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相关试卷

1、下列命题正确的是（）

A、若 $m > p ， n > q$ ，则 $m n > p q$ B、若 $a > b > 0 ， c < 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > 0 ， b > 0 ， c > 0$ ，则 $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c$

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2、已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ，若对任意的正实数 $a$ 、 $b$ ，满足 $f (a) + f (2 b - 2) = 0$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{7 a + 2}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{13}{4}$ D、 $\frac{25}{4}$

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3、设 $a ， b \in R$ ，则“ $a = b \neq 0$ ”是“集合 $\{1, a - b, a\} = \{0, \frac{b}{a}, b\}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4、若 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}, b = {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{3}}, c = ln \sqrt{e}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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5、若 $x^{\frac{1}{2}} - x^{- \frac{1}{2}} = 1$ ，则 $x^{2} + x^{- 2} =$ （）

A、4 B、7 C、8 D、15

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6、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x - 2}}{x - 3} + {(x - 2)}^{0}$ 的定义域为（）

A、 $[2, + \infty ）$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $[2, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(2, 3) \cup (3, + \infty)$

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7、已知集合 $A = \{x |1 < x < 2\}, B = \{x |- 1 \leq x \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |1 < x < 2\}$ B、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ C、 $\{x ∣ 1 \leq x \leq 2\}$ D、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$

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8、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} \sin A + \cos A = 2$ .

(1)、求A.

(2)、已知 $a = 3$ .
（i）若 $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{4}$ ，求c；
（ii）若 $A B$ 边上一点P满足 $B P = A C$ ，点Q是 $A C$ 的中点，求 $P Q$ 的最小值.

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9、已知向量 $\vec{a} = (\cos x, \sin x)$ ， $\vec{b} = (3, \sqrt{3})$ ，且 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影的取值范围为

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10、在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以 $69.800$ 分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 绕其顶点分别逆时针旋转 $90 °$ 、 $180 °$ 、 $270 °$ 后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若 $p = 1$ ，则（）

A、开口向上的抛物线的方程为 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ B、 $|A B| = 4$ C、直线 $x + y = t$ 截第一象限花瓣的弦长最大值为 $\frac{1}{2}$ D、阴影区域的面积大于4

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11、如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}$ 是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（）

A、甲从M到达N处的方法有15种 B、甲从M必须经过 $A_{3}$ 到达N处的方法有6种 C、甲、乙两人在 $A_{3}$ 处相遇的概率为 $\frac{81}{225}$ D、甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为 $\frac{81}{225}$

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12、若 $b > a > 1$ ，则（）

A、 ${(\frac{1}{2})}^{b} > {(\frac{1}{2})}^{a}$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 ${log}_{a} b > 1$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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13、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象是由曲线 $y = \sin x$ 上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移 $φ (0 < φ < π)$ 个单位长度后所得，则 $f (φ) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、若直线 $3 x + 4 y + m = 0$ 与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 相切，则m的值为（）

A、21或 $- 1$ B、 $- 21$ 或1 C、5或 $- 15$ D、 $- 5$ 或15

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15、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{15}$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{11}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、5

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16、已知复数 $z = 1 - \frac{1}{i}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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17、将函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{6})$ 图象上的点 $A (\frac{π}{4}, t)$ 向左平移 $s (s > 0)$ 个单位长度得到点 $B$ ，若 $B$ 在函数 $y = \sin 2 x$ 的图象上，则 $s$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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18、聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)、求一个问题的应答被采纳的概率；

(2)、在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为 $X$ ，事件 $X = k$ （ $k = 0, 1, \dots, 8$ ）的概率为 $P (X = k)$ ，求当 $P (X = k)$ 最大时 $k$ 的值.

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19、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 左焦点 $F_{1} (- 1, 0)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点，若 $∠ M O N > \frac{π}{2}$ ，求 $k$ 的取值范围.

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20、如图，已知圆锥PO，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上（不同于A，B）， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B P}$ ， $\vec{C D} = λ \vec{C P} (0 < λ < 1)$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，证明： $A D / /$ 平面OCE；

(2)、若 $P A = A B = 2 B C = 4$ ，平面 $A B D ⊥$ 平面PBC，求λ的值．

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