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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，满足 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4} > a_{5} \geq 0$ ，且对任意 $i ､ j (1 \leq i \leq j \leq 5)$ 有 $a_{i} - a_{j}$ 仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：① $a_{5} = 0$ ；② $4 a_{4} = a_{1}$ ；③数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；④集合 $A = \{x ∣ x = a_{i} + a_{j}, 1 \leq i \leq j \leq 5\}$ 中共有9个元素.则其中真命题的序号是（）

A、①②③④ B、①④ C、②③ D、①③④

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2、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $0 < a_{1} < a_{4} = 1$ ，则能使不等式 $(a_{1} - \frac{1}{a_{1}}) + (a_{2} - \frac{1}{a_{2}}) + \dots + (a_{n} - \frac{1}{a_{n}}) \leq 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中满足 $a_{1} = 15$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、7 C、 $\frac{27}{4}$ D、 $2 \sqrt{15} - 1$

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4、已知{a_n}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a₃_n_－1}是等比数列；②{a_n＋a_n_＋1}是等比数列；③{a_n·a_n_＋1}是等比数列；④{lg|a_n|}是等比数列．其中正确命题的个数是(　　)

A、1 B、2 C、3 D、4

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n + 1} = k a_{n} + 3 k - 3$ ，其中 $k$ 为不等于 $0$ 与 $1$ 的常数，若 $a_{i} \in {- 678, - 78, - 3, 22, 222, 2222}, i = 2, 3, 4, 5$ ，则满足条件的 $a_{1}$ 所有可能值的和为．

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6、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列．若 $a_{1} > a_{2}$ ， $b_{1} > b_{2}$ ，且 $b_{i} = a_{i}^{2}$ （ $i = 1$ ， $2$ ， $3$ ），则数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n > 1)$ ，则 $a_{2022} =$ .

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8、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \{\begin{matrix} \frac{1}{n + 1}, 1 \leq n \leq 2 \\ \frac{1}{3^{n}}, n \geq 3 \end{matrix}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} S_{n} =$

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9、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} =$ .

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10、等差数列 $\{a_{n}\} ､ \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} =$ .

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11、各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} ､ \frac{1}{2} a_{3} ､ a_{1}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{5} + a_{6}}{a_{3} + a_{4}} =$ .

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12、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 10$ ，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是．

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13、 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{9} = - 36, S_{13} = - 104$ ，则 $a_{5}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项为.

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14、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列.若 $a_{4}$ 和 $a_{2019}$ 是方程 $4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ 的两根，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2022项的和 $S_{2022} =$ .

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 6}, n$ 为正整数，则该数列的最大项是第项.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + n$ ，则 $a_{3} =$ .

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17、在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知向量 $\vec{u} = (a, b, c)$ ，点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ .若直线 $l$ 以 $\vec{u}$ 为方向向量且经过点 $P_{0}$ ，则直线 $l$ 的标准式方程可表示为 $\frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c} (a b c \neq 0)$ ；若平面 $α$ 以 $\vec{u}$ 为法向量且经过点 $P_{0}$ ，则平面 $α$ 的点法式方程表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .

(1)、已知直线 $l$ 的标准式方程为 $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- \sqrt{3}} = \frac{z}{2}$ ，平面 $α_{1}$ 的点法式方程可表示为 $\sqrt{3} x + y - z + 5 = 0$ ，求直线 $l$ 与平面 $α_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、已知平面 $α_{2}$ 的点法式方程可表示为 $2 x + 3 y + z - 2 = 0$ ，平面外一点 $P (1, 2, 1)$ ，点 $P$ 到平面 $α_{2}$ 的距离；

(3)、（i）若集合 $M = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | z | \leq 1}$ ，记集合 $M$ 中所有点构成的几何体为 $S$ ，求几何体 $S$ 的体积；
（ii）若集合 $N = {(x, y, z) | | x | + | y | \leq 2, | y | + | z | \leq 2, | z | + | x | \leq 2}$ .记集合 $N$ 中所有点构成的几何体为 $T$ ，求几何体 $T$ 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.

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18、甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.

(1)、求甲在一局中得2分的概率 $P_{1}$ ；

(2)、求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率 $P_{2}$ ；

(3)、求游戏经过两局就结束的概率 $P_{3}$ .

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = A A_{1} = 1, A B = 2$ ，点 $E$ 在棱 $A B$ 上移动.

(1)、当点 $E$ 在棱 $A B$ 的中点时，求平面 $D_{1} E C$ 与平面 $D C D_{1}$ 所成的夹角的余弦值；

(2)、当 $A E$ 为何值时，直线 $A_{1} D$ 与平面 $D_{1} E C$ 所成角的正弦值最小，并求出最小值.

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20、某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.

(1)、根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；

(2)、成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；

(3)、已知落在 $[60, 70)$ 内的平均成绩为67，方差是9，落在 $[60, 80)$ 内的平均成绩是73，方差是29，求落在 $[70, 80)$ 内的平均成绩和方差.
（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为： $m, \bar{x_{1}}, s_{1}^{2}; n, \bar{x_{2}}, s_{2}^{2}$ .记两组数据总体的样本平均数为 $\bar{w}$ ，则总体样本方差 $s^{2} = \frac{m}{m + n} [s_{1}^{2} + {(\bar{x_{1}} - \bar{w})}^{2}] + \frac{n}{m + n} [s_{2}^{2} + {(\bar{x_{2}} - \bar{w})}^{2}]$ ）

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