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相关试卷

1、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{3 - sin α}{2 - {cos}^{2} β} = 2$ ，则 $tan α tan 2 β =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} a_{5} a_{7} = a_{4} a_{8}$ ， $S_{3} = 7$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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3、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{z - 1} = 1 + i$ ，则在复平面内， $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | x (x - 2) > 0\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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5、二次函数的图象是抛物线，现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象可以由 $y = x^{2}$ 的图象沿向量 $\vec{n} = (0, 1)$ 平移得到；抛物线 $y = x^{2}$ ，即 $x^{2} = y$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{1}{4})$ ，准线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ ；故二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{5}{4})$ ，准线方程为 $y = \frac{3}{4}$ .

(1)、求二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的焦点坐标和准线方程；

(2)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的焦点坐标和准线方程；

(3)、设过 $A (4, 1)$ 的直线与抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的另一个交点为 $B$ ，直线 $A B$ 与直线 $y = x - 4$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 于点 $N$ . 是否存在定点 $G$ ，使得 $B, N, G$ 三点共线? 若存在，请求出定点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - x \ln x + m x - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（ⅰ）求实数 $m$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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7、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm³)的最大值为．

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8、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{5} = 2 a_{4}$ ，且 $a_{3}$ 与 $2 a_{6}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{4} =$ .

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9、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行的所有的数字之和为 $2^{n}$ B、在“杨辉三角”第 $2 n$ 行的数中，从左到右第 $n$ 个数最大 C、在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 $C_{13}^{4}$ D、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \cdot a_{n + 2 - i}$ 的值恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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10、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + |sin x - cos x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ D、 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个不同的实数解

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11、为了解目前本市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩 $X ~ N (70, 100)$ ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）
参考数据：随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

A、该校学生体育成绩的方差为100 B、该校学生体育成绩的期望为70 C、该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 D、该校学生体有成绩的及格率不到 $85 %$

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12、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 3 a x + a - 1, x < 1, \\ x^{a} + ln (x + e - 1), x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[\frac{2}{3}, 2]$ C、 $[\frac{1}{3}, 2]$ D、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (1, + \infty)$

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13、给定一个数列 $\{a_{n}\}$ ，记 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ，则把数列 $\{b_{n}\}$ 称为 $\{a_{n}\}$ 的一阶差数列.若数列 $\{c_{n}\}$ 的一阶差数列 $\{t_{n}\}$ 的通项公式为 $t_{n} = n + 2^{n - 1}, c_{1} = 1$ ，则 $c_{9} =$ （）

A、556 B、557 C、292 D、291

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14、张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，并且存在一个正数 $m$ ，使得 $\forall u, v \in I$ 且 $u < v$ ，不等式 $\frac{|f (v) - f (u)|}{|v - u|} \leq m$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上为“差商有界”函数；若函数 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义，并且存在一个正整数 $r$ ，使得 $\forall u, v \in I$ 且 $u < v$ ，不等式 $\frac{{|f (v) - f (u)|}^{r}}{|v - u|} \leq 1$ 恒成立，则称 $f (x)$ 在 $I$ 上为 “广义差商有界”函数.

(1)、已知 $f (x) = \sqrt{x}$ ，判断 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上是否是“差商有界”函数？若是，请说明理由；若不是，请讨论是否是“广义差商有界”函数?

(2)、已知函数 $f (x) = x ln x$ .
（i）判断 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii）若 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上是“广义差商有界”函数，求正整数 $r$ 的最小值.

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15、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{A B}, \vec{C D}$ 共线，则 $A, B, C, D$ 必在同一条直线上 B、若 $A, B, C$ 为平面内任意三点，则 $\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{0}$ C、若点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ D、已知向量 $\vec{a} = (4 + x, y - 2), \vec{b} = (x, y)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x + 2 y = 0$

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16、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{2} = 3$ ， $a_{3} + a_{5} = 14$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $b_{n + 1} = λ S_{n} + 1$ ，其中 $λ \neq - 1$ .

(1)、当 $λ = 1$ 时，求数列 $\{a_{n}\}$ 与数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在（1）的条件下，设数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，已知 $c_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n} a_{n + 1} b_{n + 1}}$ ，证明： $\frac{5}{6} \leq T_{n} < 1$ ；

(3)、当 $λ = - \frac{4}{3}$ 时，若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{1} = μ$ （ $μ > 0$ ），且 $d_{n + 1} - d_{n} = - \frac{μ^{2}}{3} b_{n}$ ，若对任意正整数i，j（ $i \neq j$ ）， $|d_{i} - d_{j}| < 1$ 恒成立，求实数 $μ$ 的取值范围.

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17、在平面直角坐标系xOy中，动点 $P (x, y)$ （ $y \geq 0$ ）到点 $F (0, 1)$ 的距离与到x轴的距离之差等于1，记动点P的轨迹为 $Γ$ .

(1)、求轨迹 $Γ$ 的方程；

(2)、过直线l： $x - 2 y - 2 = 0$ 上一点Q作轨迹 $Γ$ 的两条切线，切点分别为A，B.证明：直线AB过定点，并求出定点坐标；

(3)、过点 $R (0, 4)$ 的动直线 $l^{'}$ 与轨迹 $Γ$ 交于C，D两点，直线CF交轨迹 $Γ$ 于另一点E，记△CDE，△CFR的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $S_{1} \cdot S_{2}$ 的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = {(x - 2)}^{2} - a (\frac{1}{2} x - \ln x)$ ，其中 $a$ 为常实数.

(1)、当 $a = 4$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在其定义域内的单调性；

(2)、若 $x_{0}$ 是函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} a x$ 的极大值点，证明： $g (x_{0}) > x_{0}$ .

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19、在如图所示的多面体 $A B C - E F D$ 中，已知四边形 $A C D E$ 为菱形，其对角线 $A D$ 和 $C E$ 相交于H点，G是棱 $B D$ 的中点， $E F / / A B$ ，且 $E F = \frac{1}{2} A B$ .

(1)、求证： $F G / /$ 平面 $A C D E$ ；

(2)、若 $A B ⊥$ 平面 $A C D E$ ， $A B = A C = A D = 2$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $B F D$ 所成角的余弦值.

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20、我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码i
1
2
3
4
5
6
7
8
科研经费 $x_{i}$ （单位：百亿元）
2
3
6
10
13
15
18
21
市场规模 $y_{i}$ （单位：百万辆）
1
1
2
2.5
3.5
3.5
4.5
6
参考数据： $\sum_{i = 1}^{8} x_{i} y_{i} = 347$ ， $\sum_{i = 1}^{8} x_{i}^{2} = 1308$ ， $\sum_{i = 1}^{8} y_{i}^{2} = 93$ ， $\sqrt{1785} \approx 42.25$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

(1)、根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当 $|r|$ 越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当 $|r|$ 越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）；

(2)、已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（ $p \in (0, 1)$ ），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若 $P (X = 5) = P (X = 4)$ ，求随机变量X的数学期望和方差

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年份代码i	1	2	3	4	5	6	7	8
科研经费 $x_{i}$ （单位：百亿元）	2	3	6	10	13	15	18	21
市场规模 $y_{i}$ （单位：百万辆）	1	1	2	2.5	3.5	3.5	4.5	6