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相关试卷

1、已知抛物线 $Γ : y^{2} = 2 x$ ，点 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 在抛物线 $Γ$ 上．

(1)、证明：以点 $P$ 为切点的 $Γ$ 的切线的斜率为 $\frac{1}{y_{0}}$ ；

(2)、过 $Γ$ 外一点 $A$ （不在 $x$ 轴上）作 $Γ$ 的切线AB，AC，切点分别为点B，C，作平行于BC的切线 $B_{1} C_{1}$ ，切点为点 $D$ ，点 $B_{1}, C_{1}$ 分别是切线 $B_{1} C_{1}$ 与AB，AC的交点，设BC的中点为 $E$ （如图所示）．
（i）证明：A，D，E三点共线；
（ii）过 $Γ$ 外一点的两条切线及第三条切线（第三条切线平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如 $△ A B_{1} C_{1}$ ．设 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，第1次由点 $A$ 作切线三角形 $△ A B_{1} C_{1}$ ，第2次分别由点 $B_{1}, C_{1}$ 作切线三角形 $△ B_{1} B_{2} C_{2}, △ C_{1} B_{3} C_{3}$ ，并依此方法重复 $n$ 次，记所得所有“切线三角形”的面积之和为 $T$ ．判断 $T$ 与 $\frac{1}{3} S$ 的大小关系并证明．

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2、某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为 $p$ ，假设每道题答对与否互不影响．

(1)、当 $p = \frac{1}{5}$ 时，
（i）求甲答对某道题的概率；
（ii）甲答了4道题，记甲答对题目的个数为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(2)、已知乙答对每道题的概率为 $\frac{3}{4}$ （含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 $\frac{3}{16}$ ，求甲的亲友团每道题答对的概率 $p$ 的最小值．

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $n, a_{n}, S_{n}$ 成等差数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{b_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，且 $b_{3} = 2 b_{2} - 3$ ．若将数列 $\{b_{n}\}$ 中去掉数列 $\{a_{n}\}$ 的项后余下的项按原顺序组成数列 $\{c_{n}\}$ ，求 $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{30}$ 的值．

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4、如图1，在边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $E, F$ 分别为线段 $B C, A D$ 的中点，现将四边形 $C D F E$ 折起至 $M N F E$ ，得到三棱柱 $A F N - B E M$ ，如图2，记二面角 $M - E F - A$ 的平面角为 $θ$ ．

(1)、若 $θ = \frac{π}{2}$ ，求三棱柱 $A F N - B E M$ 的体积；

(2)、若 $θ = \frac{π}{4}, P$ 为线段 $E F$ 上一点，满足 $A P ⊥ B P$ ，求直线 $A P$ 与平面 $N B E$ 所成角的正弦值．

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5、已知正实数a，b满足 $a - 2 \ln a = 2 \ln b - 4 b + 4$ ，则 $a^{b} =$ ．

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6、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边，若 $a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，则角 $B =$ ．

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7、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ ，若存在常数 $M > 0$ ，使得对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有不等式 $|a_{2} - a_{1}| + |a_{3} - a_{2}| + \dots + |a_{n + 1} - a_{n}| \leq M$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．则下列结论正确的是（）

A、存在公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ B、以1为首项， $q (| q | < 1)$ 为公比的等比数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ C、若由数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和构成的数列 $\{S_{n}\}$ 具有性质 $P$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 也具有性质 $P$ D、若数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 均具有性质 $P$ ，则数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 也具有性质 $P$

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8、将函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (0 < ω < 6)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $(0, \frac{π}{ω})$ 是 $g (x)$ 的一个单调递增区间，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{2}, \frac{2 π}{3})$ 上单调递增 C、函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的最大值为1 D、方程 $6 f^{2} (x) + f (x) - 1 = 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有5个实数根

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9、设 $z$ 为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（）

A、若 $z \in R$ ，则 $z = \bar{z}$ B、若 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = \pm i$ D、若 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $| z | = \sqrt{2}$

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10、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $4 \sqrt{2}$ ，用满足 $M A^{2} + M B^{2} = M C^{2} + M D^{2}$ 的动点 $M$ 构成的平面截正四面体 $A B C D$ ，所得截面多边形的周长为（）

A、4 B、8 C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $16 \sqrt{2}$

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11、将直线 $l : x - 2 y = 0$ 绕点 $(2, 1)$ 逆时针旋转 $θ$ （ $θ$ 为锐角，其中 $\cos θ = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ）后所得直线方程为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = 2 x - 3$ C、 $y = 3 x - 5$ D、 $y = 4 x - 7$

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12、若 $2^{a} = 3 = \log_{b} 9$ ， $c = e^{ln \frac{2}{3}}$ ，则实数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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13、已知向量 $\vec{a} = (m - 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, m)$ ，则“ $m = - 1$ ”是“ $\vec{a} / / \vec{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的偶函数，且满足 $f (x + 2) = f (- x)$ ，当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (\frac{5}{2}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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15、某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位： $cm$ ）与体重（单位： $kg$ ）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（）

A、表示x与y之间的函数关系 B、表示x与y之间的不确定关系 C、反映x与y之间的真实关系 D、反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合

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16、设集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 2}, B = \{x ∣ y = \log_{2} (x - 1)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- 2, 2]$ C、 ${1}$ D、 $(1, 2]$

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17、已知有穷数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{n + 1} = \log_{a} x_{n} - \log_{a} e$ ，其中 $a > 1$ ，且最后一项 $x_{m} \leq 0 (m \geq 2)$ $.$

(1)、当 $a = e$ ，且 $m = 2$ 时，求 $x_{1}$ 的取值范围；

(2)、当 $a > e^{e^{- 2}}$ 时，如果 $m$ 足够大，
（i）证明：数列 $\{x_{n}\}$ 为单调递减数列；
（ii）探究数列 $\{x_{n}\}$ 中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.

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18、如图，在三棱台 $A^{'} B^{'} C^{'} - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2 A^{'} B^{'} = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A C, B C$ 的中点，且 $A N ⊥ B^{'} N$ $.$

(1)、证明： $A^{'} M / /$ 平面 $A B^{'} N$ ；

(2)、证明：平面 $A B^{'} N ⊥$ 平面 $A^{'} B M$ ；

(3)、若 $B^{'} B = C^{'} C = \sqrt{6}$ ，求平面 $A B^{'} N$ 与平面 $A B C$ 的夹角的正弦值.

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19、已知函数 $f (x) = \sin ω x - 2 \sin^{2} \frac{ω x}{2} + 1$ 其中实数 $ω > 0$ .

(1)、若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上恰有三个极值点、两个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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20、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > 0, b > 0)$ 过点 $A (- 1, 0)$ ，且焦距为 $2 \sqrt{2} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、过定点 $(2, 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于 $B, C$ 两点，若 $|A B| = |A C|$ ，求直线 $l$ 的方程.

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