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相关试卷

1、某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为 $t$ ，规则如下：
①当 $0 < t \leq 3$ 的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值 $E$ （单位：EXP）与
游玩时间 $t$ （单位：小时）满足关系式： $E = t^{2} + 20 t + 20 a (t > 0)$ ；
②当 $3 < t \leq 5$ 的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；
③当 $t > 5$ 的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.

(1)、写出 $E$ 与 $t$ 的函数关系式 $E = f (t)$ ，并求出当 $a = 2$ ， $t = 6$ 时的 $E$ 值；

(2)、该游戏厂商把 $E$ 与 $t$ 的比值称为“玩家愉悦指数”，记为 $H (t)$ ，直接写出函数 $H (t)$ 的解析式；

(3)、在(2)的条件下，若 $a = \frac{5}{16}$ ，当 $t \leq 5$ 时，求 $H (t)$ 的最小值.

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2、已知函数 $f (x) = 1 - \frac{a \cdot 3^{x}}{3^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求 $a$ 的值，判断 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性并说明理由；

(2)、已知 $f (m - 1) + f (m - 3) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知幂函数 $f (x) = {(m - 1)}^{2} x^{m^{2} - 5 m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，函数 $g (x) = 2^{x} - k$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、记集合 $A = \{y ∣ y = f (x), x \in [1, 2]\}$ ，集合 $B = \{y ∣ y = g (x), x \in [1, 2]\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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4、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{2 - x}}{ln x}$ ，则 $f (x + 1)$ 的定义域为．

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5、已知 $10^{2 a} = 5$ ， $10^{b} = 2$ ，则（）

A、 $a < b$ B、 $2 a + b = 1$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b < - 3$ D、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} > 9$

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6、已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ， $b \in R$ ，则函数 $f (x) = b x - a$ 与 $g (x) = b \cdot a^{x}$ 在同一坐标系内的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、设集合 $A = \{x |0 < x \leq 4\}$ ， $B = \{y |0 < y \leq 1\}$ ，则从 $A$ 到 $B$ 的函数 $f (x)$ 可能为（）

A、 $f (x) = x^{- 1}$ B、 $f (x) = \sqrt{x}$ C、 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2}$ D、 $f (x) = \frac{1}{5} x$

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8、“ $\frac{x - 1}{x + 1} \leq 1$ ”是“ $x^{2} - 2 x - 3 < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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9、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - 2 (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ )在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $x \ln x + x > k (x - 1)$ 成立，求整数 $k$ 的最大值.

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间与极值；

(2)、若 $f (x) \leq x^{2}$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2024} x^{2024} (x \in R)$ ，求解：

(1)、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2023}$ ；

(2)、 $|a_{0}| + |a_{1}| + |a_{2}| + \dots + |a_{2024}|$ ；

(3)、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + 2024 a_{2024}$ ．

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12、3名男生与4名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数．按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．

(1)、从中选出1名男生和3名女生排成一列；

(2)、全体站成一排，男生必须站一起；

(3)、全体站成一排，甲不站排头，乙站在排尾．

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13、 $(x + 2 y) {(x - y)}^{6}$ 展开式中 $x^{3} y^{4}$ 的系数为．

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14、某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），记 $A =$ “男生甲被选中”， $B =$ “男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下列结论中正确的是（）

A、 $P (A) = \frac{3}{7}$ B、 $P (B) = \frac{2}{7}$ C、 $P (A B) = \frac{9}{35}$ D、 $P (B |A) = \frac{3}{5}$

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15、已知离散型随机变量 $X$ 的分布列如下所示，则下列结论正确的是（）
$X$
-2
1
3
$P$
$2 a$
$\frac{1}{4}$
$a$

A、 $a = \frac{3}{4}$ B、 $E (X) = 0$ C、 $D (2 X) = 9$ D、 $P (\frac{1}{2} < X < \frac{7}{2}) = \frac{1}{2}$

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16、甲､乙､丙､丁､戊､己共6名同学进行数学文化知识比赛，决出第1名到第6名的名次.甲､乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都不是第一名.”对乙说：“你和丙的名次是相邻的.”从对这两人回答分析，这6人的名次排列的所有可能不同情况有（）种.

A、144 B、156 C、168 D、192

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17、在 ${(2 x - 1)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数是（）

A、 $- 80$ B、 $- 40$ C、20 D、80

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18、已知函数 $f (x) = ln \frac{x}{2 - x} + a x + b {(x - 1)}^{3}$

(1)、若 $b = 0$ ，且 $f^{'} (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的最小值；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(1, a)$ 中心对称；

(3)、若 $f (x) > - 2$ 当且仅当 $1 < x < 2$ ，求 $b$ 的取值范围.

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19、已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x) = 4^{x} + a \cdot 4^{- x}$ 和奇函数 $g (x) = 4^{x} + b \cdot 4^{- x}$ ．
（1）求 $a, b$ 的值；
（2）当 $x \in (- \frac{1}{2}, 0)$ 时，不等式 $f (2 x) - k \cdot g (x) + 1 \geq 0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）若方程 $f (x) = m \cdot 4^{x} - m$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上恰有一个实根，求实数 $m$ 的取值范围．

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20、如图，平行四边形 $E F G H$ 的四个顶点分别在空间四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C, C D, D A$ 上，求证： $B D / /$ 平面 $E F G H$ ．

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$X$	-2	1	3
$P$	$2 a$	$\frac{1}{4}$	$a$