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相关试卷

1、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = - x^{3} + x^{2}$ ，则当 $x > 0$ 时， $f (x) =$ .

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2、若幂函数 $f (x)$ 经过点 $(8, 2)$ ，则 $f (27) =$ .

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3、已知函数 $f (x) = x |x - \frac{m}{2}|$ ，下列说法正确的是（）

A、存在实数m，使得 $f (x)$ 为偶函数； B、存在实数m，使得 $f (x)$ 为奇函数； C、任意实数 $M > 0$ ，存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) > M$ ； D、若 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上单调递减， $b - a$ 的最大值为 $\frac{|m|}{2}$

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4、狄利克雷是德国数学家，他在数学领域做出了卓越的贡献.狄利克雷先在德国受教育后来到法国向很多著名的数学家学习，其首篇论文是费马大定理 $n = 5$ 的情况，后来亦证明了 $n = 14$ 的情况.迪利克雷函数是以他的名字命名的特殊函数： $D (x) = \{\begin{array}{l} 1, x 是有理数 \\ 0, x 是无理数 \end{array}$ ，有关该函数的图象，下列判断不正确的是（）

A、图象是连续的 B、图象是折线段 C、图象关于y轴对称 D、图象能画出

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5、下列结论中，正确的是（）

A、函数 $y = 2^{x - 1}$ 是指数函数 B、函数 $y = {(\frac{1}{3})}^{- x^{2} + 2 x}$ 的单调增区间是 $(1, + \infty)$ C、若 $a^{m} > a^{n} (a > 0, a \neq 1)$ 则 $m > n$ D、函数 $f (x) = a^{x - 2} - 3 (a > 0, a \neq 1)$ 的图象必过定点 $(2, - 2)$

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6、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1 - x) = f (5 + x)$ ， $f (x)$ 在 $(- \infty, 3]$ 上单调递减， $f (0) = 0$ ，则 $f (2 - 3 x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (2, + \infty)$ B、 $(\frac{2}{3}, 2)$ C、 $(- \frac{4}{3}, \frac{2}{3})$ D、 $(- \infty, - \frac{4}{3}) \cup (\frac{2}{3}, + \infty)$

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7、设 $a > b > c, n \in N$ ，且 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} \geq \frac{n}{a - c}$ 恒成立，则 $n$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、若函数 $f (x) = \frac{1}{a x^{2} + b x + c}$ 的部分图象如图所示，则 $f (5) =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{1}{12}$ C、 $- \frac{1}{6}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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9、函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{x} + x - 2$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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10、“ $x < y < 0$ ”是“ $x^{2} > y^{2}$ ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、函数 $y = \frac{\sqrt{1 - x}}{x^{2} + 2 x - 3}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1]$ B、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, 1]$

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12、四面体 $O A B C$ ， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ C O A = 60 °, |O A| = 1, |O B| = 2, |O C| = 4$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、求 $O C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值；

(3)、求四面体 $O A B C$ 的外接球半径．

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13、已知 $⊙ C$ 过点 $A (0, - 6)$ 和 $B (1, - 5)$ ，且圆心C在直线 $l : x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求 $⊙ C$ 的标准方程；

(2)、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过圆心C，且与直线 $x + y - 5 = 0$ 切于点T，求 $△ T A B$ 的面积．

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14、在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $A B = 1, A E ⊥$ 平面CDE， $A E = D E = \sqrt{6}$ ， F为线段DE上的一点．

(1)、求证：平面 $A E D ⊥$ 平面ABCD；

(2)、若二面角 $E - B C - F$ 与二面角 $F - B C - D$ 的大小相等，求DF的长．

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [t, 2 t]$ $([t, 2 t] \subseteq [0, 2 π])$ 时， $|f (x)| \leq 1$ 恒成立，求实数 $t$ 的最大值．

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16、在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组 $[40, 50)$ ．第二组 $[50, 60)$ ， ……第六组 $[90, 100]$ ，画出频率分布直方图如图所示，

(1)、估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数；

(2)、估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、从 $[60, 70), [70, 80)$ 两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中恰好只有1名同学成绩在 $[70, 80)$ 之间的概率．

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17、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过原点的直线与双曲线交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若 $△ M N F$ 的面积为 $2 a^{2}$ ，则双曲线的渐近线方程为．

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18、正六棱台上、下底面边长分别是 $2cm$ 和 $6cm$ ，侧棱长是 $5cm$ ，则它的体积是．

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19、某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：4，7，7，8，9，5，9，7，10，4则平均命中环数为；命中环数的标准差为．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，半焦距长为 $1$ ，点 $P (1, 1)$ 在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A、 $|Q F_{1}| + |Q P|$ 的最小值为 $2 \sqrt{a} - 1$ B、椭圆 $C$ 的短轴长可能为2 C、椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $(0, \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$ D、若 $\vec{P F_{1}} = \vec{F_{1} Q}$ ，则椭圆 $C$ 的长轴长为 $\sqrt{5} + \sqrt{17}$

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