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相关试卷

1、已知抛物线 $C : y ^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $| M N | = 54$ ，则直线 $l$ 的斜率为.

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2、在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为 $M$ ，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使 $M$ 增加且只增加 $1$ 的是：（        ）.


A、    B、    C、    D、

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3、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，已知点 $A (4, 0), B (2, b)$ ，直线l交Γ于P、Q两点（异于 $A_{1}, A_{2}$ ），当直线l过点A且与x轴垂直时， $△ B P Q$ 的重心G在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆O上．下列结论正确的是（）

A、点 $F_{1}$ 到Γ的渐近线的距离为2 B、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积为2 C、若直线l过点 $F_{2}$ ，当 $|P Q| = 6$ 时，这样的直线l只有2条 D、若直线l过点A，且 $∠ P O Q = 90 °$ ，则 $∣ P Q ∣ = 8 \sqrt{5}$

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4、若 $a = \frac{π}{2} sin 1 + \frac{π}{2} tan 1$ ， $b = π$ ， $c = 2 lnπ + \frac{1}{π}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ · D、 $b > a > c$

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5、已知 $M$ 是圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，以点 $M$ 为圆心， $|O M|$ 为半径作圆 $M$ ，设圆 $M$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，则下列点中，直线 $A B$ 一定不经过（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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6、将顶点在原点，始边为 $x$ 轴非负半轴的锐角 $α$ 的终边绕原点逆时针转过 $\frac{π}{4}$ 后，交单位圆于点 $P (- \frac{3}{5}, y)$ ，那么 $cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{10}$

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7、集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{x | x = 2 k - 1, k \in N\}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 内的最大值为2，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x) \geq x - \frac{1}{x}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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9、已知椭圆的两个焦点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，过点 $F_{1}$ 作垂直于长轴的直线 $l$ 交椭圆于点 $A, B$ ，此时与椭圆长轴的两端点 $C, D$ 形成的四边形的面积为2．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1} (l_{1} \neq l), l_{2}$ 与椭圆分别交于点 $P, Q$ 及 $M, N$ ，求四边形 $P Q M N$ 的面积的最小值．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的正项等比数列.又 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} - 8$ 构成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n} = 2 (n - 1) \cdot 3^{n} + 2$ .令 $C_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ .求数列 $\{C_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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11、若 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin α =$ ．

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12、若曲线 $y = 2 \tan (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值为．

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13、已知 $a > b > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$ C、 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} > \frac{a + b}{2}$ D、 $a^{2} + \frac{1}{b^{2}} > b^{2} + \frac{1}{a^{2}}$

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14、牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间y（h）与储藏温度x（ $^{\circ} C$ ）关系为 $y = k e^{r x} (k, r$ 为常量）．若牛奶在0 $^{\circ} C$ 的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5 $^{\circ} C$ 的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10 $^{\circ} C$ 的冰箱中保鲜时间约是（）

A、49h B、56h C、64h D、76h

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15、已知函数 $f (x) = \frac{2 a}{x} - ln x - 1$ ，若 $f (x) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e]$ B、 $(- \infty, - \frac{1}{2 e^{2}}]$ C、 $(1, e]$ D、 $[- \frac{1}{2 e^{2}}, 1)$

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16、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $ω$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $π$ D、 $2 π$

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17、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} = 3$ ，直线 $l$ 过点 $A (- \sqrt{3}, 1)$

(1)、当直线 $l$ 与圆 $C$ 相切时，求直线 $l$ 的方程；

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 在圆 $C$ 上运动，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $P - C D - A$ 的正弦值.

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19、已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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20、如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为．

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