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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ， $A \neq \frac{π}{2}$ ， $a = b \cos A$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $\sin A$ ；

(2)、若 $\tan C = \frac{1 - \sin A}{\cos A}$ ，求 $A + 2 B$ ；

(3)、在（2）的条件下，求证： $5 a > 5 c > 2 b$ .

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2、一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第 $0$ 站、第 $1$ 站、第 $2$ 站、 $\dots$ 、第 $100$ 站，共 $101$ 站，设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_{n}$ ，一枚棋子开始在第 $0$ 站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 $99$ 站（获胜）或第 $100$ 站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ ）．

(1)、求 $P_{0}$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ，并根据棋子跳到第 $n$ 站的情况，试用 $P_{n - 2}$ 和 $P_{n - 1}$ 表示 $P_{n}$ ；

(2)、求证： $\{P_{n} - P_{n - 1}\} (n = 1, 2, \dots, 99)$ 为等比数列；

(3)、求玩该游戏获胜的概率．

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, \sqrt{2})$ .
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设 $A, B$ 为椭圆 $C$ 的左、右顶点，过 $C$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ ，两点，分别记 $△ A B M, △ A B N$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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4、如图，在三棱柱 $A B C - D E F$ 中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点.

(1)、求证： $C O //$ 平面GED；

(2)、若 $A B = B D = B E = E F = 2$ ，求二面角 $A - C E - B$ 的余弦值.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} k x + x e^{- x} + \frac{k}{2}, x < 0 \\ e^{x} (x + 1), x \geq 0 \end{cases}$ （ $e$ 为自然对数的底数），若关于 $x$ 的方程 $f (- x) = - f (x)$ 有且仅有四个不同的解，则实数 $k$ 的取值范围是．

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6、已知函数 $f (x) = 4 {cos}^{2} (ω x - \frac{π}{12}) - 3 (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上恰有2个极大值点和1个极小值点，则 $ω$ 的取值范围为.

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7、已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为 $90^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积为.

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8、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ ，两平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $C$ 于点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， O为坐标原点，且 $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O B_{1}} = - 12 (i = 1, 2)$ ， M，N分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ 的中点，且 $|A_{1} B_{1}| < |A_{2} B_{2}|$ ，则（）

A、 $l_{1}$ 恒过 $C$ 的焦点 B、 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的横坐标之积为定值4 C、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 距离的最大值为6 D、直线 $M N$ 的斜率恒为定值

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9、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} = \{\begin{array}{l} 2^{n}, n 为奇数， \\ \frac{n}{2} + 1, n 为偶数， \end{array}$ 则（）

A、2025是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 B、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是公比为2的等比数列 C、 $S_{6} = 51$ D、若 $c_{n} = a_{2 n}$ ，则数列 $\{\frac{1}{c_{n} c_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和小于 $\frac{1}{2}$

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10、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q < 1$ ，将 $\{a_{n}\}$ 的前9项按照从小到大的顺序排列组成一组数据，则下列说法正确的是（）

A、该组数据的 $30 %$ 分位数为 $a_{3}$ B、该组数据的中位数小于其平均数 C、若去掉 $a_{5}$ ，所得新数据的中位数与原中位数相等 D、若 $b_{i} = 3 a_{i} (i = 1, 2, \dots, 9)$ ，则 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{9}$ 的方差是 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{9}$ 的方差的9倍

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11、三棱锥 $P - A B C$ 各个顶点均在球 $O$ 表面上， $A B ⊥ A C$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\sqrt{3}$ ，点 $P$ 在平面 $A B C$ 的射影为 $B C$ 中点，且 $P A$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $8 π$ B、 $16 π$ C、 $32 π$ D、 $24 π$

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12、已知圆 $O_{1} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $O_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过动点P分别作圆 $O_{1} 、$ 圆 $O_{2}$ 的切线PA，PB（A，B为切点），使得 $|P A| = \sqrt{2} |P B|$ ，则动点P的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、 $x^{2} = 4 y$ C、 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ D、 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 33$

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13、已知 $α \in (0, \frac{π}{2}), β \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $tan α + tan β = \frac{1}{cos β}$ ，则（）

A、 $2 β - α = \frac{π}{2}$ B、 $2 β + α = \frac{π}{2}$ C、 $2 α - β = \frac{π}{2}$ D、 $2 α + β = \frac{π}{2}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，则“ $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ”是“ $x = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、若复数 $z$ 满足 $z - 2 \bar{z} = 2 + 3 i$ ，则 $z \cdot i^{2025} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $- 2 - i$ C、 $1 - 2 i$ D、 $- 1 - 2 i$

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16、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $2 S_{n} = a_{n + 2} - 6$ ，

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{m}$ 为数列 $\{S_{n}\}$ 在区间 $(a_{m}, a_{m + 2})$ 中最大的项，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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17、某射击选手射击环数的分布列为
$X$
$7$
$8$
$9$
$10$
$P$
$0.3$
$0.3$
$a$
$b$
若射击不小于 $9$ 环为优秀，其射击一次的优秀率为．

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18、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，若 $F_{2}$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $△ A F_{1} B$ 的面积为．

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19、若函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(1, 1)$ ，则函数 $y = f (4 - x)$ 的图象一定经过点.

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20、已知直线 $l_{1} : a x - y + 1 = 0$ ， $l_{2} : x + a y + 1 = 0$ ， $a \in R$ ，以下结论正确的是（）

A、不论 $a$ 为何值时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 都互相垂直； B、当 $a$ 变化时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别经过定点 $A (0, 1)$ 和 $B (- 1, 0)$ C、不论 $a$ 为何值时， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 都关于直线 $x + y = 0$ 对称 D、如果 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点M，则 $|M O|$ 的最大值是 $\sqrt{2}$

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$X$	$7$	$8$	$9$	$10$
$P$	$0.3$	$0.3$	$a$	$b$