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相关试卷

1、已知 $3 i - 1$ 是关于 $x$ 的实系数方程 $3 x^{2} + 2 p x + q = 0$ 的一个根，则实数 $p$ 的值为.

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2、设 $O x, O y, O z$ 是空间内正方向两两夹角为 $60^{\circ}$ 的三条数轴，向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 分别与 $x$ 轴､ $y$ 轴. $z$ 轴方向同向的单位向量，若空间向量 $\vec{a}$ 满足 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}} (x, y, z \in R)$ ，则有序实数组 $(x, y, z)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在斜 $60^{\circ}$ 坐标系 $O x y z$ （ $O$ 为坐标原点），记作 $\vec{a} = (x, y, z)$ ，则下列说法正确的有（）

A、已知 $\vec{a} = (1, 2, 3)$ ，则 $|\vec{a}| = 5$ B、已知 $\vec{a} = (- 1, 2, 1), \vec{b} = (2, - 4, - 2)$ ，则向量 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ C、已知 $\vec{a} = (3, - 1, 2), \vec{b} = (1, 3, 0)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ D、已知 $\vec{O A} = (1, 0, 0), \vec{O B} = (0, 1, 0), \vec{O C} = (0, 0, 1)$ ，则三棱锥 $O - A B C$ 的外接球体积 $V = \frac{\sqrt{6}}{8}$

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3、有一组样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1}$ .由这组数据得到新样本数据 $y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{i} - 2024 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为 $a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} - 2024$ B、 $b_{2} = b_{1}$ C、 $c_{2} = 2 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1}$

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4、现有一段底面周长为 $12 π$ 厘米和高为12厘米的圆柱形水管， $A B$ 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从 $A$ 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行 $π$ 厘米后再向下爬行3厘米到达 $P$ 点，另一只从 $B$ 沿下底部圆弧逆时针方向爬行 $π$ 厘米后再向上爬行3厘米爬行到达 $Q$ 点，则此时线段 $P Q$ 长（单位：厘米）为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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5、抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用 $x$ 表示红色骰子的点数，用 $y$ 表示绿色骰子的点数，用 $(x, y)$ 表示一次试验结果，设事件 $E : x + y = 8$ ；事件 $F$ ：至少有一颗点数为5；事件 $G : x > 4$ ；事件 $H : y \leq 4$ .则下列说法正确的是（）

A、事件 $E$ 与事件 $F$ 为互斥事件 B、事件 $F$ 与事件 $G$ 为互斥事件 C、事件 $E$ 与事件 $G$ 相互独立 D、事件 $G$ 与事件 $H$ 相互独立

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6、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + b^{2} + a b = c^{2}$ ，若角 $C$ 的内角平分线 $C M = 2$ ，则 $\vec{A C} \cdot \vec{C B}$ 的最小值为（）

A、8 B、4 C、16 D、12

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7、已知 $\vec{n_{1}} = (- 1, 9, 1), \vec{n_{2}} = (m, - 3, 2), \vec{n_{3}} = (0, 2, 1)$ ，若 $\{\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}, \vec{n_{3}}\}$ 不能构成空间的一个基底，则 $m =$ （）

A、3 B、1 C、5 D、7

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8、某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在实验操作中结果为优秀的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9、被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）

A、2400 B、1520 C、1530 D、2410

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10、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，用 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{B O}$ ，则（）

A、 $\vec{B O} = \vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\vec{B O} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{B O} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{B O} = - \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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11、已知复数 $(1 + i) (2 + m i)$ 在复平面内对应的点位于第二象限，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2)$ D、 $(- 2, 2)$

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12、已知 $y = - 3 x^{2} + a (6 - a) x + 12$ .
（1）若不等式y＞b的解集为(0，3)，求实数a，b的值；
（2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有 $y \leq 3 x + 9 m^{2} - 6 m$ ，求m的取值范围.

