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相关试卷

1、设锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $(sin A + sin B - sin C) \cdot (b + c - a) = c \cdot sin A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求 $y = sin A + sin C$ 的取值范围．

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2、如图所示，在边长为2的正方形ABCD中，F是BC的中点，E是AB上的动点．

(1)、当E为AB的中点时，
①用向量法证明： $\vec{A F} ⊥ \vec{D E}$ ；②求 $\vec{D E} \cdot \vec{E C}$ 的值．

(2)、设AF与DE交于Q，若 $\vec{A Q} = \frac{1}{3} \vec{A F}$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ，（ $λ \in R$ ），求 $λ$ 的值．

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3、给定函数 $y = f (x)$ ，若在其定义域内存在 $x_{0} (x_{0} \neq 0)$ 使得 $f (- x_{0}) = - f (x_{0})$ ，则称 $f (x)$ 为“ $Ω$ 函数”， $x_{0}$ 为该函数的一个“ $Ω$ 点”.设函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} - x - ln 2, x < 0 \\ ln (a - e^{x}), x > 0 \end{array}$ ，若 $ln 2$ 是 $g (x)$ 的一个“ $Ω$ 点”，则实数 $a$ 的值为.

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4、函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ 的部分图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ，则 $A =$ ； $φ =$ ．

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5、请写出与向量 $\vec{a} = (- 3, 4)$ 同向的单位向量：．（用坐标表示）

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6、已知复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ ，下列说法正确的有（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} \bar{z_{1}} = z_{2} \bar{z_{2}}$ B、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ C、若 $z_{1} = 2 + 2 i$ ， $|z_{2}| = 1$ ， $|z_{1} - z_{2}|$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} + 1$ D、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1} + z_{2}|$ ，则 $z_{1} z_{2} = 0$

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7、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 分别为 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G$ ， $F H$ ， $A A_{1}$ 三线共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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8、一个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为 $1 : 1$ ，则上下两个几何体的体积之比为（）

A、 $1 : 8$ B、 $1 : 7$ C、 $1 : (2 \sqrt{2} + 1)$ D、 $1 : (2 \sqrt{2} - 1)$

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9、如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$ ， …的图形之一，此图形中 $∠ B A D$ 的余弦值是（）

A、 $\frac{4 - \sqrt{3}}{6}$ B、 $\frac{4 + \sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{6}}{6}$

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11、复数 $\frac{\frac{1}{2} - i}{i^{2} - i^{3}}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- e^{x} + a}{e^{x} + 1}$ 是奇函数.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、若不等式 $f (m \cdot 3^{x}) + f (3^{x} - 9^{x} - 2) > 0$ 对任意的 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、已知 $△ A B C$ 为锐角三角形，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a^{2} - c^{2} = b c$ ．

(1)、求证： $A = 2 C$ ；

(2)、若 $c = 1$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中A＞0， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图像如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图像上各点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到了函数 $y = g (x)$ 的图像，求函数 $y = g (x)$ 在 $[0, \frac{3 π}{8}]$ 上的单调递增区间．

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 3, k)$ .

(1)、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $|\vec{b}|$ 的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数k的值；

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16、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a = c - 1, b = c + 1$ ，若 $△ A B C$ 为钝角三角形，则c的取值范围为．

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{3} x, x > 0 \\ f (x + 3), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 5) =$ ．

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18、已知角 $α$ 终边上一点坐标 $P (1, 2)$ ，则 $\cos α =$ .

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19、已知 $△ A B C$ 中，其内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列命题正确的有（）

A、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形 B、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 外接圆半径为4 C、若 $a = 2 b cos C$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ， $△ A B C$ 是钝角三角形

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20、已知 $a, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则下列不等式恒成立的有（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq 2 + \sqrt{2}$

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