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相关试卷

1、瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作 $△ A B C$ ， $|A B| = |A C|$ ，点 $B (- 1, 1)$ ，点 $C (7, 5)$ ，过其“欧拉线”上一点 $P$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 9$ 的两条切线，切点分别为 $M$ 、 $N$ ，则 $|M N|$ 的最小值为．

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2、焦点在y轴上，短轴长为8，离心率为 $\frac{3}{5}$ 的椭圆的标准方程是．

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3、已知点S，A，B，C均在半径为4的球O的表面上，且 $S A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $S A = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2π}{3}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点M在 $B C$ 上，当直线 $S M$ 与平面 $A B C$ 所成的角最大时， $A M =$ ．

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4、抛物线 $C$ 的顶点为坐标原点，焦点 $F$ 在 $x$ 轴正半轴上. $P$ 为 $C$ 上一点，且 $P F$ 比 $P$ 到 $y$ 轴的距离多 $1$ ，则抛物线 $C$ 的标准方程为.

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时，有 $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集是．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a \sin 2 B - \frac{c}{2} \sin 2 A = a \sin A \cos C$ ．则角 $B =$ .

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7、定义集合运算 $A ⊙ B = \{z | z = x y (x + y), x \in A, y \in B\}$ ，集合 $A = \{0, 1\}, B = \{2, 3\}$ ，则集合 $A ⊙ B$ 所有元素之和为

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $I$ ，区间 $D \subseteq I$ ，若 $x_{0} \in D$ ， $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 在 $D$ 上的不动点，集合 $A = \{x_{0} ∣ f (x_{0}) = x_{0}, x_{0} \in D\}$ 为 $f (x)$ 在 $D$ 上的不动点集.

(1)、求函数 $f (x) = 2 x - \frac{3 x + 4}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上的不动点集；

(2)、若函数 $g (x) = a x - \sin 2 x$ 在 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上有且只有一个不动点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = x^{3} - (3 m^{2} - 1) x + 1 (m > 0)$ 在 $R$ 上的不动点集为 $\{x_{1}, x_{2}, x_{3}\}$ ，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}$ 的取值范围.

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9、已知 $A (2, 1)$ 是椭圆 $E :$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点，且 $E$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，斜率存在且不过点 $A$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $A P$ 与直线 $A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、证明： $l$ 的斜率为定值.

(3)、设 $O$ 为坐标原点，若 $l$ 与线段 $O A$ （不含端点）相交，且四边形 $O P A Q$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $l$ 的方程.

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10、如图，在多面体 $A B C D F E$ 中， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $F C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $△ F C D$ 为等腰直角三角形，且 $C F ⊥ D F$ ， $A D = C D = 2 A B = 2 A E$ ，

(1)、证明： $B F ∥$ 平面 $A D E$ .

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $D E F$ 的夹角的余弦值.

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11、某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ ，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．

(1)、求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；

(2)、记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与期望．

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12、△ $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $c = 1, b + 2 \cos B = 2 a$ ．

(1)、求 $C$ 的值；

(2)、求△ $A B C$ 周长的最大值．

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13、已知 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{3})$ ，且 $\sin (2 α + β) + 2 \sin 2 α \cos β = 3 \sin β$ ，则 $\cos β$ 的最小值为

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14、甲、乙、丙等 $5$ 人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有种．

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15、若两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + 3 \vec{b}| = 3$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{2 \sin x}{5 - \cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = π$ 对称 D、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{3}$

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17、某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了 $n$ 份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在 $[90, 100)$ 内的人数为10，则（）

A、 $m = 0.01$ B、 $n = 100$ C、估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表） D、估计参赛选手得分的中位数在 $[70, 80)$ 内

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x - a$ ．若 $\forall x \in R, f (x - a^{2}) \leq f (x)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $(- \infty, 0]$

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19、已知正项等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{a_{1} + a_{3} + \dots + a_{2 n - 1}}{a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n + 1}} = \frac{n}{n + 2} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{2024}}{a_{2}} =$ （）

A、 $2$ B、 $2024$ C、 $1012$ D、 $4048$

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20、如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且 $\vec{O B} = λ \vec{O A}$ ，则 $λ^{3} =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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