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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 6\}, B = \{x \in Z |- 2 < x \leq e, e \approx 2.71828\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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2、给定一个数列 $\{u_{n}\}$ ，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式 $u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$ （1）称为数项级数，其中， $u_{n}$ 称为数项级数（1）的通项或一般项，数项级数（1）也常写作 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 或 $\sum u_{n}$ ．数项级数（1）的前n项之和，记为 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ ，称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和．若数项级数（1）的部分和数列 $\{S_{n}\}$ 收敛于S（即 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作 $S = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$ 或 $S = \sum u_{n}$ ．

(1)、求数项级数 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}} + \dots$ 的部分和；

(2)、判断数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 2} - 2 \sqrt{n + 1} + \sqrt{n})$ 是否收敛，若收敛，求数项级数的和；

(3)、若数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} e q^{n} (q \neq 0)$ 收敛，求实数q的取值范围．

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为该椭圆C的左、右焦点．M为椭圆C上任意一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的最大面积为1．点H在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}$ 上运动，过H点作圆 $C_{1}$ 的切线交椭圆C于A、B两点．四边形 $D E S T$ 是椭圆C的外切矩形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、（ⅰ）设点D运动轨迹为 $C_{2}$ ，求 $C_{2}$ 的方程；
（ⅱ）延长 $O A$ 、 $O B$ 分别交轨迹 $C_{2}$ 于P、Q两点，求 $△ O P Q$ 的面积．

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4、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A P$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{10}$ ， $A D = 4$ ， $∠ A D C =45 °$ ．

(1)、若E为 $P B$ 的中点，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若三角形 $A C D$ 是钝角三角形，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的余弦值．

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5、甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）．

(1)、从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由；

(2)、现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率．

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6、已知 $f (x) = x + \ln x$ ， $g (x) = m x^{2} + (2 m + 3) x + 1$ ， $m \in R$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有且仅有1个零点；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, 1)$ 处的切线与 $g (x)$ 只有一个公共点，求实数m的值．

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $F_{1}$ 关于渐近线的对称点为M且点M位于双曲线上，则双曲线的离心率是，若 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心横坐标是2，则圆的半径是．

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8、已知 $f (x) = x^{2} - \sin 2 x$ ，且 $\lim_{h \to 0} \frac{f (\frac{π}{2} + h) - f (\frac{π}{2})}{2 h} =$ ．

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9、 $C_{n}^{n} - C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} - \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{0}$ 的值为．

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10、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形，若点M在四边形 $A B C D$ 内（包含边界）运动，N为 $P D$ 的中点， $P D = 4$ ， $∠ P D A = ∠ P D C = \frac{π}{3}$ ，则（）．

A、当M为 $A D$ 的中点时，异面直线 $M N$ 与 $P C$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ B、当 $M N ∥$ 平面 $P B C$ 时，点M的轨迹长度为 $2 \sqrt{3}$ C、当 $M N$ 与平面 $A B C D$ 所成的角是 $\frac{π}{4}$ 时，点M到 $A B$ 的距离可能为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、点Q是四棱锥外接球上的一点，则 $\vec{Q P} \cdot \vec{Q D}$ 的最大值是 $8 + 8 \sqrt{2}$

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11、已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，则（）．

A、 $|z| = 1$ B、 $z^{2} = \bar{z}$ C、 $1 + z + z^{2} = 2$ D、 $z$ 是方程 $x^{3} = 1$ 的根

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12、已知正实数a，b满足 $\sin a + e^{a} = b + e^{b}$ ，则（）．

A、 $a \leq b$ B、 $a^{- \frac{1}{2}} > b^{- \frac{1}{2}}$ C、 $a > \ln b$ D、 $b > e^{a}$

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13、设抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若 $∠ P Q F = 30 °$ ，则 $|P Q| =$ （）．

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、已知直线 $l : m x + y - m - 1 = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 相交于M、N两点，则 $|\vec{C M} + \vec{C N}|$ 的最大值为（）．

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、设直线 $b$ 与平面 $α$ 相交但是不垂直，则下列说法中正确的是（）

A、平面 $α$ 内的直线与直线 $b$ 都不垂直 B、过直线 $b$ 的平面与平面 $α$ 都不垂直 C、与直线 $b$ 垂直的直线可能与平面 $α$ 垂直 D、与直线 $b$ 平行的平面可能与平面 $α$ 垂直

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16、 $\tan (α + \frac{π}{4}) = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α + π)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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17、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，并且满足 $S_{3} = 15$ ， $S_{7} = 77$ ，则 $a_{6}$ 为（）．

A、17 B、15 C、11 D、9

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18、已知集合 $A = \{x |\lg x \leq 0\}$ ， $B = \{x |10^{x} \leq 10\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a (\sqrt{3} \sin B + \cos B) = b + c$ ．

(1)、求角 $A$ ．

(2)、 $D$ 为边 $B C$ 上一点，且 $A D = 2$ ．
①若 $B D = 2 D C$ ，求当 $B C$ 取最小值时 $\frac{c}{b}$ 的值；
②若 $A D$ 为角平分线，求 $A B + 3 B D$ 的取值范围．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ，且 $A B = 2$ ，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 1$ ， $E$ 为 $P C$ 中点．

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求三棱锥 $P - B E D$ 的体积；

(3)、求二面角 $P - B D - E$ 的平面角的大小．

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