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1、已知椭圆的离心率为 , 过点的直线与椭圆交于两点,当过坐标原点时,.(1)、求椭圆的方程;(2)、线段上是否存在定点 , 使得直线与直线的斜率之积为定值. 若存在, 求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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2、已知函数 .(1)、当 时,求 的单调区间;(2)、若 有两个零点,求 的取值范围.
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3、课外阅读对于培养学生的阅读兴趣, 拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况, 从该市全体中学生中随机抽取500名学生, 调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长(单位:分钟),得到如下所示的频数分布表,已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t
学生人数
50
100
200
125
25
(1)、估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)、用频率估计概率,从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈, 抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在内记0分,在内记1分,在内记2分. 用表示这两名学生得分之和,求的分布列和数学期望. -
4、如图,在四棱锥 中, , .(1)、证明: 平面平面;(2)、若为 中点,求直线与平面所成角的正弦值.
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5、设为数列的前项和,已知.(1)、证明: 数列是等比数列;(2)、设 , 求数列的前项和.
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6、设为抛物线 的焦点,过的直线与相交于两点,过点作的切线,与轴交于点 , 与轴交于点 , 则(其中为坐标原点) 的值为
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7、在棱长为5的正方体 中,是中点,点在正方体的内切球的球面上运动,且 , 则点的轨迹长度为( )A、 B、 C、 D、
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8、已知正方形 的边长为 分别是边 上的点 (均不与端点重合),记 的面积分别为 . 若 ,则 的取值范围是( )A、 B、 C、 D、
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9、已知函数 ,若实数 成等差数列,且 ,则 ( )A、 B、 C、 D、
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10、将函数 的图象向左平移个单位后,与函数 的图象重合,则 的最小值为( )A、9 B、6 C、3 D、2
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11、已知直线 与 相交于 两点,若 是直角三角形,则实数 的值为( )A、1 或 B、 或 C、 或 D、 或
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12、已知 , 则( )A、 B、 C、2 D、
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13、如图,由观测数据 的散点图可知, 与 的关系可以用模型 拟合,设 ,利用最小二乘法求得 关于 的回归方程 . 已知 , ,则 ( )A、 B、 C、1 D、
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14、设 ,双曲线 的方程为 ,则“ 的离心率为 ” , 是 “” 的( )A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
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15、“数九”从每年“冬至”当天开始计算, 每九天为一个单位,冬至后的第 81 天, “数九”结束, 天气就变得温暖起来. 如图, 以温江国家基准气候站为代表记录了 2023 一 2024 年从“一九”到“九九”成都市的“平均气温”和“多年平均气温” (单位: ),下列说法正确的是( )A、“四九”以后成都市“平均气温”一直上升 B、“四九” 成都市“平均气温” 较“多年平均气温” 低 0.1 ” C、“一九”到“五九”成都市“平均气温”的方差小于“多年平均气温”的方差 D、“一九”到“九九”成都市“平均气温”的极差小于“多年平均气温”的极差
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16、已知 是两条不同的直线, 是平面,若 ,则 不可能( )A、平行 B、垂直 C、相交 D、异面
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17、若复数 满足 ,则 在复平面内对应的点位于( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
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18、已知集合 ,则( )A、 B、 C、 D、
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19、已知椭圆E:过点 , 且其离心率为 .(1)、求椭圆E的方程;(2)、过点的斜率不为零的直线与椭圆E交于C,D两点,A,B分别为椭圆E的左、右顶点,直线AC,BD交于一点P,M为线段PB上一点,满足 , 问是否为定值,若是,求出该定值;若不是,说明理由(O为坐标原点).
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20、如图,矩形与梯形所在的平面垂直, , , , , P为的中点.(1)、求证:平面平面;(2)、求平面与平面夹角的余弦值.