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相关试卷

1、甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙命中目标的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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2、如图所示，在直角梯形ABCD中， $B C // A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边AD上一点 $E$ 满足 $D E = 1$ ．现将 $△ A B E$ 沿BE折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面BCDE，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求四棱锥 $A_{1} - B C D E$ 的体积；

(3)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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3、半径为1的圆 $O$ 内接 $△ A B C$ ，且 $3 \vec{O A} + 4 \vec{O B} + 5 \vec{O C} = \vec{0}$ ．

(1)、求数量积 $\vec{O A} \cdot \vec{O B}$ ， $\vec{O B} \cdot \vec{O C}$ ， $\vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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4、在 $△ A B C$ 中， $B C = \sqrt{5}, A C = 3, \sin C = 2 \sin A$ ．
（1）求 $A B$ 的值；
（2）求 $\sin (2 A - \frac{π}{4})$ 的值.

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5、函数 $f (x) = A \sin (ω x - \frac{π}{6}) + 1$ （ $A > 0, ω > 0$ ）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）设 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $f (\frac{α}{2}) = 2$ ，求 $α$ 的值

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6、已知 $α + β = 15 °$ ，则 $\frac{1 - \tan α - \tan β - \tan α \tan β}{1 + \tan α + \tan β - \tan α \tan β} =$ ．

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7、已知 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 是单位向量， $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} = 0$ .若向量 $\overset{⃑}{c}$ 满足 $| \overset{⃑}{c} - \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b} | = 1$ ，则| $\overset{⃑}{c}$ |的最大值是.

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8、如果用半径为 $R = 2 \sqrt{3}$ 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是.

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9、已知 $m$ ， $n$ 为异面直线，直线 $l$ 与 $m$ ， $n$ 都垂直，则下列说法正确的是（）

A、若 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ B、存在平面 $α$ ，使得 $l ⊥ α$ ， $m \subset α$ ， $n ∥ α$ C、有且只有一对互相平行的平面 $α$ 和 $β$ ，其中 $m \subset α$ ， $n \subset β$ D、至多有一对互相垂直的平面 $α$ 和 $β$ ，其中 $m \subset α$ ， $n \subset β$

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10、下列四个选项中，化简正确的是（）

A、 $\cos (- 15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\cos 15^{\circ} \cos 105^{\circ} + \sin 15^{\circ} \sin 105^{\circ} = 0$ C、 $\cos (α - 35 °) \cos (25^{\circ} + α) + \sin (α - 35^{\circ}) \sin (25^{\circ} + α) = \frac{1}{2}$ D、 $\sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} + \sin 76^{\circ} \cos 74^{\circ} = \frac{1}{2}$

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11、已知复数z满足 $|z - 1 + i| = 3$ ，则（）

A、复数z虚部的最大值为2 B、复数z实部的取值范围是 $[- 2, 4]$ C、 $|z + 1 + i|$ 的最小值为1 D、复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限

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12、如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D = C D = 1$ ， $B D = \sqrt{2}$ ， $B D ⊥ C D$ ，将四边形 $A B C D$ 沿对角线BD折成四面体 $A^{'} - B C D$ ，使平面 $A^{'} B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、 $A^{'} C ⊥ B D$ B、 $∠ B A^{'} C = 90^{\circ}$ C、 $C A^{'}$ 与平面 $A^{'} B D$ 所成的角为 $30^{\circ}$ D、四面体 $A^{'} - B C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$

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13、设A，B，C，D是平面上四个不同的点，其中任意三点不共线，若 $(\vec{D B} + \vec{D C} - 2 \vec{D A}) \cdot (\vec{A B} - \vec{A C}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形

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14、若 $\frac{1 + \cos 2 α}{\sin 2 α} = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $- \frac{5}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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15、已知 $A$ 、 $B$ 是球 $O$ 的球面上的两点， $∠ A O B = 90^{\circ}$ ，点 $C$ 为该球面上的动点，若三棱锥 $O - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为

A、 $16 π$ B、 $36 π$ C、 $64 π$ D、 $144 π$

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16、设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于实轴对称， $z_{1} = 1 + i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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17、 $\sin 2 \cos 3$ 的值（）

A、小于0 B、大于0 C、等于0 D、不存在

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(- \sqrt{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、斜率为 $k (k > 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，记以 $O A, O B$ 为直径的圆的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $k$ 为何值时， $S_{1} + S_{2}$ 为定值．

(3)、在（2）的条件下，设 $l$ 不过椭圆中心和顶点，且与 $x$ 轴交于点 $M$ ，点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $D$ ，直线 $B D$ 与 $y$ 轴交于点 $N$ ，求 $△ O M N$ 周长的最小值．

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19、如图，在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，
侧棱 $A A^{'}$ 的长为2，且 $∠ A^{'} A B = ∠ A^{'} A D = 120 °$ ，在线段 $A A^{'}$ 、 $B B^{'}$ 、 $C C^{'}$ 、 $D D^{'}$ 分别取 $A^{″}$ 、 $B^{″}$ 、 $C^{″}$ 、 $D^{″}$ 四点且 $A A^{″} = \frac{1}{4} A A^{'}$ ， $B B^{″} = \frac{1}{2} B B^{'}$ ， $C C^{″} = \frac{3}{4} C C^{'}$ ， $D D^{″} = \frac{1}{2} D D^{'}$ .求：

(1)、证明： $A^{″} B^{″} ∥ C^{″} D^{″}$ ；

(2)、 $A C^{'}$ 的长；

(3)、直线 $B D^{'}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值.

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20、DeepSeek，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，2024年末DeepSeekR1一经发布，引发全球轰动，其科技水准直接对标美国的OpenAIGPT4．对于人工智能公司而言，不同的客户使用需求不同，造成公司运营的技术成本不同．某调研公司对DeepSeek和OpenAI两家公司的客户使用的技术成本进行调研，随机抽取200个客户，将客户在使用时产生的技术成本分为高昂、较高、低廉三个类别进行数据统计如下表，其中技术成本高昂和较高情况下都称为为高成本运营，低廉称为低成本运营．
高昂
较高
低廉
总计
DeepSeek
36
14
50
100
OpenAI
46
24
30
100

(1)、请填写如下列联表，并判断能否有99%的把握认为两家公司的运营成本存在差异；
高成本运营
低成本运营
DeepSeek
OpenAI

(2)、对于技术成本而言，高成本运营占比越低，则认为技术水平越高．已知DeepSeek发布前openAI高成本运营占比为 $m_{0} = 0.7$ ，设 $m$ 为DeepSeek发布后这两家公司抽取的 $n$ 个客户使用时的高成本运营占比，若 $m < m_{0} - \frac{m_{0} (1 - m_{0}) \sqrt{2 n}}{n}$ ，则可以认为DeepSeek的技术水平高于openAI，根据抽取的200个客户信息，是否能够认为DeepSeek的技术水平高于openAI．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
$k$
3.841
6.635
10.828

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	高昂	较高	低廉	总计
DeepSeek	36	14	50	100
OpenAI	46	24	30	100

	高成本运营	低成本运营
DeepSeek
OpenAI

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828