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相关试卷

1、如图所示，在 $△ O B C$ 中，点 $A$ 是 $B C$ 的中点，点 $D$ 是靠近点 $B$ 将 $O B$ 分成 $2 : 1$ 的一个三等分点， $D C$ 和 $O A$ 交于点 $E$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ 、 $\vec{O B} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{O C}$ 、 $\vec{D C}$ ；

(2)、若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，求 $λ$ 的值.

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2、从某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
$[75, 85)$
$[85, 95)$
$[95, 105)$
$[105, 115)$
$[115, 125)$
频数
6
26
38
22
8

(1)、根据上表补全所示的频率分布直方图；

(2)、估计这种产品质量指标值的平均数、方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（保留一位小数）；

(3)、根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

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3、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (4, - 3)$ .

(1)、若向量 $\vec{c} ∥ \vec{a}$ ，且 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{5}$ ，求 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若向量 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，求实数 $k$ 的值.

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4、根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形 $C D E$ 按上述操作作图后，得如图所示的图形.若 $\vec{A F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，则 $x + y =$ .

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5、已知点A（3，5）、B（4，7）、C（1，x）三点共线，则实数x的值是．

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6、我国古代数学著作《九章算术》中用“圭田”一词代指等腰三角形田地，若一“圭田”的腰长为4，顶角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ ，则该“圭田”的底边长为．

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列结论不正确的是（）

A、若 $\sin B > \sin C$ ，则 $b > c$ B、若 $\vec{A C} \cdot \vec{A B} > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 C、若 $b \cos B - c \cos C = 0$ ，则 $△ A B C$ 一定为等腰三角形 D、若 $a = 4, b = 2 \sqrt{6}, A = \frac{π}{4}$ ，则三角形只有1解

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8、八卦是中国文化的基本哲学概念，如图 $1$ 是八卦模型图，其平面图形记为图 $2$ 中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{A H} \cdot \vec{H O} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ D、向量 $\vec{D E}$ 在向量 $\vec{A B}$ 上的投影为 $- \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{A B}$

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9、某中学选派甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下：
学生
甲
乙
丙
丁
戊
成绩
84
72
80
72
76
则下列结论不正确的是（）

A、这 $5$ 位同学成绩的众数是 $72$ B、这 $5$ 位同学成绩的平均数是 $76$ C、这 $5$ 位同学成绩的中位数是 $72$ D、这 $5$ 位同学成绩的第 $75$ 百分位数是 $76$

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10、下列化简正确的是（）

A、 $\cos 82^{\circ} \cos 22^{\circ} + \sin 82^{\circ} \sin 22^{\circ} = \frac{1}{2}$ B、 $\sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\tan 48^{\circ} + \tan 72^{\circ}}{1 - \tan 48^{\circ} \tan 72^{\circ}} = - \sqrt{3}$ D、 $\cos^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 15^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

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11、已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{6} \vec{O C} + \frac{2}{3} \vec{O A}$ ，则 $△ A C P$ 与 $△ B C P$ 面积比为（）

A、5：6 B、1：4 C、2：3 D、1：2

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12、设一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为10，方差为0.01，则数据 $10 x_{1}, 10 x_{2}, \dots, 10 x_{n}$ 的平均数和方差分别为（）

A、100，0.01 B、10，0.1 C、100，1 D、10，0.1

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13、如图所示，为了测量山高 $M N$ ，选择 $A$ 和另一座山的山顶 $C$ 作为测量基点，从 $A$ 点测得 $M$ 点的仰角 $∠ M A N = 60^{\circ}$ ， $C$ 点的仰角 $∠ C A B = 45^{\circ}$ ， $∠ M A C = 75^{\circ}$ ，从 $C$ 点测得 $∠ M C A = 60^{\circ}$ ．已知山高 $B C = 500 m$ ，则山高 $M N$ （单位： $m$ ）为（　　）

A、 $750$ B、 $750 \sqrt{3}$ C、 $850$ D、 $850 \sqrt{3}$

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14、经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为2：3：6，取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人的人数为12，则n=（）

A、36 B、44 C、56 D、64

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15、设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $\vec{a} = (3, 3)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B、1 C、 $\frac{7 \sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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16、 $\cos 25^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 65^{\circ} \sin 20^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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17、已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 9$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 6 \cdot 3^{n}$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、证明：数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 为等差数列；

(2)、求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $b_{n} = \{\begin{array}{l} \frac{2 n}{S_{n} - n}, n 为奇数, \\ {(- 1)}^{\frac{n}{2} + 1} \cdot \frac{2 \cdot 3^{n + 1}}{S_{n}}, n 为偶数 \end{array}$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{4 n} < 1$ ．
参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ .

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18、已知函数 $f (x) = (a + 2) e^{x} + a e^{- x} - 2 x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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19、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面为正方形， $A B = 2 A_{1} B_{1}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点．

(1)、证明： $E D_{1} / /$ 平面 $B D C_{1}$ ；

(2)、若侧面 $D C C_{1} D_{1}$ 为等腰梯形， $E D_{1} : D_{1} D : D E = \sqrt{13} : 3 : 2$ .
（i）证明：平面 $D C C_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（ii）求平面 $B D C_{1}$ 和平面 $A D D_{1} A_{1}$ 夹角的余弦值．

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，直线 $l$ 过 $F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A$ 交 $C$ 的准线于点 $D$ ．

(1)、当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 时，求 $|A B|$ ；

(2)、求直线 $B D$ 的斜率；

(3)、若 $O$ ， $F$ ， $B$ ， $D$ 四点共圆，求该圆的半径．

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质量指标值分组	$[75, 85)$	$[85, 95)$	$[95, 105)$	$[105, 115)$	$[115, 125)$
频数	6	26	38	22	8

学生	甲	乙	丙	丁	戊
成绩	84	72	80	72	76