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1、下列等式成立的是（）

A、 $\cos 40 ° \cos 20 ° - \sin 40 ° \sin 20 ° = \frac{1}{2}$ B、 $\sin 15 ° \cos 15 ° = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °} = \sqrt{3}$ D、 $\sin^{2} \frac{π}{8} - \cos^{2} \frac{π}{8} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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2、在 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = \sqrt{7} + \sqrt{21}$ ， $c = \sqrt{42}$ ，则 $A =$ （）

A、45° B、 $60^{\circ}$ C、 $120^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(3, 6)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(\frac{3}{2}, 3)$

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4、在 $△ A B C$ 中，若 $A = 60^{°}$ ， $a = 3$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ （）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$ C、 $\frac{28 \sqrt{3}}{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、在平行四边形ABCD中，点 $E$ 是对角线BD上靠近点 $D$ 的三等分点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \bar{a} - \frac{2}{3} \bar{b}$

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6、已知 $sin (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0, π)$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{24}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $- \frac{7}{25}$

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (1, x), \vec{b} = (3, - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8、化简： $\vec{B A} + \vec{A C}$ 等于（）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{C A}$ C、 $\vec{C B}$ D、 $\vec{B C}$

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $(a + b) (sin A - sin B) = c (sin A - sin C)$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 5$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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10、如图，已知 $A (1, 1), B (5, 4), C (2, 5)$ ，设向量 $\vec{a}$ 是与向量 $\vec{A B}$ 垂直的单位向量.
（1）求单位向量 $\vec{a}$ 的坐标；
（2）求向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量的模；
（3）求 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C}$ .

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11、已知复数 $z_{1} = 3 + 4 i$ ， $z_{2} = 1 - a i$ （ $a \in R$ ， $i$ 是虚数单位）.

(1)、若 $\frac{z_{2}}{z_{1}}$ 是纯虚数，求 $|z_{2}|$ ；

(2)、若 $z_{2}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - p x + 3 = 0$ 的根，求实数 $a$ 和 $p$ 的值.

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12、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $A C = 2$ ，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 是侧面 $A C C A_{1}$ 内一点．当 $|A B| + |B C|$ 最大时，过 $B$ 、 $B_{1}$ 、 $P$ 三点的截面面积的最小值为．

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13、1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式 $e^{i x} = \cos x + isin x$ ，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可以得到“最美的数学公式”： $e^{iπ} + 1 =$ .

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $a^{2} + b^{2} - c^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $a cos B + b cos A = a$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 D、若 $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{cos B} = \frac{c}{cos C}$ ，则 $△ A B C$ 是等腰直角三角形

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15、已知复数 $z$ 满足 $z + 4 - i = 8 + i$ ，则下列命题是真命题的是（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- 2$ B、 $z^{2} = | z |^{2}$ C、 $z$ 在复平面内对应的点位于第一象限 D、若 $z$ 与复数 $a^{2} + 3 a + (a^{2} + 5 a + 6) i (a \in R)$ 相等，则 $a = 1$

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16、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $12$ B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $6$ D、 $6 \sqrt{2}$

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17、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $C = 30^{\circ}$ ，则边 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8 - 2 \sqrt{3}}$

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18、若复数 $z$ 满足 $(1 + 2 i) z = 4 + 3 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + i$ B、 $- 2 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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19、2022年2月4日，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传北京冬奥会，某大学从全校学生中随机抽取了110名学生，对是否喜欢冬季体育运动情况进行了问卷调查，统计数据如下：
喜欢
不喜欢
男生
50
10
女生
30
20

(1)、根据上表说明，能否有 $99 %$ 的把握认为，是否喜欢冬季体育运动与性别有关？

(2)、现从这110名喜欢冬季体育运动的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取8人参加2022年北京冬奥会志愿者服务前期集训，且这8人经过集训全部成为合格的冬奥会志愿者.若从这8人中随机选取2人到场馆参加志愿者服务，求选取的2人中至少有一名女生的概率.
$\begin{array}{r} 附 : K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, 其中 n = a + b + c + d . \end{array}$
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
$0.025$
$0.01$
$0.005$
$k_{0}$
$5.024$
$6.635$
$7.879$

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20、某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间（单位：小时），从这批次电池中随机抽取50组进行测试，把测得数据进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、从抽取的50组电池中任取2组，求恰有1组电池续航时间不少于35小时的概率.

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$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	$0.025$	$0.01$	$0.005$
$k_{0}$	$5.024$	$6.635$	$7.879$

	喜欢	不喜欢
男生	50	10
女生	30	20