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相关试卷

1、设函数 $f (x) = |2 x^{2} - a x + 1| + a x^{2}$ ，若函数 $y = f (x)$ 与直线 $y = a x$ 有两个不同的公共点，则 $a$ 的取值范围是.

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2、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的单调增函数，且满足 $f (- 1 - x) + f (x) = - 7$ ，若对于任意非零实数 $x$ 都有 $f [f (x) + \frac{1}{f (x) + 3} - x - \frac{1}{x} + 2] = - 4$ ，则 $f (2024) =$ .

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3、若 ${(x - 2)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{0} =$ ； $\frac{a_{1} + a_{3}}{a_{0} + a_{2} + a_{4}} =$ .

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4、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 同时满足① $f (x + 1) - f (x) = 2 x + 2, x \in R$ ；②当 $x \in [0, 1]$ 时， $|f (x)| \leq 1$ ，则（）

A、 $f (0) = - 1$ B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $f (n) > 2024 n$ D、 $\forall$ $x \in R, |f (x)| < x^{2} + |x| + 3$

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5、已知 $2^{a} = {log}_{\frac{1}{2}} a, {log}_{2} b = {(\frac{1}{2})}^{b}$ ，则（）

A、 $a + 2^{a} = b + 2^{- b}$ B、 $a + b = 2^{b} + 2^{- a}$ C、 $2^{b} + 1 > e^{\frac{1}{a}}$ D、 $2^{a} > e^{1 - \frac{1}{b}}$

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6、为研究光照时长 $x$ （小时）和种子发芽数量 $y$ （颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 $P$ 后，下列说法正确的是（）

A、相关系数 $r$ 变小 B、经验回归方程斜率变大 C、残差平方和变小 D、决定系数 $R^{2}$ 变小

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7、在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田 $M N P Q$ 中， $M Q = 2 M N = 4, R$ 为 $M N$ 中点， $F$ 为 $Q R$ 中点，三角形 $M Q R$ 区域种植小麦，梯形 $R N P Q$ 区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以 $F$ 为焦点， $M Q$ 为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为 $\frac{1}{8}$ 的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为 $S$ ，则（）（若直线 $l$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $A$ ，平行于 $l$ 的直线 $l^{'}$ 与 $E$ 交于 $B ､ C$ 两点，记 $B C$ 与 $E$ 围成的图形面积为 $S_{1}, △ A B C$ 的面积为 $S_{2}$ ，则 $3 S_{1} = 4 S_{2}$ ）

A、 $S = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4} < S < \frac{49}{192}$ C、 $S = \frac{49}{192}$ D、 $S > \frac{49}{192}$

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8、设函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，正实数 $a, b$ 满足 $f (a) + f (b) = - 2 b$ ，若 $a^{2} + λ b^{2} \leq 1$ ，则实数 $λ$ 的最大值为（）

A、 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“ $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分也不必要

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10、若函数 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- 3, 1]$ ，则 $y = \frac{f (3 - 4 x)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $\{1\}$ B、 $(1, \frac{3}{2}]$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}]$ D、 $(1, \frac{5}{2}]$

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11、已知M，N均为 $R$ 的子集，若存在 $x$ 使得 $x \in M$ ，且 $x \notin ∁_{R} N$ ，则（）

A、 $M \cap N \neq \emptyset$ B、 $M \subseteq N$ C、 $N \subseteq M$ D、 $M = N$

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12、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{1}{\tan A}$ .

(1)、求 $\cos A$ 的最小值；

(2)、记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 是 $△ A B C$ 内一点，且 $∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = θ$ ，证明：
① $\tan A = \frac{4 S}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$ ；
② $\tan A = 2 \tan θ$ .

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13、 $△ A B C$ 是正三角形， $C D$ 是 $A B$ 边上的高，E是AC中点，将 $△ A B C$ 沿 $C D$ 翻折成二面角 $A - D C - B$ ，

(1)、若二面角 $A - D C - B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ，求 $B E$ 与平面 $B C D$ 所成的角 $θ$ 的正切值 $tan θ$ ；

(2)、若二面角 $A - D C - B$ 的平面角为 $α$ （ $α$ 为锐角）， $B E$ 与平面 $B C D$ 所成的角为 $θ$ ，用 $cos α$ 表示 ${tan}^{2} θ$ ．

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14、如图所示，圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{3}, A D = 2 \sqrt{3}$ ， $C$ 为圆周上一动点， $∠ B C D = \frac{π}{3}$ .

(1)、求四边形ABCD周长的最大值；

(2)、若 $\frac{B C}{C D} = \frac{1}{2}$ ，求AC的长.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面PAD是正三角形，底面 $A B C D$ 为正方形，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， M，N， Q分别是PD，AB，BC中点，AD=2 .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求三棱锥 $P - M N Q$ 的体积；

(3)、求二面角的 $M - B C - A$ 正切值.

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16、甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{3}{5}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.

(1)、用掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.求选择方案一的概率；

(2)、若选择方案一，求甲获胜的概率.

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17、“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为2，则该多面体外接球的表面积为．

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18、已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东 $30 °$ 的方向航行，B船沿正北方向航行（如图）．若A船的航行速度为60n mile/h，1小时后，B船测得A船位于B船的北偏东 $45 °$ 的方向上，则此时A，B两船相距n mile．

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19、如图，网格纸上小正方形的边长为 $1$ ，向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 在正方形网格中的位置如图所示，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b} (λ, μ \in R)$ ，则 $λ + μ =$ ．

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20、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $P$ 为棱 $B B_{1}$ 的中点， $Q$ 点在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ （包括边界）上运动，且 $D Q$ ∥平面 $P C D_{1}$ ，下面结论正确的是（）

A、 $Q$ 点的运动轨迹为一条线段 B、直线 $D Q$ 与 $A D$ 所成角可以为 $\frac{π}{4}$ C、三棱锥 $P - C D_{1} Q$ 的体积是定值 D、若正方体的棱长为1，则平面 $P C D_{1}$ 与正方体的截面的面积为 $\frac{9}{8}$

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