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1、折扇深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉棚齐编凤翅长”.折扇平面图为下图的扇形 $O C D$ ，其中 $∠ A O B = 120 °$ ， $O D = 4$ ， $O B = 1$ ，动点 $P$ 在弧 $C D$ 上（含端点），连接 $O P$ 交扇形 $O A B$ 的弧 $A B$ 于点 $Q$ ，且 $\vec{O P} = x \vec{O C} + y \vec{O D}$ ，则下列说法错误的是（）

A、若 $y = x$ ，则 $x + y = 2$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{P Q} > - 5$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} \geq \frac{23}{2}$ D、若 $y = 3 x$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O P} = 0$

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2、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = \vec{a}$ ， $\vec{B D} = \vec{b}$ ，则用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{A D}$ 和 $\vec{A B}$ 分别是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 和 $\vec{a} + \vec{b}$ C、 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ D、 $\frac{\vec{a} - \vec{b}}{2}$ 和 $\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 1, λ)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、2

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4、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的两点， $A B = 3$ ， $A D = 2$ .

(1)、若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 、 $B C$ 的中点，求 $cos ∠ P A Q$ ；

(2)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接 $A P$ 交 $B C$ 的延长线于点 $T, Q$ 为 $B C$ 的中点，试探究线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大.若存在，求 $B H$ 的长；若不存在，说明理由.

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} a - 2 c = 2 b cos (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，且 $2 a = \sqrt{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{2}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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7、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D B C = 75 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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8、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数k的值．

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9、已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}$ ，则 ${sin}^{2} \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} =$ .

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10、已知 $A (- 1, 2), B (2, 0), C (x, 3)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ .

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11、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有两个不同的零点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两条对称轴 B、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、若 $f (0) = f (π)$ ，则 $ω = \frac{5}{3}$

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12、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，给出下列判断，其中正确的是（）．

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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13、对于 $△ A B C$ ，下列说法正确的有（）

A、存在 $△ A B C$ ，满足 $a = 8, b = 9, c = 10, B = 60^{\circ}$ . B、若 $A ＞ B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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14、如图，在重 $100 N$ 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）

A、 $50 \sqrt{3} N$ ， $50 \sqrt{3} N$ B、 $50 N$ ， $100 N$ C、 $50 \sqrt{3} N$ ， $50 N$ D、 $100 N$ ， $50 \sqrt{3} N$

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15、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[- π, - \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是奇函数 D、该函数的图象可由 $y = 2 \cos x$ 的图象向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到

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16、如图，向量 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ B、 $- 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 4)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、8

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18、若复数 $z = 2 - b i (b \in R)$ 的实部与虚部互为相反数，则 $|z|$ 的值为（）

A、0 B、2 C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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19、 $\sin 15^{\circ} \cos 45^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 135^{\circ} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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20、开启某款保险柜需输入四位密码 $\bar{a_{1} a_{2} a_{3} x_{s}}$ ，其中 $\bar{a_{1} a_{2} a_{3}}$ 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是 $0 \sim 9$ 中的一个整数）， $x_{s}$ 是根据开启时收到的动态校验钥匙 $s$ （ $s$ 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码. $x_{s}$ 的具体计算方式： $x_{s}$ 是 $M = a_{1} \cdot s^{3} + a_{2} \cdot s^{2} + a_{3} \cdot s$ 的个位数字.例如：若静态密码为 $\bar{301}$ ，动态校验钥匙 $s = 2$ ，则 $M = 3 \times 2^{3} + 0 \times 2^{2} + 1 \times 2 = 26$ ，从而动态校验码 $x_{2} = 6$ ，进而得到四位开柜密码为 $\bar{3016}$ .

(1)、若用户最终得到的四位开柜密码为 $\bar{2024}$ ，求所有可能的动态校验钥匙 $s$ ；

(2)、若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙 $s = 5$ ，求动态校验码 $x_{s}$ 的概率分布列；

(3)、若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙 $s = i (1 \leq i \leq 5, i \in N)$ 的概率为 $p_{i}$ ，其中 $p_{i}$ 是互不相等的正数.记得到的动态校验码 $x_{s} = k (0 \leq k \leq 9, k \in N)$ 的概率为 $Q_{k}$ ，试比较 $Q_{0}$ 与 $Q_{1}$ 的大小.

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