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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{2 π}{3}$ ， $tan A \cdot tan B = 2 - \sqrt{3}$ ，则 $cos (A - B) =$ .

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2、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线右支上，若 $|P F_{1}| = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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3、设曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，记抛物线的焦点为 $F$ ， $M$ ， $Q$ 为分别为曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $l$ 为曲线 $C_{1}$ 的切线，则（）

A、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 无公共点，则 $p \in (0, e)$ B、若 $l$ 过点 $F$ ，则 $l$ 被 $C_{2}$ 截得的弦长为 $p + \frac{2}{e^{p + 2}}$ C、当 $p = 1$ 时， $|F M| \geq \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、当 $p = 1$ 时， $|M Q| > \frac{\sqrt{2}}{4}$

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4、已知函数 $f (x) = sin x \cdot \sqrt{1 + cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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5、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的弦 $A B$ 的中点横坐标为5，则 $|A B|$ 的最大值为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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6、设函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) + |x| - x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) - f (x + 1) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$

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7、早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ ，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角 $α$ 和 $β$ （ $α$ 和 $β$ 的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（）

A、 $\frac{L}{β - α}$ B、 $\frac{L}{\sin (β - α)}$ C、 $\frac{L}{α + β}$ D、 $\frac{L}{\sin (α + β)}$

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8、下列四组数据中，方差最小的为（）

A、 $29, 25, 37$ B、 $30, 46, 25$ C、 $38, 40, 35$ D、 $40, 18, 30$

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9、若 $l, m$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则（）

A、若 $l ∥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ∥ α$ ， $m ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ C、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l // β$

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10、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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11、复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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12、已知集合 $A = \{x |x = 2 k, k \in Z\}$ ， $B = \{x |{log}_{2} x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{4, 6\}$ C、 $\{0, 2, 4\}$ D、 $\{2, 4, 6\}$

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x + 1$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；
（3）在 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ， $\frac{π}{6} \leq B \leq \frac{π}{2}$ ，求 $\cos B + \cos C$ 的取值范围.

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14、已知 $α \in (0, π)$ ， $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求 $\sin (α - \frac{π}{4})$ ；

(2)、已知 $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\cos (α + β) = - \frac{4}{5}$ ．求 $\cos 2 β$ ．

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \sqrt{3} a cos C + c sin A = 0$ .

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 的中点， $C D = C A, A D = \sqrt{3}$ ，求 $c$ .

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16、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、求 $|3 \vec{a} - 4 \vec{b}|$ ．

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17、设 $⊙ C$ 半径为 $r$ ，若 $A$ ， $B$ 两点都是 $⊙ C$ 上的动点， $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值．

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18、已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积等于 $36 π {cm}^{3}$ ，则正方体的表面积为．

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19、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，则 $|\vec{A B} + \vec{A D}|$ 为．

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20、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ B、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{10}}{2} \vec{b}$ C、 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 5$ D、与向量 $\vec{a}$ 共线的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{\sqrt{5}}{5})$

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