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相关试卷

1、已知二次函数 $y = (a x - 1) (x -$ $a)$ ．甲同学： $y > 0$ 的解集为 $\{x |x < a$ 或 $x > \frac{1}{a}\}$ ；乙同学： $y < 0$ 的解集为 ${x |x < a$ 或 $x > \frac{1}{a}}$ ，丙同学：函数 $y = (a x - 1) (x - a)$ 图象的对称轴在 $y$ 轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 1$ B、 $- 1 \leq a < 0$ C、 $0 < a \leq 1$ D、 $a > 1$

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2、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{4 a} + \frac{3 a + 1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{11}{2}$ D、1

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3、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 4\}$ ， $B = \{x |a - 1 \leq x \leq a + 2\}$ ，若集合 $A \cap B$ 中恰好只有两个整数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0) \cup (2, 3]$ B、 $(- 1, 0) \cup (2, 3)$ C、 $(- 2, - 1]\cup[3, 4)$ D、 $(- 2, - 1) \cup (3, 4)$

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4、已知集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = {x | - 1 < x < 5, x \in N}$ ，则满足 $A \subseteq C$ $⫋ B$ 的集合 $C$ 的个数为（）

A、4 B、7 C、8 D、15

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5、如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合 $A \otimes B$ 为阴影部分表示的集合.若集合 $A = [0, 2]$ ，集合 $B = {x | x > 1}$ ，则集合 $A \otimes B =$ （）

A、 ${x | 0 < x < 2}$ B、 ${x | 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | x \leq 1$ 或 $x \geq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1$ 或 $x > 2}$

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6、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2$ ， $g (x) = x + \frac{4}{x} + m$ ，若 $\exists x_{1} \in [0, 3]$ ， $\forall x_{2} \in [1, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $m$ 的取值范围（）

A、 $m \leq 6$ B、 $m \leq 7$ C、 $m \leq - 3$ D、 $m \leq - 2$

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 的对边分别为 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，已知 $b c (1 + \cos A) = 4 a^{2}$ .

(1)、证明： $b + c = 3 a$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $\cos A = \frac{7}{9}$ ，角 $B$ 的内角平分线与边 $A C$ 交于点 $D$ ，求 $B D$ 的长.

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8、已知 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，设 $P = \frac{S}{B N^{2} + C M^{2}}$ 则 $P$ 取最大值时， $\cos ∠ B A C$ = ．

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9、已知抛物线 $C : y ^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $M ， N$ 两点，若 $| M N | = 54$ ，则直线 $l$ 的斜率为.

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10、在研究全概率公式时，我们将对一个事件发生的情况的研究转化为对发生该情况的几个先决条件进行分析，这是一种重要的递推思想.在如图所示的蜂窝形正六边形地图中，左上角与右下角的“○”分别代表起点与终点，蜂窝格中的实心圆点“●”代表地雷，有一个扫雷机器人在起点处接收到指令移动至终点，每一次移动只能按照箭头所示的三个方向运动，若移动到地雷区，则会立即将地雷排除.记移动过程中，该机器人可以排除的地雷数量最多为 $M$ ，现在在图中增加两枚地雷（用叉号“×”表示），则以下方法可以使 $M$ 增加且只增加 $1$ 的是：（        ）.


A、    B、    C、    D、

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11、在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，已知点 $A (4, 0), B (2, b)$ ，直线l交Γ于P、Q两点（异于 $A_{1}, A_{2}$ ），当直线l过点A且与x轴垂直时， $△ B P Q$ 的重心G在以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆O上．下列结论正确的是（）

A、点 $F_{1}$ 到Γ的渐近线的距离为2 B、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积为2 C、若直线l过点 $F_{2}$ ，当 $|P Q| = 6$ 时，这样的直线l只有2条 D、若直线l过点A，且 $∠ P O Q = 90 °$ ，则 $∣ P Q ∣ = 8 \sqrt{5}$

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12、若 $a = \frac{π}{2} sin 1 + \frac{π}{2} tan 1$ ， $b = π$ ， $c = 2 lnπ + \frac{1}{π}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ · D、 $b > a > c$

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13、已知 $M$ 是圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，以点 $M$ 为圆心， $|O M|$ 为半径作圆 $M$ ，设圆 $M$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，则下列点中，直线 $A B$ 一定不经过（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, 1)$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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14、将顶点在原点，始边为 $x$ 轴非负半轴的锐角 $α$ 的终边绕原点逆时针转过 $\frac{π}{4}$ 后，交单位圆于点 $P (- \frac{3}{5}, y)$ ，那么 $cos α$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{10}$

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15、集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，集合 $B = \{x | x = 2 k - 1, k \in N\}$ ，则集合 $A \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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16、已知函数 $f (x) = a x - \frac{1}{x} - (a + 1) \ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, 1]$ 内的最大值为2，求 $a$ 的值；

(3)、若 $f (x) \geq x - \frac{1}{x}$ ，求 $a$ 的取值范围．

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17、已知椭圆的两个焦点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ ，过点 $F_{1}$ 作垂直于长轴的直线 $l$ 交椭圆于点 $A, B$ ，此时与椭圆长轴的两端点 $C, D$ 形成的四边形的面积为2．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、过点 $F_{1}$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1} (l_{1} \neq l), l_{2}$ 与椭圆分别交于点 $P, Q$ 及 $M, N$ ，求四边形 $P Q M N$ 的面积的最小值．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为2的正项等比数列.又 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} - 8$ 构成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} + \dots + a_{n} b_{n} = 2 (n - 1) \cdot 3^{n} + 2$ .令 $C_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ .求数列 $\{C_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、若 $cos (α + \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\sin α =$ ．

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20、若曲线 $y = 2 \tan (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值为．

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