点 $P (p, \frac{6}{5}), Q (q, - \frac{1}{5})$ ，且 $2^{p + q} = 36 p q$ ，则（）

A、 $a = 6$ B、 $f (x)$ 的图象与 $y = 1$ 无限接近但又不与该直线相交 C、 $\forall x \in (2, + \infty)$ ，不等式 $f (x) > \frac{1}{a - 2}$ 恒成立 D、方程 $f (2 x) = f (x)$ 有且只有一个实数解

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2、已知 $a$ ， $b$ 为正数，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为3

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3、设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝ $\{\begin{matrix} a, a \leq b \\ b, a > b \end{matrix}$
a∨b＝ $\{\begin{matrix} b, a \leq b \\ a, a > b \end{matrix}$ 若正数a，b，c，d满足ab≥4，c＋d≤4，则(　　)

A、a∧b≥2，c∧d≤2 B、a∧b≥2，c∨d≥2 C、a∨b≥2，c∧d≤2 D、a∨b≥2，c∨d≥2

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}$ ，若 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数，则（）

A、 $a = 1, b = - 1$ B、 $a = 1, b = 1$ C、 $a = - 1, b = - 1$ D、 $a = - 1, b = 1$

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5、已知函数 $f (x) = \sqrt[n]{x^{n}}$ ， $g (x) = x, n > 1$ ， $n \in N^{*}$ ，则“ $n$ 为奇数”是“ $f (x), g (x)$ 是同一个函数”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} - k x - 8$ 在 $[3, 4]$ 上具有单调性，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[6, 8]$ B、 $(- \infty, 6] \cup [8, + \infty)$ C、 $[8, + \infty)$ D、 $(- \infty, 6]$

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7、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{4 - x}}{x - 1}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(1, 4]$ C、 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1) \cup (1, 4]$

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8、函数 $f (x) = 3^{x} + 1$ ，则 $f (x)$ 的值域为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x (x + 4), x \geq 0 \\ x (x - 4), x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、21 B、 $- 3$ C、 $- 21$ D、3

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10、直线 $l_{1}$ 经过点 $A (- 2, 0)$ ，倾斜角为 $α, 0 < α < \frac{π}{2}$ ，直线 $l_{2}$ 经过点 $B (2, 0)$ ，倾斜角为 $α + θ$ .两直线相交于点P.

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ；
（i）请用 $\tan α$ 表示线段PB中点Q的坐标；
（ⅱ）求证：线段PB中垂线过定点.

(2)、当 $α = \frac{π}{6}, θ = \frac{π}{3}$ 时，椭圆 $τ$ 以A、B为焦点，且经过点P，H为椭圆 $τ$ 的上顶点.
（i）求椭圆 $τ$ 的标准方程；
（ⅱ）若直线 $y = k x + m$ 与椭圆 $τ$ 交于M、N，若 $H M = H N$ .求k的取值范围.

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11、已知直线 $x - y + 2 = 0$ 和圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0$ ，过直线上的一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 作两条直线PA，PB与圆C相切于A，B两点，如下图所示.

(1)、当P点坐标为 $(2, 4)$ 时，求以PC为直径的圆的方程，并求直线AB的方程；

(2)、直线l经过点P，与圆C交于M，N两点求 $P M \cdot (P M + P N)$ 的最小值.

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12、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $2 B C = 2 B B_{1} = B A = 2$ ，点M为棱 $A A_{1}$ 上的动点（含端点）.

(1)、求二面角 $A - D_{1} C - D$ 的余弦值；

(2)、当 $A M$ 的长度为何值时，直线 $B_{1} M$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的正弦值最小，并求出最小值.

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13、在正四面体 $O - A B C$ 中，E，F，G，H分别是OA，AB，BC，OC的中点.设 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}, \vec{F G}$ ；

(2)、求证：FH与GE相交；

(3)、求证：四边形EFGH为矩形.

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14、已知 $A (1, 3), B (2, - 1)$ .

(1)、求AB的中垂线方程；

(2)、求经过A、B两点的椭圆的标准方程.

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15、正四面体 $A - B C D$ 的边长为6，其外接球球心为点O，P为CD边的中点，点Q在 $△ A B C$ 内部及边上运动，则 $\vec{P O} \cdot \vec{P Q}$ 取值范围为.

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16、一个圆经过椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的三个顶点，且圆心在y的正半轴上，则该圆的标准方程为.

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17、两条平行直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $6 x + b y + 10 = 0$ 间的距离是.

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，长轴长为4，点 $P (\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A、离心率的取值范围为 $(0, \frac{1}{2})$ B、当离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时， $|Q F_{1}|$ 的最大值为 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、不存在点Q，使得 ${\overset{⃑}{Q F}}_{1} \cdot \overset{⃑}{Q F_{2}} = 0$ D、 $\frac{4}{|Q F_{1}|} + \frac{1}{|Q F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{4}$

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19、下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ ： $x + y + 2 = 0$ 在y轴上的截距为2 B、直线 $x + y + 1 = 0$ 的方向向量为 $(1, - 1)$ C、经过点 $P (2, 1)$ ，且在x，y轴上截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ D、已知直线 $l$ 过点 $(2, 1)$ ，且与x，y轴正半轴交于点A、B两点，则 $△ A O B$ 面积的最小值为4

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20、在本学期空间向量与立体几何的学习中，有同学发现：数轴上，方程 $A x + B = 0 (A \neq 0)$ 可以表示数轴上的点；平面直角坐标系xOy中，方程 $A x + B y + C = 0$ （A、B不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，方程 $A x + B y + C z + D = 0$ （A、B、C不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .根据上述材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x + y + 1 = 0$ ，直线l是两平面 $2 x - y + z = 0$ 与 $x + 2 y + 2 = 0$ 的交线，则直线l与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{10}$

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