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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (2, 3, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 2, - 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $2 \vec{b}$ B、 $- 2 \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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2、若 $l_{1} : x - m y - 1 = 0$ 与 $l_{2} : (m - 2) x - 3 y + 1 = 0$ 是两条不同的直线，则“ $m = - 1$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、设数阵 $A_{0} = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array})$ ，其中 $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ．设 $S = \{e_{1}, e_{2}, \dots, e_{l}\} \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ，其中 $e_{1} < e_{2} < \dots < e_{l}, l \in N^{*}$ 且 $l \leq 6$ ．定义变换 $φ_{k}$ 为“对于数阵的每一行，若其中有 $k$ 或 $- k$ ，则将这一行中每个数都乘以 $- 1$ ；若其中没有 $k$ 且没有 $- k$ ，则这一行中所有数均保持不变” $(k = e_{1}, e_{2}, \dots, e_{l}) . φ_{s} (A_{0})$ 表示“将 $A_{0}$ 经过 $φ_{e_{1}}$ 变换得到 $A_{1}$ ，再将 $A_{1}$ 经过 $φ_{e_{2}}$ 变换得到 $A_{2}, \dots$ 以此类推，最后将 $A_{l - 1}$ 经过 $φ_{e_{l}}$ 变换得到 $A_{l}$ ．记数阵 $A_{l}$ 中四个数的和为 $T_{s} (A_{0})$ ．

(1)、若 $A_{0} = (\begin{array}{l} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{array}), S = \{1, 3\}$ ，写出 $A_{0}$ 经过 $φ_{1}$ 变换后得到的数阵 $A_{1}$ ，并求 $T_{s} (A_{0})$ 的值；

(2)、若 $A_{0} = (\begin{array}{l} 1 & 3 \\ 3 & 6 \end{array}), S = \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\}$ ，求 $T_{s} (A_{0})$ 的所有可能取值的和；

(3)、对任意确定的一个数阵 $A_{0}$ ，证明： $T_{s} (A_{0})$ 的所有可能取值的和不超过 $- 4$ ．

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4、已知 $O$ 为坐标原点， $F$ 为抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $A (x_{0}, y_{0})$ 在抛物线上，其中 $y_{0} > 0$ ，弦 $O A$ 的中点为 $M$ ，以 $M$ 为端点的射线 $M F$ 与抛物线交于点 $B$ ．
（1）若 $F$ 恰好是 $△ A O B$ 的重心，求 $y_{0}$ ；
（2）若 $1 \leq y_{0} \leq 2$ ，求 $\frac{S_{△ A O B}}{S_{△ O M F}}$ 的取值范围．

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5、某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面 $A B C$ 与 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 全等且所在平面平行， $△ A B C$ 与 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 各边表示挡雨棚支架，支架 $A A_{1}$ 、 $B B_{1}$ 、 $C C_{1}$ 垂直于平面 $A B C$ .雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为 $\frac{π}{6}$ （即 $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形 $A A_{1} O_{1} O$ （ $O$ 、 $O_{1}$ 分别在 $C A$ 、 $C_{1} A_{1}$ 延长线上）.

(1)、挡雨板（曲面 $B B_{1} C_{1} C$ ）的面积可以视为曲线段 $B C$ 与线段 $B B_{1}$ 长的乘积．已知 $O A = 1.5$ 米， $A C = 0.3$ 米， $A A_{1} = 2$ 米，小组成员对曲线段 $B C$ 有两种假设，分别为：①其为直线段且 $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ；②其为以 $O$ 为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）；

(2)、小组拟自制 $△ A B C$ 部分的支架用于测试（图3），其中 $A C = 0.6$ 米， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $∠ C A B = θ$ ，其中 $\frac{π}{6} < θ < \frac{π}{2}$ ，求有效遮挡区域高 $O A$ 的最大值.

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形，E，F分别在棱 $P D$ ， $B C$ 上且 $P E = \frac{1}{3} P D$ ， $C F = \frac{1}{3} B C$ ．

(1)、证明： $C E$ ∥平面 $P A F$ ；

(2)、若 $A D = A P$ ，求直线 $C D$ 与平面 $P A F$ 所成角的正弦值．

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7、全民健身创精彩，健康成长蟩未来.为此某校每年定期开展体育艺术节活动，活动期间举办乒乓球比赛.假设甲乙两人进行一场比赛，在每一局比赛中，都不会出现平局，甲获胜的概率为 $p$ （ $0 < p < 1$ ）.

(1)、若比赛采用五局三胜制，且 $p = 0.5$ ，则求甲在第一局失利的情况下，反败为胜的概率；

(2)、若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且 $p > \frac{1}{2}$ ，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大？并说明理由.

