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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形，侧面 $P A D$ 为正三角形， $M$ 是 $P A$ 的中点，点 $N$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $M N / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的各顶点都在球 $O_{3}$ 的球面上，求 $C O_{3}$ 与平面 $P D C$ 所成角正弦值；

(3)、过点 $M$ ， $N$ ， $B$ 的平面与线段 $P D$ 交于点 $Q$ ，求 $\frac{|P Q|}{|P D|}$ .

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2、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值及样本成绩的中位数；

(2)、已知落在 $[50, 60)$ 的平均成绩是54，方差是7，落在 $[60, 70)$ 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数 $\bar{z}$ 和方差 $s^{2}$ .

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3、已知：在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，侧棱 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $M$ 为 $P D$ 中点， $P A = A D = 1$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角.

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4、已知直角 $△ A B C$ 的直角顶点 $A (- 3, 1)$ ，且 $B (2, - 2)$ ， $C$ 在 $y$ 轴上．

(1)、求点 $C$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 斜边中线的方程；

(3)、若直线 $l$ 过点 $B$ ，且与直线 $A C$ 平行，求直线 $l$ 的方程．

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5、如图所示，平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的底面是边长为2的正方形，侧棱的长为 $3, ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 120^{\circ}$ ，则对角线 $B D^{'}$ 的长是.

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6、某公司青年、中年、老年员工的人数之比为 $6 : 5 : 4$ ，从中抽取100名作为样本，若每人被抽中的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则该公司青年员工的人数为．

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7、甲袋中有20个红球，10个白球，乙袋中红球、白球各有10个，两袋中的球除了颜色有差别外，再没有其他差别，现在从两袋中各取出1个球，下列结论正确的是（）

A、2个球都是红球的概率为 $\frac{1}{2}$ B、2个球中恰有1个红球的概率为 $\frac{1}{2}$ C、2个球不都是红球的概率为 $\frac{2}{3}$ D、2个球都不是红球的概率为 $\frac{1}{6}$

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8、如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[1, 3]$ D、 $[0, 4]$

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9、已知事件 $A$ ， $B$ 互斥，且 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ， $P (A) = 2 P (B)$ ，则 $P (\bar{A}) =$ （）

A、 $\frac{5}{18}$ B、 $\frac{13}{18}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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10、已知直线 $l$ 经过点 $A (- 1, 2)$ 与 $B (1, 0)$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $- \frac{3 π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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11、已知函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{x}$ 无零点，且有两个不同的极值点 $x_{1}, x_{2}$ .

(1)、求a的取值范围；

(2)、求 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的取值范围.

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12、某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是 $\frac{1}{10}, \frac{1}{20}, \frac{1}{15}$ ．

(1)、现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率；

(2)、若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率．

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13、已知 ${(3 a^{3} + 4 b^{2})}^{n}$ 的展开式中有一项是 $m a^{21} b^{8}$ ．

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求展开式中系数最大的项．

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14、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a + 1) x^{2} + 6 a x + 1 (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 1]$ 上的最大值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性．

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15、如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为.

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16、某项实验的随机误差 $ξ_{n} \sim N (0, \frac{1}{n}), n$ 为实验次数．要求 $|ξ_{n}| > \frac{1}{16}$ 的概率低于 $0.0027$ ，则至少需做次实验（ $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，在该实验的误差估计中，可认为 $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ）．

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17、甲箱中有2个红球和2个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球．先从甲箱中等可能地取出2个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出1个球，记事件“从甲箱中取出的球恰有 $i$ 个红球”为 $A_{i} (i = 0, 1, 2)$ ， “从乙箱中取出的球是黑球”为 $B$ ，则（）

A、 $P (A_{0}) = \frac{1}{6}$ B、 $P (B| A_{1}) = \frac{5}{6}$ C、 $P (B) = \frac{2}{3}$ D、 $P (A_{2} |B) = \frac{1}{8}$

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18、已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ 则（）

A、 $a_{1} = 14$ B、 $a_{0} + \frac{1}{2} a_{1} + \frac{1}{2^{2}} a_{2} + \frac{1}{2^{3}} a_{3} + \frac{1}{2^{4}} a_{4} + \frac{1}{2^{5}} a_{5} + \frac{1}{2^{6}} a_{6} + \frac{1}{2^{7}} a_{7} = 0$ C、 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6})}^{2} - {(a_{1} + a_{3} + a_{5} + a_{7})}^{2} = - 3^{7}$ D、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7} = 7$

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19、已知 $f (x)$ ， $g (x)$ 分别为定义域为 $R$ 的偶函数和奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ ，若关于x的不等式 $2 f (x) - a g^{2} (x) \geq 0$ 在 $(0, \ln 3)$ 上恒成立，则正实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{15}{8}, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(\ln 3, \frac{15}{8}]$ D、 $(0, \frac{15}{8}]$

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20、若函数 $f (x) = \ln x - m {(x - 1)}^{2}$ 恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$

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