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相关试卷

1、设函数 $f (x) = {sin}^{n} x + {cos}^{n} x (n \in N^{*})$ ．

(1)、当 $n = 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $n = 6$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围；

(3)、若存在 $n$ ，使得关于 $x$ 的不等式 $f (x) + a (sin x + cos x) - a \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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2、 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $\sqrt{3} a = b \sin C + \sqrt{3} b \cos C$ ．

(1)、求角B；

(2)、设 $△ A B C$ 的垂心为H，若 $\vec{B H} \cdot \vec{B C} = 2 c^{2}$ ．
（i）求 $\frac{a}{c}$ 的值；
（ii）求 $cos A$ 的值．

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3、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $C A = C B$ ， D为 $C B$ 中点，E为 $A B$ 上一点，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ，设 $\vec{C A} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ．

(1)、请用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 来表示 $\vec{A D}$ ， $\vec{C E}$ ；

(2)、若 $A D ⊥ C E$ ，求 $λ$ 的值；

(3)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C E}$ 夹角的余弦值．

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4、已知函数 $f (x) = {log}_{a} (1 + 2 x) - {log}_{a} (1 - 2 x) (a > 0, a \neq 1)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 的奇偶性并给予证明；

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 的解集．

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5、已知复数 $z = 2 + a i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），其共轭复数为 $\bar{z}$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $|z (1 + i)|$ ；

(2)、若复数 $(3 + i) \bar{z}$ 为纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(3)、若复数 $\frac{z}{1 - i}$ 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为.

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7、函数 $f (x) = sin x + \frac{2}{sin x} (x \in (0, π))$ 的最小值为．

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8、已知函数 $f (x) = (2 sin 2 x - 2 \sqrt{3} cos 2 x) cos 2 x + \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后可以得到函数 $g (x) = 2 sin (4 x + \frac{π}{3})$ 的图象 C、 $(\frac{π}{3}, 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{12}]$ 的最小值为 $- 2$

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9、已知 $a < 0 < b < c < 1$ ，下列不等关系正确的是（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{c}{a}$ B、 ${log}_{c} b > 0$ C、 $b^{a} < c^{a}$ D、 ${log}_{b} c < 1$

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10、下列函数既是奇函数又在 $(0, 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = e^{x}$ C、 $y = - x |x|$ D、 $y = x - \frac{1}{x}$

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11、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位： $mg / L$ ）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}$ ， $k > 0$ ，初始时污染物的含量为 $P_{0}$ ，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（）

A、70% B、85% C、81% D、72.9%

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12、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $B C = \sqrt{3} A B$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{3} \vec{B C}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{B C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{B C}$

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13、若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S₁、S₂ ，则S₁：S₂=（）.

A、1：1 B、2：1 C、3：2 D、4：1

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14、“ $a > 1$ ”是“二次函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x + 1$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、四边形 $A B C D$ 中，O为任意一点，若 $\vec{O A} - \vec{O B} + \vec{O C} - \vec{O D} = \vec{0}$ ，则四边形 $A B C D$ 一定是（）

A、矩形 B、菱形 C、正方形 D、平行四边形

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16、已知 $tan α = 3$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、集合 $A = \{x |1 \leq x < 3\}$ ， $B = \{x |3 x - 2 \geq 8 - 2 x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[1, 2]$ C、 $[2, 3)$ D、 $[1, 3)$

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18、某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2道题的便可通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，且每题正确完成与否互不影响.

(1)、分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；

(2)、请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？

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19、已知 $- \frac{1}{2} < \frac{1}{x} < 2$ ，则实数 $x$ 的取值范围是.

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20、已知 $x_{1}$ 是函数 $f (x) = x^{3} + m x + n (m < 0)$ 的极值点，若 $f (x_{2}) = f (x_{1}) (x_{1} \neq x_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的对称中心为 $(0, n)$ B、 $f (- x_{1}) > f (x_{1})$ C、 $2 x_{1} + x_{2} = 0$ D、 $x_{1} + x_{2} > 0$

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