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相关试卷

1、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{a_{n} a_{n + 2}}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 3$ .

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2、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x - 4 m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}, x_{2}$ .

(1)、证明： $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 为定值.

(2)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 9$ ，求 $m$ 的值.

(3)、求关于 $x$ 的不等式 $m (x - \frac{1}{x_{1} + x_{2}}) \cdot \frac{x^{2} - 3 m x + 2 m^{2}}{x - 2 m} < 0$ 的解集.

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3、已知函数 $f (x) = a x^{2} - (a^{2} + 1) x + a$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，解关于x的不等式 $f (x) < 0$ ；

(2)、若当 $a > 0$ 时， $f (x) < 0$ 在 $x \in [1, 2]$ 上恒成立，求实数a的取值范围.

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4、为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形 $A B C D$ ，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且 $G H = 2 E F$ ），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为 $36000 {cm}^{2}$ .为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设 $E F = x cm$ .

(1)、当 $x = 60$ 时，求海报纸（矩形 $A B C D$ ）的周长；

(2)、为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形 $A B C D$ 的面积最小）？

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5、已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $x^{2} + 2 m x + m + 2 \geq 0$ 的解集为 $R$ .

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求函数 $y = m + \frac{3}{m + 2}$ 的最小值；

(3)、解关于 $x$ 的不等式 $x^{2} + (m - 3) x - 3 m > 0$ .

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6、已知集合 $A = {x ∣ a < x < a^{2} + 1}, B = {x ∣ x^{2} - 9 < 0}$ ．

(1)、若 $a = - 2$ ，求 $A \cup B, A \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”成立的充分不必要条件，求 $a$ 的取值范围．

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7、已知一元二次不等式 $x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则 $b x^{2} + x + c < 0$ 的解集为.

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8、下列说法正确的是( )

A、已知0＜x $＜ \frac{1}{2}$ ，则x(1﹣2x)的最大值为 $\frac{1}{8}$ B、当 $x < \frac{4}{3}$ 时， $y = 3 x - 1 + \frac{1}{3 x - 4}$ 的最大值是1 C、若 $1 < a < 3$ ， $2 < b < 5$ ，则 $2 a - 3 b + 1$ 的取值范围是 $(- 4, 1)$ D、若 $M = 2 a (a - 2) + 7$ ， $N = (a - 2) (a - 3)$ ，则 $M < N$

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9、集合 $M = \{x |x = \frac{k}{2} - \frac{1}{3}, k \in Z\}, P = \{y |y = \frac{n}{2} + \frac{1}{6}, n \in Z\}, S = \{z |z = m + \frac{1}{6}, m \in Z\}$ 间的关系是（）

A、 $S \cap M = P$ B、 $S \cup P = M$ C、 $P \cap S = P$ D、 $P \cup M = S$

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10、设集合 $A = \{x | a x^{2} - a x - 1 > 0\}$ ，若A为空集，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, 0)$ B、 $(- 4, 0]$ C、 $[- 4, 0)$ D、 $[- 4, 0]$

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11、已知 $p$ ：“ $x - 1 = \sqrt{x - 1}$ ”， $q$ ：“ $x = 2$ ”，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知 $b < a < - 3 b$ ，则 $|\frac{a}{b}|$ 的取值范围为（）

A、 $0 < |\frac{a}{b}| < 3$ B、 $0 \leq |\frac{a}{b}| < 3$ C、 $|\frac{a}{b}| > 3$ D、 $1 < |\frac{a}{b}| < 3$

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13、设全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2, 3}$ ，集合 $A = {- 1, 2}, B = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 = 0\}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 ${- 1, 3}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${- 1, 2, 3}$ D、 ${- 2, 0, 1, 2, 3}$

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14、已知函数 $f (x) = x \cdot |x - a| + b x (a, b \in R)$ .

(1)、若 $a = b = 0$ .
（i）求不等式 $f (x) < 4$ 的解集；
（ii）若对任意的 $x \geq 0$ ， $f (x + m) - m^{2} f (x) < 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、若存在实数 $a$ ，对任意的 $x \in (0, n]$ 都有 $f (x) \leq (b - 1) x + 4$ 恒成立，求实数 $n$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = x^{2} - (m + 1) x + m + 1$
（1）若关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有两个不相等的实根，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）解关于 $x$ 的一元二次不等式 $f (x) < 1$ ；
（3）若对于 $x \in (1, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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16、解下列不等式：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 3 > 0$ ；

(2)、 $4 x^{2} + 4 x + 1 > 0$ ；

(3)、 $- x^{2} + 2 x - 6 > 0$ ；

(4)、 $\frac{x + 2}{3 - x} \geq 0$ .

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17、设 $U = \{1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5\}$ ， $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{2, 3, 4\}$ ．
（1）求 $A \cap B$ ；
（2）求 $(∁_{U} A) \cup B$ ．

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18、若两个正实数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$ ，且不等式 $x + \frac{y}{2} < m^{2} + 3 m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是．

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19、已知集合 $A = \{x | - 2 \leq x \leq 4\}$ ， $B = \{x | x - m \leq 0\}$ ，若 $A \cap B = A$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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20、已知 $f (x) = \{\begin{cases} x - 4, x \geq 6 \\ f (x + 4), x < 6 \end{cases}$ ，则 $f (7)$ 的值为．

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