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13、一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的 $\frac{5}{4}$ 快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为米．

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14、定义在 $N^{*}$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} - a x + a^{2}, x < 3 \\ a x, x \geq 3 \end{matrix}$ 为递增函数，则头数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(\frac{3}{4}, \frac{3}{2})$ C、 $[\frac{3}{4}, 1)$ D、 $(1, 3)$

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15、若幂函数 $y = x^{\frac{m}{n}}$ （ $m, n \in N^{*}$ ，且 $m$ 、 $n$ 互素）的图像如图所示，则下列说法中正确的是（）

A、 $m$ 、 $n$ 是奇数且 $\frac{m}{n} < 1$ B、 $m$ 是偶数， $n$ 是奇数，且 $\frac{m}{n} > 1$ C、 $m$ 是偶数， $n$ 是奇数，且 $\frac{m}{n} < 1$ D、 $m$ 、 $n$ 是偶数，且 $\frac{m}{n} > 1$

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16、若函数 $f (x)$ 满足以下三个条件，则称 $f (x)$ 为 $S G - L$ 函数.①定义域为 $N^{*}$ ；②对任意 $x \in N^{*}$ ， $f (x) \in N^{*}$ ；③对任意正整数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，当 $x_{1} + x_{2} \geq 3$ 时，有 $(f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{1}) - f (x_{2})) (f (x_{1} + x_{2}) - f (x_{1}) - f (x_{2}) - 1) \leq 0$ .若给定 $S G - L$ 函数 $f (x)$ 某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的 $f (x)$ 如果有 $k$ 种，分别为 $f_{1} (x)$ ， $f_{2} (x)$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $f_{k} (x)$ .
那么我们记 $F (n)$ 等于 $f_{1} (n)$ ， $f_{2} (n)$ ， $\cdot \cdot \cdot$ ， $f_{k} (n)$ 的最大值.这样得到的 $F (x)$ 称为 $f (x)$ 的最大生成函数.

(1)、若 $f (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且 $F (x)$ 是在给定条件 $f (1) = 1$ ， $f (3) = 5$ 下的 $f (x)$ 的最大生成函数，求 $f (2)$ 和 $F (4)$ 的值；

(2)、若 $g (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且满足 $g (1) = g (2) = 1$ ，求数列 $\{2^{g (n)}\}$ 的前10项和；

(3)、若 $h (x)$ 为 $S G - L$ 函数，且 $H (x)$ 是在给定条件 $h (1) = 1$ ， $h (2) = 2$ 下的 $h (x)$ 的最大生成函数，求数列 $\{H (n)\}$ 的前 $n$ 项和.

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17、如图，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{4 a^{2}} - \frac{y^{2}}{4 b^{2}} = 1$ 的左､右顶点，过点 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线 $C_{1}$ 的左､右两支于 $A, B$ 两点，交双曲线 $C_{2}$ 的右支于点 $M$ （与点 $F_{2}$ 不重合），且 $△ B F_{1} F_{2}$ 与 $△ A B F_{2}$ 的周长之差为2.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若直线 $M F_{2}$ 交双曲线 $C_{1}$ 的右支于 $D, E$ 两点.
①记直线 $A B$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $D E$ 的斜率为 $k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值；
②试探究： $|D E| - |A B|$ 是否为定值？并说明理由.

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18、已知函数 $f (x) = x e^{a - \frac{1}{2} x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = |f (x) + e^{- 2} a|, x \in (0, + \infty)$ 存在最大值，求 $a$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = \log_{a} (\frac{m}{x} - 1)$ 的图象恒过定点 $(1, 0)$ ，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值，并研究函数 $y = f (x + 1)$ 的奇偶性；

(2)、函数 $g (x) = \log_{a} (x + \frac{k^{2} + k + 2}{x} - 2 (k + 1))$ ，关于x的方程 $f (x) = g (x)$ 恰有唯一解，求实数 $k$ 的范围．

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20、一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入 $x$ （单位：千万元）对每件产品成本 $y$ （单位：元）的影响，对近 $10$ 年的年技术创新投入 $x_{i}$ 和每件产品成本 $y_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ 的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得： $\bar{x} = 6.8$ ， $\bar{y} = 70$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}} = 3$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{1}{x_{i}^{2}} = 1.6$ ， $\sum_{i = 1}^{10} \frac{y_{i}}{x_{i}} = 350$ .

(1)、根据散点图可知，可用函数模型 $y = \frac{b}{x} + a$ 拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，试建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；

(2)、已知该产品的年销售额 $m$ （单位：千万元）与每件产品成本 $y$ 的关系为 $m = - \frac{y^{2}}{500} + \frac{2 y}{25} + \frac{200}{y - 10} + 100$ .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本 $10$ 千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
（注：年利润=年销售额一年投入成本）
参考公式：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ 、 $(u_{2}, v_{2})$ 、 $\dots$ 、 $(u_{n}, v_{n})$ ，其回归直线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小乘估计分别为： $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .

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