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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} |$ 的值.

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2、已知 $sin α = - \frac{1}{3}$ ，则 $cos 2 α$ 的值为.

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3、设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称

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4、已知直角三角形 $A B C$ 中， $\vec{A B} = (2, 3)$ ， $\vec{A C} = (1, k)$ ，则实数k的值可以为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

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5、某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出 $N$ 名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间 $[90, 100]$ 内的学生人数为2人．则（）

A、 $x$ 的值为0.015， $N$ 的值为40 B、平均分为72，众数为75 C、中位数为75 D、已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人

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6、如图， $α$ ， $β$ 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{2 π}{3}, A C = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、2 D、 $\sqrt{2}$

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8、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a = 6$ ， $\sin A = \frac{3 \sqrt{7}}{8}$ ， $\cos B = \frac{9}{16}$ ，则 $b =$ （）

A、8 B、5 C、4 D、3

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9、平行四边形 $O A B C$ （ $O$ 是原点， $O, A, B, C$ 按逆时针排列）， $A (1, 2), B (- 3, 7)$ ，则 $C$ 点坐标（）

A、 $(- 4, 5)$ B、 $(- 4, 4)$ C、 $(- 3, 5)$ D、 $(- 5, 4)$

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10、 $\sin 145 ° \cos 35 ° =$ （）

A、 $- \sin 70 °$ B、 $- \frac{1}{2} \sin 70 °$ C、 $\sin 70 °$ D、 $\frac{1}{2} \sin 70 °$

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11、若复数 $z = \frac{a + 2 + a i}{3 - i}$ 为纯虚数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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12、已知向量 $|\vec{a}| = 10$ ， $|\vec{b}| = 12$ 且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 60$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $60^{°}$ B、 $120^{°}$ C、 $135^{°}$ D、 $150^{°}$

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13、基本不等式可以推广到一般的情形：对于 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时，等号成立．若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足下列两个性质：① $\exists M > 0, a_{n} < M$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

(1)、若 $a_{n} = n + \frac{4}{n^{2}}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}$ ，记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ ，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(3)、若 $c_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，求证：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点 $P (2, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B$ ．若 $A$ 是椭圆 $C$ 的短轴端点时， $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{A P} = 3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、试判断是否存在 $l$ ，使得 ${|F_{1} A|}^{2}, \frac{{|F_{1} P|}^{2}}{2}, {|F_{1} B|}^{2}$ 成等差数列？若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由．

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15、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD为梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 6$ ， $A D = C D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点E在线段AB上，且 $A E = 2$ ， F为BC的中点．

(1)、求证： $C_{1} E ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若直线 $D_{1} E$ 与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角 $B_{1} - E F - C_{1}$ 的余弦值．

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16、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + 2 a) e^{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2, 7]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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17、设直线 $l : x + y - 1 = 0$ ，一束光线从原点 $O$ 出发沿射线 $y = k x (x \geq 0)$ 向直线 $l$ 射出，经 $l$ 反射后与 $x$ 轴交于点 $M$ ，再次经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $N$ ．若 $|\vec{M N}| = \sqrt{5} |\vec{O M}|$ ，则 $k$ 的值为.

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18、春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有种．

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19、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $A_{1} C$ 上一点，则 $∠ A P D_{1}$ 的大小可以为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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20、已知 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A C}| = 2$ ，且 $| \frac{λ}{2} \vec{A B} + (2 - 2 λ) \vec{A C} |$ $(λ \in R)$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ，若P为边AB上任意一点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{51}{4}$ B、 $- \frac{49}{4}$ C、 $- \frac{9}{16}$ D、 $- \frac{25}{16}$

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