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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数， $f (x + 2) = f (x + 1) - f (x)$ ，当 $0 \leq x < 6$ 时， $f (x) = 5 - 2 x$ ，则 $f (7) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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2、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $a = 1, A = 135^{\circ}$ ，则 $\frac{b + 2 c}{sin B + 2 sin C}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

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3、若 $z = \frac{3 + i}{2 - i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $i$ B、 $1$ C、 $- i$ D、 $- 1$

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4、已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}$ ，集合 $A = {2, 4, 5}$ ，集合 $B = {1, 3, 5, 7}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${6, 8}$ B、 ${6}$ C、 ${8}$ D、 ${1, 6, 8}$

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5、一家货物公司计划租地建造仓库存储货物，经过市场调查了解到下列信息：每月库存货物费 $y_{1}$ （单位：万元）与仓库到车站的距离 $x$ （单位：km）成正比；每月土地占地费用 $y_{2}$ （单位：万元）与 $x + 5$ （单位：km）成反比，当在距离车站5km处建仓库时， $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 的费用分别为1万元和8万元．

(1)、若使每月土地占地费用与每月库存货物费之和不超过7.2万元，则仓库到车站的距离 $x$ （单位：km）应该在什么范围？

(2)、这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使得两项费用之和最小？并求出最小值．

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6、给定函数 $f (x) = x + 2, g (x) = x^{2}, x \in R .$ 用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较大者，即 $M (x) = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), f (x) < g (x) \end{array}$ ，

(1)、请用图象法表示函数 $M (x)$ ，注：画出： $x \in [- 4, 4]$ 上的图象即可；

(2)、写出函数 $M (x)$ 的单调区间和值域；

(3)、若 $M (a) \leq 3$ ，求 $a$ 的取值范围.

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7、已知函数 $f (x) = a x + \frac{b}{x}$ ，其中a，b为常数，且 $f (1) = 5$ ， $f (2) = 4$ ．

(1)、求a，b的值；

(2)、利用单调性的定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 上是减函数；

(3)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上的最大值和最小值．

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8、已知函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$

(1)、若 $m = - \frac{1}{2}$ ，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集

(2)、若关于x的不等式 $f (x) < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围

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9、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、若 $y = f (x)$ 是一次函数，满足 $f (f (x)) = 16 x + 5$ ，则 $f (x) = 4 x - 1$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ D、函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x + 2$ 在 $[m, 0]$ 上的值域为 $[2, 6]$ ，则 $m$ 的取值范围为 $[- 4, - 2]$

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10、已知集合 $A = \{- 1, 3\}, B = \{x ∣ a x = 1\}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则 $a$ 的取值可能是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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11、命题“ $\exists x \leq 0, x^{2} - 2 x + 2 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ B、 $\forall x \leq 0, x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ C、 $\forall x \leq 0, x^{2} - 2 x + 2 \geq 0$ （C和B重复了） D、 $\forall x \leq 0, x^{2} - 2 x + 2 > 0$

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12、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $∠ A C D = ∠ B D C = \frac{π}{2}$ ， $A C = B D = 1$ ， $C D = x$ ，记二面角 $A - C D - B$ 的大小为 $θ$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点．

(1)、求证： $C D ⊥ M N$ ；

(2)、用 $x$ ， $θ$ 表示三棱锥 $M - C D N$ 的体积；

(3)、设在三棱锥 $A - B C D$ 内有一个半径为 $r$ 的球， $0 < x \leq 2$ ，且 $θ = x$ ，求证： $r < \frac{1}{4}$ ．

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13、经过原点 $O$ 的直线与圆 $M$ ： ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，过点 $C (1, 0)$ 且与 $A B$ 垂直的直线与圆 $M$ 的另一个交点为 $D$ ．

(1)、当点B的坐标为 $(- 1, - 2)$ 时，求直线 $C D$ 的方程；

(2)、记点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $F$ （异于点 $A$ ， $B$ ），求证：直线 $B F$ 恒过 $x$ 轴上的一个定点；

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积 $S$ 的取值范围．

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14、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}, B C = \sqrt{3}, A C ⊥ C D$ ，且 $A C = C D$ .

(1)、若 $cos ∠ B A C = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ ，求 $A C$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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15、已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (1, 2)$ ，边 $B C$ 的中线 $A P$ 所在直线方程为 $x + 2 y - 2 = 0$ ，边 $A B$ 上的高 $C H$ 所在直线方程为 $x - y - 1 = 0$ ．

(1)、求A的坐标；

(2)、求点A到直线 $B C$ 的距离．

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16、已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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17、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上一动点， $E$ 是棱 $C D$ 上一点，若 $∠ A P B = ∠ D P E$ ，且 $△ A P B$ 的面积是 $△ D P E$ 面积的9倍，则三棱锥 $P - A B E$ 体积的最大值是．

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18、已知在 $Δ A B C$ 所在的平面内有一点 $P$ ，满足 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{A B}$ ，则 $Δ P B C$ 与 $Δ A B C$ 的面积之比是．

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为.

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20、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P B$ ，则（）

A、 $△ P A D$ 的面积为定值 B、 $∠ A P D = ∠ B P C$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 表面积的最小值为 $3 \sqrt{5} + 4$ D、若四棱锥 $P - A B C D$ 存在内切球，则该球半径为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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