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相关试卷

1、已知F是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为 $P (1, 1)$ ．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、过P作直线l与双曲线E交于两点A、B，记FA、FB的斜率（斜率均有在）分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 是定值，并求出这个值．

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2、某厂为了提高产品的生产效率，对该厂的所有员工进行了一次业务考核，从参加考核的员工中，选取50名员工将其考核成绩分成六组第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的平均数；

(2)、已知考核结果有优秀、良好、一般三个等级，其中考核成绩不小于90分时为优秀等级，不少于80且低于90分时为良好等级，其余成绩为一般等级．若从获得优秀和良好等级的两组员工中，随机抽取5人进行操作演练，其中考核获得良好等级的员工每人每小时大约能加工80件产品，优秀员工每人每小时大约能加工90件产品，求本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率．

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3、如图甲，在直角边长为 $4$ 的等腰直角三角形 $A B C$ 中， $D E // B C$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，连接 $P B$ 、 $P C$ ，得到如图乙所示的四棱锥 $P - B D E C$ ， $M$ 为线段 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D E ⊥ P M$ ；

(2)、当翻折到平面 $P D E ⊥$ 平面 $B D E C$ 时，求平面 $P D E$ 与平面 $P D B$ 的夹角的余弦值．

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4、在平面直角坐标系中，已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l : (3 m + 1) x + (1 - m) y - 4 = 0$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 与圆 $C$ 总有两个不同的交点；

(2)、在① $\overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B} = 0$ ， ② $|\overset{⃑}{A B}|$ 最小，③过A，B两点分别作圆 $C$ 的切线，切线交于点 $P (2, 2)$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解；
设圆 $C$ 的圆心为 $C$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，当__________时，求直线 $l$ 的方程．

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5、已知光线经过点 $M (2, 3)$ ，在直线 $l : x + y + 1 = 0$ 上反射，且反射光线经过点 $N (1, 1)$ ，求：

(1)、入射光线与直线l的交点．

(2)、入射光线与反射光线所在直线的方程．

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6、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点和右焦点，过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限）， $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $r_{1} = 3 r_{2}$ ，则直线l的斜率为．

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7、某班级从A，B，C，D，E这5位学生中任选2人参加学校组织的“亚运有我，爱答未来”的亚运知识竞赛活动，则学生A被选中，学生B没被选中的概率为．

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8、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - \sqrt{3} k)}^{2} = 4$ ，则（）

A、无论k取何值，圆心 $C_{k}$ 始终在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上 B、若圆O与圆 $C_{k}$ 有公共点，则实数k的取值范围为 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、若圆O与圆 $C_{k}$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则 $k = \pm 1$ 或 $k = \pm \frac{3}{4}$ D、与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当 $k = \pm \frac{3}{2}$ 时，两圆的外公切线长为 $2 \sqrt{2}$

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9、设椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）

A、 $k_{A B} \cdot k_{O M} = - 1$ B、若 $M (1, 1)$ ，则直线l的方程为 $2 x + y - 3 = 0$ C、若直线l的方程为 $y = x + 2$ ，则 $M (\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ D、若直线l的方程为 $y = x + 2$ ，则 $|A B| = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

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10、已知事件A，B，且 $P (A) = 0.5, P (B) = 0.2, P (C) = 0.15$ ，则下列结论正确的是（）

A、如果 $B \subseteq A$ ，那么 $P (A \cup B) = 0.5, P (A B) = 0.2$ B、如果A与B互斥，那么 $P (A \cup B) = 0.7, P (A B) = 0$ C、如果A与B相互独立，那么 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.9$ D、如果A、B与C两两互斥，那么 $P (A \cup B \cup C) = 0.85$

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11、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点和上顶点分别为点 $F (c, 0) (b > c)$ 和点A，直线 $l : \sqrt{2} x - y - 4 = 0$ 交椭圆于P，Q两点，若F恰好为 $△ A P Q$ 的重心，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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12、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， O为坐标原点，过 $F_{1}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且 $|D F_{2}| = \sqrt{7} |O D|$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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13、某中学高二学生500人，其中男生300人，女生200人﹐现获得全体学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层抽样方法，抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为 $171cm$ ，方差为 ${29cm}^{2}$ ；女生身高样本均值为 $161cm$ ，方差为 ${19cm}^{2}$ ，下列说法中不正确的是（）

A、男生样本容量为30 B、每个男生被抽入到样本的概率均为 $\frac{1}{10}$ C、所有样本的均值为 $167cm$ D、所有样本的方差为 ${45cm}^{2}$

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14、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为4，虚轴长为6，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ B、 $y = \pm \frac{3}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{2}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{13}}{2} x$

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15、直线 $l_{1} : a x + y - 1 = 0, l_{2} : (a - 2) x - a y + 1 = 0$ ，则“ $a = - 2$ ”是“ $l_{1} // l_{2}$ ”的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分也不必要

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16、直线 $3 x + \sqrt{3} y - 6 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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17、在世界杯小组赛阶段，每个小组内的四支球队进行循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积3，1，0分.每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例如：若B，C，D三支积分相同的球队同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的A，B，C，D四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概率都是 $\frac{1}{3}$ ，每场比赛的结果相互独立.

(1)、求A球队在小组赛的3场比赛中只积3分的概率；

(2)、已知在已结束的小组赛的3场比赛中，A球队胜2场，负1场，求A球队最终小组出线的概率.

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18、某市根据居民的月用电量实行三档阶梯电价，为了深入了解该市第二档居民用户的用电情况，该市统计局用比例分配的分层随机抽样方法，从该市所辖 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个区域的第二档居民用户中按2：2：1的比例分配抽取了100户后，统计其去年一年的月均用电量（单位： $kW \cdot h$ ），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），频率分布直方图如下图所示.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若去年小明家的月均用电量为 $234 kW \cdot h$ ，小明估计自己家的月均用电量超出了该市第二档用户中85%的用户，请判断小明的估计是否正确？

(3)、通过进一步计算抽样的样本数据，得到A区样本数据的均值为213，方差为24.2；B区样本数据的均值为223，方差为12.3；C区样本数据的均值为233，方差为38.5，试估计该市去年第二档居民用户月均用电量的方差.（需先推导总样本方差计算公式，再利用数据计算）

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19、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的侧面 $P A D$ 是边长为2的正三角形，底面 $A B C D$ 为矩形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 的中点，二面角 $D - P N - C$ 的正切值为2.

(1)、求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、证明： $D M ⊥ P C$

(3)、求直线 $P M$ 与平面 $P N C$ 所成角的正弦值.

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20、（1）请利用已经学过的方差公式： $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ 来证明方差第二公式 $s^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - {\bar{x}}^{2}$ ；
（2）如果事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，那么 $A$ 与 $\bar{B}$ 相互独立吗？请给予证明.

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