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相关试卷

1、记 $S_{n}$ 是公差为整数的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{5} - 1$ ， $a_{8} - 2$ ， $a_{12} - 3$ 成等比数列．

(1)、求 $a_{n}$ 和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} S_{n} = 1$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前20项和 $T_{20}$ ．

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2、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点，过 $F_{2}$ 作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为N，直线 $F_{2} N$ 与双曲线C交于点 $M$ ，且 $M, N$ 均在第一象限，若 $5 |M N| = |M F_{1}|$ ，则双曲线C的离心率是．

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3、已知函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1$ 在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是．

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ ， $a_{1} = 1$ ，则 $a_{6} =$ ．

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5、已知 $⊙ M$ ： $x^{2} + y^{2} = 2 x - 4 y - 4$ 的圆心坐标为 $(a, b)$ ，半径为r，则 $a + b + r =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \sin x$ ，记 $u (x) = f (x) g (x)$ ， $v (x) = f (x) + a g (x)$ ，则（）

A、若正数 $x_{n}$ 为 $u (x)$ 的从小到大的第n个极值点 $(n \in N *)$ ，则 $\{x_{n}\}$ 为等差数列 B、若正数 $x_{n}$ 为 $u (x)$ 的从小到大的第n个极值点 $(n \in N *)$ ，则 $\{u (x_{n})\}$ 为等比数列 C、 $\forall a > 0$ ， $v (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上有零点 D、 $\exists a < 0$ ， $v (x)$ 在 $(- π, + \infty)$ 上有且仅有一个零点

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7、已知直线l： $x = m y + 2 (m \in R)$ 与抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，O为坐标原点，则（）

A、若 $p = 4$ ，则 $∠ A O B < \frac{π}{2}$ B、若 $p = 4$ ，则 $|A B| = 8 (1 + m^{2})$ C、若 $p = 1$ ，则 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ D、若 $p = 1$ ，则 $S_{△ A O B} = 2 \sqrt{m^{2} + 4}$

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8、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2 A A_{1} = 2 A_{1} B_{1} = 2$ ，则（）

A、向量 $\vec{A A_{1}}$ ， $\vec{B B_{1}}$ ， $\vec{C C_{1}}$ 能构成空间的一个基底 B、 $\vec{A_{1} C_{1}}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{A B}$ C、AC与平面 $A B C_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、点C到平面 $A B C_{1}$ 的距离是点 $A_{1}$ 到平面 $A B C_{1}$ 的距离的2倍

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9、记 $S_{n}$ 为无穷等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $- a_{1} < a_{2} < a_{1}$ ，则（）

A、 $q < 0$ B、 $a_{3} > 0$ C、数列 $\{S_{n}\}$ 为递减数列 D、数列 $\{S_{n}\}$ 有最小项

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10、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (1, m, 2)$ ， $B (n, 0, 1)$ ，若直线AB与平面xOy交于点 $P (x, y, 0)$ ，点P的轨迹方程为 $\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ，则 $|A B| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $3 \sqrt{2}$

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11、在平面直角坐标系xOy中，点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 上，且直线OA，OB的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ ，则 $x_{1}^{2} - y_{1}^{2} + x_{2}^{2} - y_{2}^{2} =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 10 - 2 n$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 为等差数列，公差为 $- 2$ B、数列 $\{S_{n} + n^{2}\}$ 为等差数列，公差为8 C、当 $n \geq 5$ 时，数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前n项和为 $S_{n} - 2 S_{5}$ D、当 $n \geq 5$ 时，数列 $\{|a_{n}|\}$ 的前n项和为 $- S_{n} + 2 S_{5}$

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，则 $q S_{3} =$ （）

A、 $S_{4}$ B、 $S_{4} - S_{1}$ C、 $\frac{S_{4}}{q}$ D、 $\frac{S_{4} - S_{1}}{q}$

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14、若 $\cos^{5} θ - \sin^{5} θ < 3 (\sin^{3} θ - \cos^{3} θ)$ 且 $θ \in [0, 2 π)$ ，则 $θ$ 的取值范围为.

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15、已知正数 $x, y$ 满足 $x + y - x y + 3 = 0$ ，则 $x y$ 的最小值为．

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16、已知 $\sin α = - \frac{3}{5}$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, 0)$ ，求 $\cos (\frac{π}{4} - α)$ 的值.

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17、如图，在空间几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $A B C$ $∥$ 平面 $D E F, B F$ $∥$ $C E, B F ⊥$ 平面 $A B C, B C = E F = 4 \sqrt{2}, C E = 2, ∠ E D F = ∠ B A C = \frac{π}{2}$ ，则几何体 $A B C D E F$ 的外接球的体积为.

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18、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是抛物线 $y^{2} = 12 x$ 上三个动点，且 $△ A B C$ 的重心为抛物线的焦点 $F$ ，则 $△ A B C$ 的三条中线的长度之和为.

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19、如图所示，已知 $A$ 船在灯塔 $C$ 北偏东 $80 °$ 的方向，且 $A$ ， $C$ 间的距离为2km， $B$ 船在灯塔 $C$ 北偏西 $40 °$ 的方向，且 $A$ ， $B$ 两船间的距离为3km，则 $B$ ， $C$ 间的距离为km.

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20、已知四棱锥 $P - A B C D, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A B = 2, P A = A D = 4, E$ 为 $P A$ 的中点， $F$ 为 $C D$ 上一点，若 $P F$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{8}{33}$ ，则 $C F =$ ．

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