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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A A_{1} = 4$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $A B$ 与直线 $B_{1} C_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ B、三棱锥 $A - A_{1} B C$ 的体积为 $12 \sqrt{3}$ C、点 $C_{1}$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离为 $\sqrt{13}$ D、四棱锥 $A_{1} - B_{1} B C C_{1}$ 的外接球的表面积为 $64 π$

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2、在 $△ A B C$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $\tan (A + B) = \tan C$ B、 $sin \frac{A + B}{2} = cos \frac{C}{2}$ C、若 $\cos A < \cos B$ ，则 $A > B$ D、存在 $△ A B C$ ，使得 $\sin A + \sin B < \sin C$ 成立

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3、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为 $B C$ 的中点，点 $Q$ 为四边形 $C C_{1} D_{1} D$ 及其内部的动点， $P Q / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ .则 $P Q$ 与平面 $A B C D$ 所成角正切值的范围（）

A、 $[0, \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[0, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[0, \sqrt{2}]$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{4}$ ， $A D ⊥ B C$ 于 $D$ ， $A D = 2$ ， $B C = 6$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{A C}$ B、 $- \frac{1}{5} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{5} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A C}$

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5、已知 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (2, \sqrt{2})$ ， $\vec{A C} = (4, - 2 \sqrt{2})$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $4$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $12$

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6、如图，已知圆锥 $S O$ 的轴截面 $S A B$ 是边长为4的正三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $4 \sqrt{3} π$ D、 $4 π$

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7、设 $α$ ， $β$ 为不同的平面，m，n为不同的直线，则下列说法中正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / α$ C、若 $m / / α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α \cap β = n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $m ⊥ β$

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8、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{3}{5}$ ，则 $cos (π - α) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x + 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 2$ C、2 D、3

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10、设 $i$ 为虚数单位，复数 $z = i (2 - i)$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点在第（）象限.

A、一 B、二 C、三 D、四

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11、已知向量 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- 2 \vec{a}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 8$ B、8 C、4 D、 $- 4$

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12、如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ ， $E$ 分别为边 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿着 $D E$ 折起，使得点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，如图2，且二面角 $P - D E - C$ 的大小为 $60^{\circ}$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求点 $E$ 到平面 $P D C$ 的距离；

(3)、在棱 $P E$ 上是否存在点 $G$ ，使得 $B G$ 与平面 $P D E$ 所成角的正弦值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求 $P G$ 的长；若不存在，请说明理由．

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13、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知 $(2 a \cos C + 2 c \cos A) \cos A = b$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $a = 2$ ， $\vec{A C} \cdot \vec{A B} = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、如图， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A D = 2$ ，求 $\frac{1}{B D} + \frac{1}{C D}$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < π)$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式及单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $y = g (x)$ 图象，若不等式 $g (x) - m \leq 4$ 对任意 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 成立，求m的取值范围.

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15、已知角 $α$ 的顶点在原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (- 3, y)$ ，且 $\tan α = - \frac{4}{3}$ .

(1)、求 $\sin (π - α) + \sin (\frac{π}{2} + α)$ 的值；

(2)、将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ ，此时终边所对应的角为 $β$ ，求 $\sin (α + β)$ 的值.

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为45°，且满足 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影长度；

(2)、若向量 $2 \vec{a} - k \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，求 $k$ 的值.

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17、解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义.我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为AB，在地面上共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为 $30^{\circ} ， 45^{\circ} ， 60^{\circ}$ ，且 $C D = D E = 22 m$ ，则解放碑的高AB为.

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18、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\cos (α - β) = \frac{1}{6}$ ， $\cos (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α \tan β =$ .

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19、已知圆锥的底面半径 $r = 2$ ，高为 $h = 4 \sqrt{2}$ ，则这个圆锥的表面积是.

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20、如图茶杯的形状是一个上宽下窄的正四棱台，上底面边长为下底面边长的2倍，容积为28mL，厚度忽略不计.当倒入14mL茶水时，茶水的高度与茶杯的高度之比为（）

A、 $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - \frac{1}{2}$ D、 $\sqrt[3]{\frac{9}{2}} - 1$

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