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相关试卷

1、设数列 $\{a_{n}\} \{a_{n} \in R\}$ 是公比为q的等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ．

(1)、若 $a_{1} = a$ ， $q = 1$ ，求数列 $\{S_{n}\}$ 的前n项和；

(2)、若 $S_{3}$ ， $S_{9}$ ， $S_{6}$ 成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得 $a_{m}$ ， $a_{n}$ ， $a_{p}$ 成等差数列；

(3)、若存在正整数 $k (1 \leq k \leq n)$ ，使得数列 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{n} (n \geq 4)$ 在删去 $S_{k}$ 以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对 $(n, q)$ 所构成的集合，

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2、已知函数 $f (x) = \log_{k} x$ （ $k$ 为常数， $k > 0$ 且 $k \neq 1$ ），且数列 $\{f (a_{n})\}$ 是首项为 $4$ ，公差为 $2$ 的等差数列．
（1）求证：数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列；
（2）若 $b_{n} = a_{n} + f (a_{n})$ ，当 $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最小值；
（3）若 $c_{n} = a_{n} \lg a_{n}$ ，问是否存在实数 $k$ ，使得 $\{c_{n}\}$ 是递增数列？若存在，求出 $k$ 的范围；若不存在，说明理由．

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + (2 - n) x - 2 n$ 的图象与 $x$ 轴正半轴的交点为 $A (a_{n}, 0)$ ， $n = 1, 2, 3, \dots$ ．
（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = 3^{a_{n}} + {(- 1)}^{n - 1} \cdot λ \cdot 2^{a_{n}}$ （ $n$ 为正整数），问是否存在非零整数 $λ$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $b_{n}_{+ 1} > b_{n}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值，若不存在，请说明理由．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 3^{n + 1} - 2^{n}$ $(n \in N_{+})$

(1)、设 $b_{n} = \frac{a_{n} - 2^{n}}{3^{n}}$ ，证明数列 $\{b_{n}\}$ 为等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 共有5项，满足 $a_{1} > a_{2} > a_{3} > a_{4} > a_{5} \geq 0$ ，且对任意 $i ､ j (1 \leq i \leq j \leq 5)$ 有 $a_{i} - a_{j}$ 仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：① $a_{5} = 0$ ；② $4 a_{4} = a_{1}$ ；③数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列；④集合 $A = \{x ∣ x = a_{i} + a_{j}, 1 \leq i \leq j \leq 5\}$ 中共有9个元素.则其中真命题的序号是（）

A、①②③④ B、①④ C、②③ D、①③④

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6、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $0 < a_{1} < a_{4} = 1$ ，则能使不等式 $(a_{1} - \frac{1}{a_{1}}) + (a_{2} - \frac{1}{a_{2}}) + \dots + (a_{n} - \frac{1}{a_{n}}) \leq 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中满足 $a_{1} = 15$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n$ ，则 $\frac{a_{n}}{n}$ 的最小值为（）

A、9 B、7 C、 $\frac{27}{4}$ D、 $2 \sqrt{15} - 1$

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8、已知{a_n}是等比数列，给出以下四个命题：①{2a₃_n_－1}是等比数列；②{a_n＋a_n_＋1}是等比数列；③{a_n·a_n_＋1}是等比数列；④{lg|a_n|}是等比数列．其中正确命题的个数是(　　)

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*}$ 均有 $a_{n + 1} = k a_{n} + 3 k - 3$ ，其中 $k$ 为不等于 $0$ 与 $1$ 的常数，若 $a_{i} \in {- 678, - 78, - 3, 22, 222, 2222}, i = 2, 3, 4, 5$ ，则满足条件的 $a_{1}$ 所有可能值的和为．

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列．若 $a_{1} > a_{2}$ ， $b_{1} > b_{2}$ ，且 $b_{i} = a_{i}^{2}$ （ $i = 1$ ， $2$ ， $3$ ），则数列 $\{b_{n}\}$ 的公比为.

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{4}, a_{n} = 1 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n > 1)$ ，则 $a_{2022} =$ .

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12、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \{\begin{matrix} \frac{1}{n + 1}, 1 \leq n \leq 2 \\ \frac{1}{3^{n}}, n \geq 3 \end{matrix}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\underset{n \to \infty}{l i m} S_{n} =$

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 2)}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} =$ .

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14、等差数列 $\{a_{n}\} ､ \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n}{3 n + 1}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} =$ .

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15、各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} ､ \frac{1}{2} a_{3} ､ a_{1}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{5} + a_{6}}{a_{3} + a_{4}} =$ .

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16、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = - 10$ ，从第9项开始为正数，则公差d的取值范围是．

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17、 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{9} = - 36, S_{13} = - 104$ ，则 $a_{5}$ 与 $a_{7}$ 的等比中项为.

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18、设数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列.若 $a_{4}$ 和 $a_{2019}$ 是方程 $4 x^{2} - 8 x + 3 = 0$ 的两根，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前2022项的和 $S_{2022} =$ .

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{n}{n^{2} + 6}, n$ 为正整数，则该数列的最大项是第项.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + n$ ，则 $a_{3} =$ .

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