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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x - 3 + \frac{1}{x + 1} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $3 x - 2 \geq f (x)$ 对 $\forall x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 3$ ，证明：当 $0 \leq x < \frac{π}{2}$ 时， $\tan x > f (x)$ .

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2、某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一个项目．

(1)、若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？

(2)、若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安排方案？

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x^{3} + x + 2}{x}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 只有1个实数解，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、现有4名男生、3名女生站成一排拍照留念，在下列不同条件下，求不同的站法总数．（结果用数字作答）

(1)、要求女生互不相邻；

(2)、若甲、乙是这7人中的2人，则要求甲不站在排头，乙不站在排尾.

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5、某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区．现有5种霓虹灯光色可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有种不同的颜色搭配方案．

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6、已知某六名同学在 $C M O$ 竞赛中获得前六名 $（$ 无并列情况 $）$ ，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有种（用数字作答）

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7、若函数 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ ，则 $f^{'} (3) =$ .

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{3 + \cos x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (π + x) = f (x)$ C、 $f (π - x) = - f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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9、甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项，则下列说法正确的是（）

A、四名同学的报名情况共有 $3^{4}$ 种 B、每个项目都有人报名的情况共有36种 C、四名同学最终只报名了两个项目的情况共有42种 D、恰有两名同学所报项目相同且只有甲同学一人报名“关怀老人”的情况共有12种

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10、已知m，n均为正整数，且 $m < n$ ，则（）

A、 $C_{11}^{5} {=C}_{11}^{6}$ B、 $A_{n}^{m} = A_{n}^{n - m}$ C、 $A_{n}^{m - 1} = C_{n}^{m - 1} A_{m - 1}^{m - 1} (m > 1)$ D、 $\frac{1}{n - m} A_{n}^{m + 1} = A_{n}^{m}$

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11、设 $a = e^{\frac{1}{2026}}, b = \frac{2027}{2026}, c = e^{\frac{1}{2027}}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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12、已知三次函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x$ ，若不等式 $f (x) \leq m$ 的解集为 ${x ∣ x \leq m}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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13、函数 $f (x) = \frac{10 | x | \ln | x |}{x^{3}}$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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14、学校图书馆有 $4$ 个不同的借阅窗口（编号为 $1, 2, 3, 4$ ），现将 $3$ 本完全相同的图书放到这 $4$ 个窗口展示，每个窗口可放多本也可不放，则不同的摆放方法共有（）

A、 $12$ 种 B、 $16$ 种 C、 $20$ 种 D、 $24$ 种

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15、甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标 $A$ ，且地标 $B, C, D$ 的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于这8个文化地标的介绍顺序共有（）

A、360种 B、720种 C、1440种 D、2160种

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16、设 $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，已知 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - 2 \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2 D、 $- 2$

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17、曲线 $f (x) = \sqrt{e^{x}}$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + 2 y + 2 = 0$ B、 $x + 2 y - 2 = 0$ C、 $x - 2 y + 2 = 0$ D、 $x - 2 y - 2 = 0$

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18、 $\frac{A_{2026}^{2}}{C_{2026}^{2}} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{2026}$ D、2026

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19、已知函数 $y = f (x)$ 定义域为 $I, D \subseteq I$ ．若存在 $t \in D$ ，对任意 $x \in D$ ，当 $x < t$ 时，都有 $f (x) < f (t)$ ，则称 $t$ 为 $y = f (x)$ 在 $D$ 上的“凸点”．

(1)、求函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x$ 在 $[0, 5]$ 上的最大“凸点”；

(2)、若函数 $f (x) = (2 + a x) \ln (1 + x) - 2 x$ 在 $[0, 2]$ 上不存在“凸点”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、设 $D = \{1, 2, \dots, m\} (m \in N^{*})$ ，且 $f (1) = 0, f (x) - f (x - 1) \leq 1$ ．证明： $y = f (x)$ 在 $D$ 上的“凸点”个数不小于 $f (m)$ ．

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20、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 x$ ，点 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 在抛物线 $Γ$ 上．

(1)、证明：以点 $P$ 为切点的 $Γ$ 的切线的斜率为 $\frac{1}{y_{0}}$ ；

(2)、过 $Γ$ 外一点 $A$ （不在 $x$ 轴上）作 $Γ$ 的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线 $B_{1} C_{1}$ ，切点为点 $D$ ，点 $B_{1}, C_{1}$ 分别是切线 $B_{1} C_{1}$ 与AB，AC的交点，设BC的中点为 $E$ （如图所示）．
（i）证明：A，D，E三点共线；
（ii）过 $Γ$ 外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如 $△ A B_{1} C_{1}$ ．设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，第1次由点 $A$ 作切线三角形 $△ A B_{1} C_{1}$ ，第2次分别由点 $B_{1}, C_{1}$ 作切线三角形 $△ B_{1} B_{2} C_{2}, △ C_{1} B_{3} C_{3}$ ，并依此方法重复 $n$ 次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为 $T$ ．判断 $T$ 与 $\frac{1}{3} S$ 的大小关系并证明．

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