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相关试卷

1、已知 $P (B| A) = \frac{1}{2}$ ， $P (A) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (A B)$ 等于（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{9}{10}$ D、 $\frac{5}{4}$

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2、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 $△ A B C$ 中，试解决以下问题：

(1)、 $G$ 是三角形的重心（三条中线的交点），过点 $G$ 作一条直线分别交 $A B, A C$ 于点 $M, N$ ．
（ⅰ）记 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，请用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A G}$ ；
（ⅱ） $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，求 $m + n$ 的最小值．

(2)、已知点 $O$ 是 $△ A B C$ 的垂心（三条高的交点），且 $\vec{A O} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，求 $cos ∠ B A C$ ．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $\sqrt{3} cos A (c cos B + b cos C) = a sin A$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 7$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，求 $\frac{R}{r}$ 的最小值．

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4、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设向量 $\overset{⃑}{m} = (b + c, \sin A)$ ， $\overset{⃑}{n} = (a + b, \sin C - \sin B)$ ，且 $\overset{⃑}{m} ∥ \overset{⃑}{n}$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活、蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．

(1)、求该蒙古包的侧面积．

(2)、求该蒙古包的体积．

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6、已知向量 $\vec{a} = (3, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (4, 1)$ ．

(1)、求 $\vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}$

(2)、若 $(\vec{a} + k \vec{c}) ⊥ (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，求实数 $k$ 的值．

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7、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，各棱长均为2，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为.

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8、在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为 $\vec{G}$ ，两臂拉力分别为 $\vec{F_{1}}$ ， $\vec{F_{2}}$ ，若 $| \vec{F_{1}} | = | \vec{F_{2}} |$ ， $\vec{F_{1}}$ 与 $\vec{F_{2}}$ 的夹角为 $θ$ ，则以下四个结论中：
① $| \vec{F_{1}} |$ 的最小值为 $\frac{1}{2} | \vec{G} |$ ；
②当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = \frac{\sqrt{2}}{2} | \vec{G} |$ ；
③当 $θ = \frac{2 π}{3}$ 时， $| \vec{F_{1}} | = | \vec{G} |$ ；
④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为．

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9、已知 $\vec{a} = (- 3, 0)$ ， $\vec{b} = (3, 4)$ ，则 $2 \vec{a} + \vec{b} =$ ．

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10、如图所示，四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是由斜二测画法得到的平面四边形 $A B C D$ 水平放置的直观图，其中， $A^{'} D^{'} = 5$ ， $C^{'} D^{'} = C^{'} B^{'} = 2$ ，点 $P^{'}$ 在线段 $C^{'} D^{'}$ 上， $P^{'}$ 对应原图中的点 $P$ ，则在原图中下列说法正确的是（）

A、四边形 $A B C D$ 的面积为14 B、与 $\overset{⃑}{A B}$ 同向的单位向量的坐标为 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ C、 $\overset{⃑}{A D}$ 在向量 $\overset{⃑}{A B}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{9}{5}, - \frac{12}{5})$ D、 $| 3 \overset{⃑}{P A} + \overset{⃑}{P B} |$ 的最小值为17

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 B、 $f (x + \frac{π}{6})$ 为奇函数 C、 $f (x)$ 在区间 $[- π, - \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称

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12、已知正四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，高为 $\sqrt{14}$ ，则该四棱台的表面积为（）

A、 $10 + 6 \sqrt{15}$ B、34 C、 $20 + 12 \sqrt{15}$ D、68

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13、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{b} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = - 7$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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14、已知α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A、若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l B、若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β C、若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α D、若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线

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15、与 $\vec{a} = (- 1, 4)$ 共线的向量是（）

A、 $(- 1, - 4)$ B、 $(1, - 4)$ C、 $(1, 4)$ D、 $(4, 1)$

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16、设函数 $f (x) = (x + 2) \ln (x + 1) - a x$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\begin{matrix} 0, f (0) \end{matrix})$ 处的切线斜率为1.

(1)、求a的值；

(2)、设函数 $g (x) = f^{'} (x)$ ，求 $g (x)$ 的最小值.

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17、某医院有内科医生7名，外科医生5名，现选派4名参加赈灾医疗队，其中.

(1)、甲、乙有且仅有一人参加，有多少种选法？

(2)、队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？

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18、已知函数 $f (x) = ln x - a x + 2 (a \in R)$ 有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = 64$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积，则 $T_{n}$ 取最大值时，n的值为.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{(2 n - 1) π}{4}$ ， $b_{n} = \tan a_{n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则下列说法正确的是（）

A、 $b_{n} = {(- 1)}^{n - 1}$ B、 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots + b_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}$ C、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，则 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} = \frac{{(- 1)}^{n} n π}{4}$ D、若 $d_{n} = b_{n} S_{n}$ ，则 $d_{1} + d_{2} + d_{3} + \dots + d_{2 n} = - \frac{π}{4} (2 n^{2} + n)$

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