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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，若点M在四边形 $A B C D$ 内（包含边界）运动，N为 $P D$ 的中点， $P D = 4$ ， $∠ P D A = ∠ P D C = \frac{π}{3}$ ，则（）．

A、当M为 $A D$ 的中点时，异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ B、当 $M N ∥$ 平面 $P B C$ 时，点M的轨迹长度为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{4}$ 时，点M到 $A B$ 的距离可能为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、点Q是四棱锥外接球上的一点，则 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q D}$ 的最大值是 $8 + 8 \sqrt{2}$

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2、已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）．

A、 $|z| = 1$ B、 $z^{2} = \bar{z}$ C、 $1 + z + z^{2} = 2$ D、 $z$ 是方程 $x^{3} = 1$ 的根

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3、已知正实数a，b满足 $\sin a + e^{a} = b + e^{b}$ ，则（）．

A、 $a \leq b$ B、 $a^{- \frac{1}{2}} > b^{- \frac{1}{2}}$ C、 $a > \ln b$ D、 $b > e^{a}$

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4、设抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若 $∠ P Q F = 30 °$ ，则 $|P Q| =$ （）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、已知直线 $l : m x + y - m - 1 = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于M、N两点，则 $|\vec{C M} + \vec{C N}|$ 的最大值为（）．

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6、设直线 $b$ 与平面 $α$ 相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（）

A、平面 $α$ 内的直线与直线 $b$ 都不垂直 B、过直线 $b$ 的平面与平面 $α$ 都不垂直 C、与直线 $b$ 垂直的直线可能与平面 $α$ 垂直 D、与直线 $b$ 平行的平面可能与平面 $α$ 垂直

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7、 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α + π)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，并且满足 $S_{3} = 15$ ， $S_{7} = 77$ ，则 $a_{6}$ 为（）．

A、17 B、15 C、11 D、9

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9、已知集合 $A = \{x |\lg x \leq 0\}$ ， $B = \{x |10^{x} \leq 10\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a (\sqrt{3} \sin B + \cos B) = b + c$ ．

(1)、求角 $A$ ．

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D = 2$ ．
①若 $B D = 2 D C$ ，求当 $B C$ 取最小值时 $\frac{c}{b}$ 的值；
②若 $A D$ 为角平分线，求 $A B + 3 B D$ 的取值范围．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，且 $A B = 2$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 1$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B E D$ 的体积；

(3)、求二面角 $P - B D - E$ 的平面角的大小．

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12、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求它的对称中心的坐标；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $m (0 < m < \frac{π}{2})$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图像， $g (x)$ 为偶函数，求函数 $y = f (x) g (x) + \frac{3}{4}$ 的单调递减区间．

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13、已知向量 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ .

(1)、求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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14、已知向量 $\vec{a} = (3, 0)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标是.

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P在线段 $B_{1} C$ 上运动，则下列结论正确的是（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、三棱锥 $P - A_{1} C_{1} D$ 的体积为定值 C、异面直线 $A P$ 与 $A_{1} D$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ D、当P为 $B_{1} C$ 的中点时，直线 $C_{1} P$ 与平面 $A_{1} C_{1} D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f (x - 1)$ 是奇函数，当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 1]$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为4 C、 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上有3个零点 D、 $f (5) = f (4)$

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17、下列选项中，值为 $\frac{1}{4}$ 的是（）

A、 $sin 15^{\circ} sin 75^{\circ}$ B、 $cos 36^{\circ} cos 72^{\circ}$ C、 $\frac{sin 56^{\circ} + sin 4^{\circ}}{cos 56^{\circ} + cos 4^{\circ}}$ D、 $\frac{tan 15^{\circ}}{1 + {tan}^{2} 15^{\circ}}$

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18、在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在边 $B C$ 上，且满足 $|B D| = \frac{1}{4} |B C|$ ，点 $E$ 为线段 $A D$ 上任意一点（除端点外），若实数 $x$ ， $y$ 满足 $\vec{B E} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2} + 6$ C、 $2 \sqrt{2} + 5$ D、9

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19、设函数 $y = f (x) - x^{2}$ 是奇函数.若函数 $g (x) = f (x) + 5, f (4) = 9$ ，则 $g (- 4) =$ （）

A、28 B、33 C、38 D、43

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20、若 $s i n (π - α) = \frac{1}{3}$ ，且 $\frac{π}{2} < α < π$ ，则 $s i n 2 α$ 的值为 $($ 　　 $)$

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{9}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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