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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + 2 a x^{2}} - a x sin x$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、若 $a = - \frac{1}{2}$ ，求证： $f (x) \leq 1$ ；

(3)、若存在 $x_{0} \in (0, π)$ ，使得对任意 $x \in (0, x_{0})$ ，均有 $f (x) < 1$ ，求正实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知 $(3, \frac{5}{2})$ 是双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上一点， $E$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ .

(1)、求 $E$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 过点 $A (1, 1)$ ，且与 $E$ 的两支分别交于 $P$ ， $Q$ 两点.若 $\frac{|A P| \cdot |A Q|}{|P Q|} = \frac{19 \sqrt{10}}{20}$ ，求直线 $l$ 的斜率.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，且满足 $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、若 $a_{1} = 1$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{5}{b_{2}} - \frac{1}{b_{1}} = \frac{3}{4}$ ，且数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = (3 n - 4) \cdot 2^{n + 1} + 8$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中，侧面 $P A C$ 是边长为2的等边三角形， $A B = \sqrt{3}$ ， $P B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P A C$ 的夹角的余弦值.

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5、一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.

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6、已知曲线 $C$ ： ${(x^{2} + y^{2} - 1)}^{3} - 7 \sin^{2} x + 7 \cos^{2} y = 6$ ，下列说法正确的是（）

A、曲线 $C$ 过原点 $O$ B、曲线 $C$ 关于 $y = x$ 对称 C、曲线 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $|O P| = 1$ D、若 $P (x, y)$ 为曲线 $C$ 上一点，则 $|x| + |y| < 3$

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7、函数 $f (x) = e^{x} - a ln x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象过定点 B、当 $a = 1$ 时， $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、当 $a = 1$ 时， $f (x) > 2$ 恒成立 D、存在 $a > 0$ ，使得 $f (x)$ 与 $x$ 轴相切

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 都是正项等比数列，则（）

A、数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 是等比数列 B、数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 是等比数列 D、数列 $\{a_{n}^{b_{n}}\}$ 是等比数列

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9、设 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} sin (2 π x - 2 π a), & x < a, \\ |x - a - 1| - 3 a + 6, & x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内恰有6个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, \frac{7}{2}]$ B、 $(2, 3]$ C、 $(2, \frac{7}{3}] \cup (\frac{5}{2}, \frac{7}{2}]$ D、 $(2, \frac{7}{3}] \cup (\frac{5}{2}, 3]$

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10、已知椭圆 $C$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过上顶点 $A$ 作直线 $A F_{2}$ 交椭圆于另一点 $B$ .若 $|A B| = |F_{1} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、圆台的高为2，体积为 $14 π$ ，两底面圆的半径比为 $1 : 2$ ，则母线和轴的夹角的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组： $[2, 4)$ ， $[4, 6)$ ， $[6, 8)$ ， $[8, 10)$ ， $[10, 12)$ ，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）

A、7 B、7.5 C、7.8 D、8

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13、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{13}$

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14、复数 $z$ 满足 $z = \frac{5}{i - 2}$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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15、线段 $M N$ 的长为3，端点 $M, N$ 分别在 $y$ 轴和 $x$ 轴上运动，点 $E$ 满足 $\vec{M E} = 2 \vec{E N}$ ，记点 $E$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、曲线 $C$ 与 $x$ 轴的左右两个交点分别为 $A, B, P$ 为 $C$ 上异于 $A, B$ 的动点.过点 $D (1, 0)$ 分别作直线 $l_{1} ∥ A P$ ，直线 $l_{2} ∥ B P$ ，其中 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于 $G, H$ 两点， $l_{2}$ 交直线 $x = - 1$ 于点 $R$ ，点 $I$ 满足 $|D G| \vec{I H} = |D H| \vec{I G}$ .
①求点 $I$ 的轨迹方程；
② $△ I D R$ 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.

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16、数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列 $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} (n \in N^{*})$ 的性质，对通项公式取对数得， $ln a_{n} = ln {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，则可通过研究函数 $y = ln {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}$ 的性质，得到数列 $\{ln a_{n}\}$ 的性质，进而得到 $\{a_{n}\}$ 的性质.请根据以上材料，解决如下问题：

(1)、若不等式 $c x \geq ln (1 + x)$ 对任意 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围，并证明： $e > {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ；

(2)、是否存在常数 $a$ ，使得： $\forall n \in N^{*}$ 有， $1 - a^{- \frac{1}{n}} < \frac{2}{n} < a^{\frac{1}{n}} - 1$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，请说明理由.
（注：e为自然对数的底数）

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ D C$ ， $B C = C D = A D = 2$ ， $A B = 4$ .

(1)、证明： $P A ⊥ B D$ ；

(2)、若四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积为 $25 π$ ，求二面角 $C - A B - P$ 的余弦值.

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线.

(1)、证明： $A D = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 n x + b_{n} = 0$ 的两个根.

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求数列 $\{{(- 1)}^{n} \cdot \frac{4 n}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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20、有三个袋子，每个袋子都装有 $n$ 个球，球上分别标有数字 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ .现从每个袋子里任摸一个球，用 $X, Y, Z$ 分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“ $X + Y = Z$ ”的概率为.

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