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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A \cos (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 3$ B、 $φ = \frac{π}{4}$ C、直线 $x = \frac{π}{3}$ 为 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、将 $f (x)$ 图象上的所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度得到 $y = - 2 \sin 3 x$ 的图象

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2、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，若 $x + 9 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、14 B、16 C、18 D、20

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3、将一个半径为 $2 cm$ 的金属球熔化后，先浇铸成 $6$ 个半径为 $1 cm$ 的小球，再把剩余材料铸成 $1$ 个正方体，则该正方体的棱长大约为（）

A、 $1.5 cm$ B、 $2 cm$ C、 $2.5 cm$ D、 $3 cm$

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4、函数 $f (x) = \frac{(1 + x^{2}) sin x}{1 - x^{2}}$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5、下列命题中为真命题的是（）

A、有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 B、棱柱的每个面都是平行四边形 C、正四棱柱是平行六面体 D、长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体

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6、把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为 $θ_{1} ℃$ ，空气的温度为 $θ_{0} ℃$ ，那么 $t min$ 后物体的温度 $θ$ （单位：℃）可由公式 $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ 求得，其中 $k$ 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为 $20 ℃$ ，把水放在空气中冷却，水的温度从 $100 ℃$ 冷却到 $60 ℃$ 需要 $30 min$ .

(1)、求 $e^{- k}$ ；

(2)、热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为 $80 ℃$ ，等待水温降温到 $50 ℃$ ，至少需要等待多少 $min$ ？

(3)、某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于 $35 ℃$ ，电热水壶不加热，水的温度冷却到 $35 ℃$ ，电热水壶开始加热，直至水的温度达到 $80 ℃$ 才停止加热，且水的温度从 $35 ℃$ 加热到 $80 ℃$ 需要 $8 min$ .现该电热水壶中水的温度为 $80 ℃$ ，经过 $98 min$ 后，此时壶中水的温度是多少？

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7、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 1中， $A A_{1} = 4$ ， E、F、G分别为 $C D$ 、 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 中点.

(1)、求三棱锥 $C - B E F$ 的表面积；

(2)、求证： $D G / /$ 平面 $B E F$ .

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8、设锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $(sin A + sin B - sin C) \cdot (b + c - a) = c \cdot sin A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $y = sin A + sin C$ 的取值范围．

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9、如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，F是BC的中点，E是AB上的动点．

(1)、当E为AB的中点时，
①用向量法证明： $\vec{A F} ⊥ \vec{D E}$ ；②求 $\vec{D E} \cdot \vec{E C}$ 的值．

(2)、设AF与DE交于Q，若 $\vec{A Q} = \frac{1}{3} \vec{A F}$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ，（ $λ \in R$ ），求 $λ$ 的值．

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10、给定函数 $y = f (x)$ ，若在其定义域内存在 $x_{0} (x_{0} \neq 0)$ 使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”， $x_{0}$ 为该函数的一个“ $Ω$ 点”.设函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} - x - ln 2, x < 0 \\ ln (a - e^{x}), x > 0 \end{array}$ ，若 $ln 2$ 是 $g (x)$ 的一个“ $Ω$ 点”，则实数 $a$ 的值为.

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11、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，则 $A =$ ； $φ =$ ．

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12、请写出与向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ 同向的单位向量：．（用坐标表示）

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13、已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \bar{z_{1}} = z_{2} \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} = 2 + 2 i$ ， $|z_{2}| = 1$ ， $|z_{1} - z_{2}|$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$ D、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$

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14、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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15、一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为 $1 : 1$ ，则上下两个几何体的体积之比为（）

A、 $1 : 8$ B、 $1 : 7$ C、 $1 : (2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $1 : (2 \sqrt{2} - 1)$

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16、如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ ， …的图形之一，此图形中 $∠ B A D$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{4 - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{6}$

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17、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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18、复数 $\frac{\frac{1}{2} - i}{i^{2} - i^{3}}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- e^{x} + a}{e^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若不等式 $f (m \cdot 3^{x}) + f (3^{x} - 9^{x} - 2) > 0$ 对任意的 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a^{2} - c^{2} = b c$ ．

(1)、求证： $A = 2 C$ ；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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