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相关试卷

1、高一年级张三同学在学习基本不等式过程中，遇到了以下问题：“已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + y = 1$ ，求 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值”，张三同学的解答过程如下：
∵ $x > 0$ ， $y > 0$ ，根据基本不等式可得： $1 = x + y \geq 2 \sqrt{x y}$ ， ∴ $\frac{1}{\sqrt{x y}} \geq 2$ ，
∵ $x > 0$ ， $y > 0$ ，根据基本不等式可得： $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x y}}$ ，
∴ $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} \geq 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x y}} \geq 2 \sqrt{2} \cdot 2 = 4 \sqrt{2}$ ， ∴ $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ ．

(1)、指出张三同学解答过程的错误之处并给出正确的解答过程；

(2)、求函数 $f (x) = \frac{1}{2 x} + \frac{2}{1 - x}$ ， $x \in (0, 1)$ 的最小值．

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2、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 的定义域为．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 1$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (f (x)) < 0$ 的解集为空集，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3, - 2)$ B、 $[- 3, - 2]$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, - 2]$

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4、设函数 $f (x) = x + 2$ ， $g (x) = x^{2}$ ．用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，记为 $M (x) = \max \{f (x), g (x)\}$ ，则 $M (x)$ 的最小值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、4

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5、已知函数 $y = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2 ．$

(1)、若不等式 $y > - \frac{1}{4}$ 的解集为R ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式： $(a - 1) x^{2} + x + 1 \geq 0$

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6、为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 $A B C D$ ，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 $1440 {cm}^{2}$ .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为 $2 cm$ .设直角梯形的高为 $x cm$ .

(1)、当 $x = 20$ 时，求海报纸的面积；

(2)、为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 $A B C D$ 的面积最小）？

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7、已知集合 $A = \{x |x \leq 1 - a 或 x > 1 + a\}$ ， $B = \{x |x < - 1 或 x \geq 2\}$ ．

(1)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

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8、根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)、图象经过点 $(1, - 2)$ ， $(0, - 3)$ ， $(- 1, - 6)$ ；

(2)、当 $x = 3$ 时，函数有最小值5，且经过点 $(1, 11)$ .

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9、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |- 2 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x |1 < x < 5\}$ .

(1)、求 $A \cup B$ ， $A \cap B$ ；

(2)、求： $(∁_{U} A) \cap B$

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10、若对任意 $x \in [- 1, 2]$ ，均有 $x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a - 2 > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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11、若 $A = \{0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{0\}$ ，并有以下7个关系式：
① $B \notin A$ ；② $A \subseteq A$ ；③ $B \subseteq A$ ；④ $0 \in A$ ；⑤ $\emptyset = B$ ；⑥ $\emptyset \subseteq \emptyset$ ；⑦ $\emptyset = \emptyset$
其中正确的有（填序号）．

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12、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 > 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 3 a x + 4 \leq 0\}$ ，若 $a > 0$ ，且 $A \cap B$ 中恰好有两个整数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{29}{15}, \frac{20}{9})$ B、 $(\frac{29}{15}, \frac{20}{9})$ C、 $[\frac{13}{9}, \frac{20}{9})$ D、 $(\frac{5}{3}, \frac{20}{9})$

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13、设 $x \in R$ ，则“ $0 < x < 1$ ”是“ $0 < x < 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、若 $x > 0$ ，则 $y = x + \frac{4}{x}$ 的最小值为（）

A、4 B、5 C、6 D、8

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15、下列关系中，正确的是（）

A、 $- 2 \in N_{+}$ B、 $π \in Q$ C、 $0 \in N$ D、 $\frac{3}{2} \in Z$

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16、如图.在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是直角梯形. $∠ A B C = ∠ B C D = ∠ A D P = 90^{\circ}$ ，且 $A B = P B = 2, P A = 2 \sqrt{2}, B C = C D = 1, E$ 为 $P A$ 中点.

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $P D$ 上是否存在点 $M$ ，使得平面 $M A B$ 与平面 $M B C$ 夹角的余弦值为 $\frac{1}{5}$ ？若存在，求出点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内（包括边界）一动点， $F$ 为 $C C_{1}$ 的中点，则（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $C P ⊥ A_{1} B$ C、若 $A P = 3$ ，则 $\cos ∠ P A B$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、满足 $B P ⊥ A F$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $\sqrt{2}$

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18、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $\vec{A B} = (- 1, 1, 0), \vec{A D} = (- 1, 0, 1), \vec{A P} = (0, 0, 1)$ ，则这个四棱锥的高为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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19、下列各项中， $f (x)$ 与 $g (x)$ 表示同一函数的是（　　）

A、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2} ， g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} ， g (x) = \sqrt{2 + x} \cdot \sqrt{2 - x}$ C、 $f (x) = x^{2} ， g (t) = t^{2}$ D、 $f (x) = |x - 1| ， g (x) = \{\begin{array}{l} x - 1 ， & x \geq 1 \\ 1 - x ， & x < 1 \end{array}$

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20、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $∠ A D C = 90 °$ ， $A D = A B = 2, D C = 4$ ， $△ P A D$ 为等边三角形，点 $E$ ， $F$ 分别为 $A D, A B$ 的中点．

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $P E F$ ；

(2)、求平面 $P E F$ 与平面 $P C D$ 所成角的余弦值；

(3)、点 $M$ 为线段 $D C$ 上的动点，求直线 $P M$ 与平面 $P E F$ 所成角的正弦值的取值范围．

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