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相关试卷

1、如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为 ${1800cm}^{2}$ ，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为 $5cm$ ，两个宣传栏之间的空隙的宽度为 $10cm$ ，设海报纸的长和宽分别为 $x cm, y cm$ .

(1)、求y关于x的函数表达式；

(2)、为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ .现已画出函数 $f (x)$ 在y轴左侧的图象，如图所示.

(1)、画出 $f (x)$ 在 $y$ 轴右侧的图象并写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的增区间；

(2)、写出函数 $f (x) (x \in R)$ 的解析式；

(3)、讨论方程 $f (x) = m (m \in R)$ 解的个数.

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3、（1）若 $x > 0$ ，求 $x + \frac{4}{x}$ 的最小值，并写出取得最小值时 $x$ 的值.
（2）若 $x > 2$ ，求函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x - 2}$ 的最小值，并写出取得最小值时 $x$ 的值.

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4、已知集合 $A = \{x |\frac{x - 2}{x - 6} \leq 0\}, B = \{x ∣ x^{2} - 12 x + 27 < 0\}$ ，

(1)、分别求 $A \cup B$ 与 $A \cap B$ ；

(2)、已知 $C = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数a的取值范围.

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x + 1 & x < 1 \\ \sqrt{x - 1} & x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 4)) =$ .

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6、若幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，则函数 $y = f (x - 1)$ 的定义域为.

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7、设 $P$ 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 $a, b \in P$ ，都有 $a + b, a - b, a b, \frac{a}{b} \in P$ （除数 $b \neq 0$ ），则称 $P$ 是一个数域.例如有理数集 $Q$ 是一个数域；现有两个数域 $E = {a + b \sqrt{2} ∣ a, b \in Q}$ 与 $F = {a + b \sqrt{3} ∣ a, b \in Q}$ .下列关于这两个数域的命题中是真命题的为（）

A、数域 $E, F$ 中均含的元素0，1. B、有理数集 $Q \subseteq E$ . C、 $E \cup F$ 是一个数域 D、整数集 $Z \subseteq (E \cap F)$ .

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8、集合U，S，T，F的关系如图所示，那么下列关系中正确的是（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq ∁_{U} S$ C、 $F \subseteq ∁_{U} S$ D、 $T \subseteq ∁_{U} F$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(2, + \infty)$ ，值域为 $R$ ，则（）

A、函数 $f (x^{2} + 2)$ 的定义域为 $R$ B、函数 $f (x^{2} + 2) - 2$ 的值域为 $R$ C、函数 $f (x^{2} + 2 x + 3)$ 的定义域和值域都是 $R$ D、函数 $f (f (x))$ 的定义域和值域都是 $R$

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 3$ 在 $(- \infty, 2]$ 上是减函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 2]$ D、 $[2, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x (1 - x), x \in [0, 1]$ ，且 $f (x)$ 最大值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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12、“ $x > 2$ ”是“ $\frac{2}{x} < 1$ ”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、下列结论正确的是（）

A、若 $a > b, m > n$ ，则 $a - m > b - n$ B、若 $m > 0$ ，则 $\frac{1}{2} > \frac{1 + m}{2 + m}$ C、 $\sqrt{7} - \sqrt{6} < \sqrt{6} - \sqrt{5}$ D、若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 $a < b$

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14、已知命题 $p : \forall x \in R, x^{2} + a - 1 \geq 0$ ，若p为真命题，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[1, + \infty)$

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15、已知集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 1}, B = {x ∣ 0 \leq x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x < 1}$ D、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 2}$

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且对任意的实数m，n，都有 $f (m + n) = f (m) + f (n) - 3$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 3$ ．

(1)、求 $f (0)$ ；

(2)、证明： $f (x)$ 在R上为增函数；

(3)、若关于x的不等式 $f (a x - 2) + f (x - x^{2}) < 6$ 对一切 $x \in [- 1, + \infty)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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17、市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放 $a$ $(1 \leq a \leq 4, a \in R)$ 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 $y$ （克/升）随着时间 $x$ （分钟）变化的函数关系式近似为 $y = a \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{16}{8 - x} - 1 (0 \leq x \leq 4) \\ 5 - \frac{1}{2} x (4 < x \leq 10) \end{array}$ ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用.

(1)、若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

(2)、若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由.

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18、已知 $f (x) = x^{2} + 3 x - a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 的解集为 $\{x |- 4 < x < b\}$ ，求实数a，b的值；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) > a x + 2 a$ ．

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19、解答下列各题，

(1)、计算： $\lg 25 + \lg 4 + 6^{\log_{6} 3} + \log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4$ ；

(2)、已知 $x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} = 3$ ，求 $\frac{x^{2} + x^{- 2} - 2}{x + x^{- 1} + 2}$ 的值.

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20、定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x + 3} < 0$ 的解集是.

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