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相关试卷

1、某校举办“数学文化节”，设有 $n$ 个不同主题的展区（ $n \geq 2$ ），每个展区有唯一的主题编号，分别为1，2，…， $n$ .游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区.规定：若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 $X$ .

(1)、当 $n = 3$ 时，求参观者仅获得1枚纪念章的概率；

(2)、当 $n = 4$ 时，求参观者获得纪念章枚数 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、设 $a_{n}$ 为 $n$ 个展区时参观者获得纪念章枚数 $X$ 的期望值，求 $a_{n}$ 关于 $n$ 的表达式，并证明 $\{a_{n}\}$ 是递增数列.

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2、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ （ $a \in R$ ）， $g (x) = x e^{1 - x}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a = 1$ 时，对任意 $x > 0$ ，都有 $f (x) < g (x)$ ；

(3)、若方程 $f (x) = g (x)$ 没有实根，求整数 $a$ 的最小值.

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，且经过点 $P (2, \sqrt{2})$ .

(1)、求 $C$ 的标准方程；

(2)、若过点 $Q (1, 1)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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4、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，且 $A B = 2$ ，三角形 $A D E$ 是正三角形，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C D$ .点 $F$ 在平面 $A B C D$ 上的投影为 $B D$ 与 $A C$ 的交点 $O$ ，且 $O F = \sqrt{3}$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $A O F$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $D$ 到平面 $B E F$ 的距离.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 b \cos C = 2 a - c$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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6、若数列 $\{a_{n}\}$ （ $n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, k$ ）满足 $a_{1} = a_{k} = a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k} = t$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k - t$ 和谐数列”.已知数列 $\{b_{n}\}$ 是“ $6 - 0$ 和谐数列”，且 $b_{n} \in \{- 1, 0, 1\}$ ，则满足条件的数列 $\{b_{n}\}$ 的个数为.

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7、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, - 2)$ ，点 $P$ 在 $C$ 上运动，则 $△ P A B$ 面积的最小值为.

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8、已知正数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 3 y = 8$ ，则 $(x + 1) (y + 1)$ 的最大值为.

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9、若函数 $f (x)$ 图象上存在不同的两点 $A$ 和 $B$ ，使得 $f (x)$ 的图象在点 $A$ ， $B$ 处的切线交于直线 $x = m$ （ $m$ 为常数）上同一点，则称 $A$ ， $B$ 为函数 $f (x)$ 的一对“关于直线 $x = m$ 的共轴切点”. 已知函数 $f (x) = e^{x} - k x^{2} (k \in R)$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在实数 $k$ ，使得 $f (x)$ 不存在关于 $y$ 轴的共轴切点 B、若 $f (x)$ 存在关于直线 $x = 1$ 的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C、若 $k < 0$ ，则存在实数 $m$ ，使得 $f (x)$ 存在关于直线 $x = m$ 的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D、若 $k < 0$ ，则对于任意 $m$ ， $f (x)$ 都存在关于直线 $x = m$ 的共轴切点

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + b (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ B、函数 $g (x) = f (x) + f (x + \frac{π}{4})$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 2$ C、函数 $h (x) = f (x) \cos x$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、方程 $f (x) = 1 + \sqrt{2}$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上恰有 $4$ 个实数根

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11、2026年是“十四五”环境治理规划的关键验收年.某市生态环境局为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天的PM2.5预测误差（预测误差＝实际浓度－预测浓度，单位： ${μg/m}^{3}$ ）.如下表：
日期
1
2
3
4
5
6
7
预测误差 $x_{i}$
$- 4$
$- 2$
1
0
$- 1$
3
3
下列关于这7天预测误差 $x_{i}$ 的描述中，正确的有（）

A、这组数据的众数是3 B、这组数据的60%分位数是0.5 C、这组数据的方差大于5 D、若第8天该模型预测误差为 $- 2$ ，则加入第8天数据后，新数据组的平均数将变小

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12、已知定义在 $R$ 上的可导函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x + 1)$ 是偶函数； $f (4 - x) = 2 - f (x)$ ； $f (0) = 1$ ， $f^{'} (0) = 2$ ，则 $f (2026) + f^{'} (2026) =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、3

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13、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $B B_{1} = 4$ ， $N$ 是 $C C_{1}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上运动（含端点），则点 $P$ 到平面 $A B N$ 的距离的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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14、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上满足 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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15、在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件 $A$ ：甲、乙选择的专题不同；事件 $B$ ：乙、丙选择的专题相同，则 $P (B |A) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，且 $a_{1} a_{5} + 4 a_{2} a_{6} + 4 a_{3} a_{7} = 16$ ，则 $a_{3} + 2 a_{5} =$ （）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $12$ D、 $16$

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17、已知 $tan (α + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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18、已知复数 $z$ 满足 $z (2 - i) = |2 + 2 i| + \sqrt{2} i$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 5 x + 6 < 0\}$ ， $B = \{x ||x - 2| > 1\}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- \infty, 1] \cup [3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2) \cup (3, + \infty)$ D、 $(1, 2) \cup (3, + \infty)$

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = \sqrt{a_{n} + 2}$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．记 $[x]$ 表示不超过x的最大整数．

(1)、求 $[S_{1}], [S_{2}], [S_{3}]$ ；

(2)、是否存在常数A， $ω (A > 0, 0 < ω < 2 π)$ ，使得 $a_{n} = A \cos \frac{ω}{2^{n}}$ ？若存在，求A和 $ω$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、求 $[2 S_{1} + 1] + [2 S_{2} + 1] + \dots + [2 S_{n} + 1]$ ．

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日期	1	2	3	4	5	6	7
预测误差 $x_{i}$	$- 4$	$- 2$	1	0	$- 1$	3	3