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相关试卷

1、已知集合 $M = \{x| x \geq - 3\}$ ， $N = \{x| x^{2} \leq 4\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 3, - 2]$ B、 $[- 3, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[- 3, + \infty)$

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2、已知函数 $f (x) = \log_{2} [(2 - a) x + 2 a - 1], a \in R$ .

(1)、若存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使 $f (x_{0}) > 2 \log_{2} (x_{0} + 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) - \log_{2} (\frac{1}{x} + a) = 0$ 有唯一解，求实数 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = \log_{9} (9^{x} + 1) + k x$ 是偶函数.

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(3)、若方程 $f (x) = \frac{1}{2} x + b$ 有实数根，求 $b$ 的取值范围.

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4、北极燕鸥是已知的鸟类中迁徙路线最长的，属于燕鸥属的一种海鸟.科学家经过测量发现北极燕鸥的飞行速度 $v$ （单位： $km / \min$ ）满足方程 $v = \frac{1}{3} \log_{2} \frac{x}{100} - \lg x_{0}$ ，其中 $x$ 表示北极燕鸥每分钟耗氧量的单位数， $x_{0}$ 表示测量过程中北极燕鸥每分钟的耗氧偏差.（取 $\lg 2 = 0.3$ ）

(1)、当北极燕鸥每分钟的耗氧量为 $6400$ 个单位时，它的飞行速度为 $1.7 km / min$ ，求此时 $x_{0}$ 的值；

(2)、当甲、乙两只北极燕鸥速度相同时，甲北极燕鸥每分钟的耗氧量偏差是乙北极燕鸥每分钟的耗氧偏差的 $10$ 倍，试问甲北极燕鸥每分钟的耗氧量是乙北极燕鸥每分钟耗氧量的多少倍？

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5、设函数 $f (x) = \log_{2} (1 + a \cdot 2^{x} + 4^{x})$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、当 $f (2) = f (1) + 2$ ，求 $a$ 的值；

(2)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq x - 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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6、如图所示的函数 $F (x)$ 的图象，由指数函数 $f (x) = a^{x}$ 与幂函数 $g (x) = x^{b}$ “拼接”而成.

(1)、求 $F (x)$ 的解析式；

(2)、比较 $a^{b}$ 与 $b^{a}$ 的大小；

(3)、已知 ${(m + 4)}^{- b} < {(3 - 2 m)}^{- b}$ ，求 $m$ 的取值范围.

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7、若不等式 $[3^{x} (t - 1) - 1] \cdot \log_{3} \frac{4 t}{4 x - 1} \leq 0$ 对任意的正整数 $x$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是.

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8、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 1) = 0$ ，当 $- 1 < x < 0$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (2 + \log_{2} 5)$ 的值为.

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9、 ${(\frac{1}{27})}^{\frac{2}{3}} + \log_{8} 5 \cdot \log_{\frac{1}{5}} 4 + 10^{2 \lg 2 - \lg 3} =$ .

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10、若定义在 $R$ 上的偶函数 $y = f (x)$ ，对任意两个不相等的实数 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则称 $y = f (x)$ 为“ $β$ 函数”.下列函数为“ $β$ 函数”的是（）

A、 $f (x) = 4 - x^{2}$ B、 $f (x) = \ln (4 + x^{2})$ C、 $f (x) = 1 - 2 x^{3}$ D、 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{- x} - e^{x}, x > 0 \\ e^{x} - e^{- x}, x \leq 0 \end{array}$

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2, x \leq 0 \\ |\log_{2} x|, x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有四个不同的实数解 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $x_{3} x_{4}^{2} + \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{4}}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $[- 3, 3)$ D、 $(- 3, 3]$

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12、已知 $f (x) = 2^{|x - 1|}$ ，且其在区间 $[a, b]$ 上的值域为 $[1, 2]$ ，记满足该条件的实数 $a$ 、 $b$ 所形成的实数对为点 $P (a, b)$ ，则由点P构成的点集组成的图形为（）

A、线段AD B、线段AB C、线段AD与线段CD D、线段AB与线段BC

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13、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{4}{x} - {log}_{2} x - 1$ ，则不等式 $(x - 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 2, 0) \cup (1, 2)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ D、 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$

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14、已知幂函数 $y = x^{α}$ ，当 $α$ 取不同的正数时，在区间 $[0, 1]$ 上它们的图象是一族曲线（如图）.设点 $A (1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，连接 $A B$ ，线段 $A B$ 恰好被其中的两个幂函数 $y = x^{α}$ ， $y = x^{β}$ 的图象三等分，即有 $|B M| = |M N| = |N A|$ ，那么 $α β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、3

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 3^{x}}$ ，则 $f (\lg 3) + f (\lg \frac{1}{3})$ 的值等于（）

A、1 B、2 C、3 D、9

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16、若 $a = \log_{π} e$ ， $b = {(\sqrt{π})}^{\frac{2}{3}}$ ， $c = {(\frac{1}{e})}^{- \frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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17、已知 $x_{0}$ 是函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x} - x + 3$ 的一个零点，则 $x_{0}$ 所在区间为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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18、正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{x + 8 y}{x y}$ 的最小值为（）．

A、4 B、7 C、8 D、9

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19、在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ；且 $P D = C D$ ，在 $P A, P B, P C$ 的中点中选择一个记为点 $E$ ，使得四面体 $E - B C D$ 为鳖臑．

(1)、确定点 $E$ 的位置，并证明四面体 $E - B C D$ 为鳖臑；

(2)、若底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，求平面 $P A B$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值．

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20、已知圆 $C$ 的圆心在直线 $y = x$ 上，且过点 $A (3, 0)$ ， $B (2, - 1)$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $l : 4 x - 3 y + 9 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $E$ 、 $F$ 两点，求线段 $E F$ 的长度.

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