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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{3}{5}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}} - 1$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ；

(3)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 2025$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} a x^{2} (a \neq 0)$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时， $g (x) = f (x) - 2 x + b$ ，讨论 $g (x)$ 的零点个数.

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3、两个数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ ， $a_{1} = b_{1} = 1$ ，已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列且 $a_{4} = 8$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，又满足 $S_{n} = n^{2} (n \geq 2)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 8$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为；若 $b_{n} = \{\begin{cases} \frac{n}{a_{n}}, n = 2 k - 1, k \in N^{*} \\ \log_{2} \frac{n}{a_{n}}, n = 2 k, k \in N^{*} \end{cases}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} =$ .

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5、 $360$ 有个不同的正因数.

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6、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 的单调递增区间为.

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7、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象在 $x = - 1$ 的切线的斜率为0 B、函数 $y = f (x)$ 在 $(1, 2)$ 上单调递减 C、 $x = - 1$ 是函数 $y = f (x)$ 的极小值点 D、 $f (2)$ 是函数 $y = f (x)$ 的极大值

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8、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为前n项和， $S_{5} < S_{6}$ ， $S_{6} = S_{7}$ ， $S_{7} > S_{8}$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $d < 0$ B、 $a_{5} < 0$ C、 $S_{6}$ 和 $S_{7}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值 D、 $S_{9} > S_{5}$

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9、定义在 $(0, + \infty)$ 的函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，已知 $x f^{'} (x) - f (x) = x^{3}$ 且 $f (1) = 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 单调递减 C、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有极小值 D、 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上有极大值

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $a_{5} = 4$ ， $a_{9} = 16$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、 $8$ B、 $\pm 8$ C、 $- 8$ D、1

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11、曲线 $y = x \ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线的方程为（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + y + 1 = 0$ C、 $x - y - 1 = 0$ D、 $x + 1 = 0$

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12、在如图所示的电路（规定只能闭合其中一个开关）中，接通电源使灯泡发光的方法有（）种.

A、4 B、5 C、6 D、8

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13、如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥 $A - A_{1} B D$ ，求：

(1)、截去的三棱锥 $A - A_{1} B D$ 的体积；

(2)、剩余的几何体的表面积．

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14、已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

(1)、若 $a = 2 \sqrt{3}, b = 2, B = \frac{π}{6}$ ，求角A；

(2)、若 $a = 3$ ， $b = 4$ ， $C = 60 °$ ，求边c．

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15、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为.

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16、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ， $\vec{c} = (- 4, y)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $|2 \vec{a} + \vec{c}| =$ .

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17、已知 $i$ 为虚数单位， $x, y \in R$ ，若 $(x - i) i = y - 2 i$ ，则 $x + y =$ .

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18、已知 $i$ 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（）

A、复数 $- 2 - i$ 的虚部为 $- i$ B、 $i^{2025} = i$ C、复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 分别对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{B A}$ 对应的复数为 $9 + i$ D、若复数z满足条件 $2 \leq |z| \leq 3$ ，则复数z对应点的集合是以原点 $O$ 为圆心，分别以 $2$ 和 $3$ 为半径的两个圆所夹的圆环，且包括圆环的边界

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19、若向量 $\vec{a} = (2, 0)$ ， $\vec{b} = (1, \sqrt{3})$ ，则（）

A、 $|\vec{b}| = 4$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ C、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{a}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$

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20、已知 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 正三角形， $P$ 为线段 $A B$ 上一点（包含端点），则 $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{4}, 2]$ B、 $[- \frac{1}{4}, 4]$ C、 $[0, 2]$ D、 $[0, 4]$

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