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8、汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具.如图所示目标柱起始柱辅助柱的汉诺塔模型，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有 $n$ 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面.规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将 $n$ 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为 $p (n)$ ，则 $p (3) =$ . $\sum_{i = 1}^{n} p (i) =$ .

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9、将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为．（结果用分数表示）

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10、“牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值．南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“牟合方盖”和球的体积．其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为 $2 r$ 的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为 $2 r$ 的正方体的八分之一，图3是以底面边长为 $r$ 的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的是：（）

A、若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形 B、图2中阴影部分的面积为 $h^{2}$ C、“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为 $π : 4$ D、由棱长为 $2 r$ 的正方体截得的“牟合方盖”体积为 $\frac{16}{3} r^{3}$

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11、已知函数 $f (x) = a sin 2 x + b cos 2 x (a b \neq 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称，若存在 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，满足 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| + |f (x_{2}) - f (x_{3})| + \dots + |f (x_{n - 1}) - f (x_{n})| = |24 b|$ ，其中 $n \geq 2, n \in N_{+}$ ，则 $n$ 的最小值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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12、在研究急刹车的停车距离问题时，通常假定停车距离等于反应距离（ $d_{1}$ ，单位：m）与制动距离（ $d_{2}$ ，单位：m）之和.如图为某实验所测得的数据，其中“KPH”表示刹车时汽车的初速度 $v$ （单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中最适合描述 $d_{1}$ ， $d_{2}$ 与 $v$ 的函数关系的是（）

A、 $d_{1} = α v$ ， $d_{2} = β \sqrt{v}$ B、 $d_{1} = α v$ ， $d_{2} = β v^{2}$ C、 $d_{1} = α \sqrt{v}$ ， $d_{2} = β v$ D、 $d_{1} = α \sqrt{v}$ ， $d_{2} = β v^{2}$

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13、中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a = 6$ ， $b + c = 8$ ，则此三角形面积的最大值为（）

A、 $3 \sqrt{7}$ B、8 C、 $4 \sqrt{7}$ D、 $9 \sqrt{3}$

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14、已知函数对任意的 $x \in R$ 有 $f (x) + f (- x) = 0$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = ln (x + 1)$ ，则函数 $f (x)$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15、定义 $\frac{n}{p_{1} + p_{2} + p_{3} + \cdot \cdot \cdot + p_{n}}$ 为 $n$ 个正数 $p_{1}, p_{2}, p_{3}, \cdot \cdot \cdot, p_{n}$ 的“均倒数”，若已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的“均倒数”为 $\frac{1}{5 n}$ ，则 $a_{10}$ 等于（）

A、85 B、90 C、95 D、100

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16、设集合U=R， $A = \{x |2^{x (x - 2)} < 1\}$ ， $B = \{x |y = \ln (1 - x)\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、{x|x≥1} B、{x|1≤x<2} C、{x|0<x≤1} D、{x|x≤0}

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17、如图①所示，长方形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $A B = 2$ ，点 $M$ 是边 $C D$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 翻折到 $△ P A M$ ，连接 $P B$ ， $P C$ ，得到图②的四棱锥 $P - A B C M$ ．

(1)、求四棱锥 $P - A B C M$ 的体积的最大值；

(2)、若棱 $P B$ 的中点为 $N$ ，求 $C N$ 的长；

(3)、设 $P - A M - D$ 的大小为 $θ$ ，若 $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ ，求平面 $P A M$ 和平面 $P B C$ 夹角余弦值的最小值．

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$ 经过点 $(2,−3)$ ，两条渐近线的夹角为 $6 0^{∘}$ ，直线 $l$ 交双曲线于 $A, B$ 两点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程.

(2)、若动直线 $l$ 经过双曲线的右焦点 $F_{2}$ ，是否存在 $x$ 轴上的定点 $M (m,0)$ ，使得以线段 $A B$ 为直径的圆恒过 $M$ 点？若存在，求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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19、如图，已知 $A B C D$ 和 $C D E F$ 都是直角梯形， $A B / / D C$ ， $D C / / E F$ ， $A B = 5$ ， $D C = 3$ ， $E F = 1$ ， $∠ B A D = ∠ C D E = 60 °$ ，二面角 $F - D C - B$ 的平面角为 $60 °$ ．设M，N分别为 $A E, B C$ 的中点．

(1)、证明： $F N ⊥ A D$ ；

(2)、求直线 $B M$ 与平面 $A D E$ 所成角的正弦值．

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20、已知点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ 关于直线 $l$ ： $x + y - 1 = 0$ 对称．
（1）若直线 $l_{1}$ 过点 $B$ ，且使得点 $A$ 到直线 $l_{1}$ 的距离最大，求直线 $l_{1}$ 的方程；
（2）若直线 $l_{2}$ 过点 $A$ 且与直线 $l$ 交于点 $C$ ， $△ A B C$ 的面积为2，求直线 $l_{2}$ 的方程．

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