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相关试卷

1、已知正 $n$ 边形的边长为 $a$ ，内切圆的半径为 $r$ ，外接圆的半径为 $R$ ，则 $R - r$ 的值为（）

A、 $\frac{a}{2} tan \frac{π}{2 n}$ B、 $\frac{a}{2 tan \frac{π}{2 n}}$ C、 $\frac{a (1 - cos \frac{π}{n})}{sin \frac{π}{n}}$ D、 $\frac{a sin \frac{π}{n}}{(1 + cos \frac{π}{n})}$

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2、某商品当前价格为100元/件，预计下个月价格上涨 $15 %$ 或下跌 $20 %$ （两种情况概率各 $50 %$ ）．若需在当前和下个月各购买1件（共2件），有两种策略：
策略P：按需购买，当前买1件（100元），下个月按当时价格买1件；
策略Q：当前一次性购买2件，享受总价95折（即两件总价为 $2 \times 100 \times 0.95 = 190$ 元）．
不考虑资金时间价值，预计哪种策略的平均总成本更低？（）

A、策略P B、策略Q C、平均总成本相同 D、需根据价格波动幅度判断

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3、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2}, A C = 3, ∠ B A C = 45 °, \vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}, \vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则 $cos ∠ A D E =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ D、 $- \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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4、若关于 $x$ 的不等式 $x - \frac{a}{x} < 0 (a \in R)$ 在区间 $(1, 2)$ 上恒成立，则 $a$ 的值可能是（）

A、 $- 2$ B、1 C、2 D、4

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5、已知函数 $y = f (x)$ ，与其相应的 $y = f (x + 1)$ 的图象如图所示，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (2) = - 1$ C、 $f (99) = 0$ D、 $f (100) = 1$

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6、已知随机事件 $A, B$ 是互斥事件，且 $P (A) = 0.3, P (B) = 0.5$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $P (\bar{A}) = 0.7$ B、 $P (A \cup B) = 0.8$ C、 $P (A \cap B) = 0$ D、 $P (\bar{A \cup B}) = 0$

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7、已知平面 $α$ 与直线 $l$ ，则“ $l // α$ ”是“直线 $l$ 与平面 $α$ 无公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、下列直线为函数 $f (x) = sin (x + \frac{π}{2})$ 的对称轴是（）

A、 $x = 0$ B、 $x = \frac{π}{4}$ C、 $x = \frac{π}{2}$ D、 $x = - \frac{π}{2}$

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9、已知 $\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、任何实数

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10、函数 $f (x) = \sqrt{x^{3}} + 1$ 的定义域是（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $R$

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11、已知集合A={1，2}，B={2，3}，则A $\cap$ B=（）

A、{2} B、{1，2，3} C、{1，3} D、{2，3}

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12、已知数列 $\{b_{n}\}$ ， $b_{n} \in N^{*}$ ，记集合 $A = {t | t = \frac{b_{m}}{b_{k}}, k < m}$ 的元素个数为 $|A|$ .

(1)、若 $\{b_{n}\}$ 为1，2，4，8，12，写出集合 $A$ ，并求 $|A|$ 的值；

(2)、若 $\{b_{n}\}$ 为1，3，a，b，且 $|A| = 3$ ，求 $\{b_{n}\}$ 和集合 $A$ ；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 项数为 $r$ ，满足 $b_{n + 1} > b_{n} (n = 1, 2, \dots, r - 1)$ ，求证：“ $|A| = r - 1$ ”的充要条件是“ $\{b_{n}\}$ 为等比数列”.

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13、已知 $△ A B C$ 的角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ， $A \neq \frac{π}{2}$ ， $a = b \cos A$ .

(1)、若 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $\sin A$ ；

(2)、若 $\tan C = \frac{1 - \sin A}{\cos A}$ ，求 $A + 2 B$ ；

(3)、在（2）的条件下，求证： $5 a > 5 c > 2 b$ .

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14、一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第 $0$ 站、第 $1$ 站、第 $2$ 站、 $\dots$ 、第 $100$ 站，共 $101$ 站，设棋子跳到第 $n$ 站的概率为 $P_{n}$ ，一枚棋子开始在第 $0$ 站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第 $99$ 站（获胜）或第 $100$ 站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $5$ 、 $6$ ）．

(1)、求 $P_{0}$ 、 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ ，并根据棋子跳到第 $n$ 站的情况，试用 $P_{n - 2}$ 和 $P_{n - 1}$ 表示 $P_{n}$ ；

(2)、求证： $\{P_{n} - P_{n - 1}\} (n = 1, 2, \dots, 99)$ 为等比数列；

(3)、求玩该游戏获胜的概率．

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(2, \sqrt{2})$ .
（1）求椭圆的标准方程.
（2）设 $A, B$ 为椭圆 $C$ 的左、右顶点，过 $C$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $M, N$ ，两点，分别记 $△ A B M, △ A B N$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $|S_{1} - S_{2}|$ 的最大值.

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16、如图，在三棱柱 $A B C - D E F$ 中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点.

(1)、求证： $C O //$ 平面GED；

(2)、若 $A B = B D = B E = E F = 2$ ，求二面角 $A - C E - B$ 的余弦值.

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} k x + x e^{- x} + \frac{k}{2}, x < 0 \\ e^{x} (x + 1), x \geq 0 \end{cases}$ （ $e$ 为自然对数的底数），若关于 $x$ 的方程 $f (- x) = - f (x)$ 有且仅有四个不同的解，则实数 $k$ 的取值范围是．

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18、已知函数 $f (x) = 4 {cos}^{2} (ω x - \frac{π}{12}) - 3 (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{6})$ 上恰有2个极大值点和1个极小值点，则 $ω$ 的取值范围为.

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19、已知一个圆台的上、下底面半径分别为2，4，它的侧面展开图扇环的圆心角为 $90^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积为.

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20、已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 8 x$ ，两平行直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $C$ 于点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， O为坐标原点，且 $\vec{O A_{1}} \cdot \vec{O B_{1}} = - 12 (i = 1, 2)$ ， M，N分别是 $A_{1} B_{1}$ ， $A_{2} B_{2}$ 的中点，且 $|A_{1} B_{1}| < |A_{2} B_{2}|$ ，则（）

A、 $l_{1}$ 恒过 $C$ 的焦点 B、 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的横坐标之积为定值4 C、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 距离的最大值为6 D、直线 $M N$ 的斜率恒为定值

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