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相关试卷

1、给定两个不共线的空间向量 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ ，定义叉乘运算： $\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}$ 规定：① $\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}$ 为同时与 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 垂直的向量；② $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ， $\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}$ 三个向量构成右手系(如图1)；③ $|\overset{⃑}{a} \times \overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a}| |\overset{⃑}{b}| \sin ⟨\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}⟩$ 如图2，在长方体中 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $A B = A D = 2, A A_{1} = 4$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{A A_{1}}$ B、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积 $V = (\overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A D}) \cdot \overset{⃑}{C C_{1}}$ C、 $\overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A D} = \overset{⃑}{A D} \times \overset{⃑}{A B}$ D、 $(\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A D}) \times \overset{⃑}{A A_{1}} = \overset{⃑}{A B} \times \overset{⃑}{A A_{1}} + \overset{⃑}{A D} \times \overset{⃑}{A A_{1}}$

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2、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， E是 $B C$ 边中点，线段AE长为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $∠ B A C = 120 °$ ， $D$ 是 $B C$ 边上一点， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的角平分线，则 $A D =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、2 D、 $\sqrt{3}$

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3、甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲能破译密码的概率为 $\frac{1}{4}$ ，乙能破译密码的概率为 $\frac{2}{3}$ ，则这份密码被成功破译的概率为（）

A、 $\frac{11}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{1}{6}$

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4、甲，乙两组数据的频率分布直方图如图所示，两组数据采用相同的分组方法，用 $\bar{x_{1}}$ 和 $\bar{x_{2}}$ 分别表示甲、乙的平均数， $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ 分别表示甲、乙的方差，则（）

A、 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} < s_{2}^{2}$ B、 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} > s_{2}^{2}$ C、 $\bar{x_{1}} < \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$ D、 $\bar{x_{1}} > \bar{x_{2}}$ ， $s_{1}^{2} = s_{2}^{2}$

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5、在复平面内，复数 $z = (1 + i) (1 - 3 i)$ 对应的点所在的象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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6、如果数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = 0$ 且 $|a_{1}| + |a_{2}| + |a_{3}| + \cdot \cdot \cdot + |a_{n}| = 1 (n \geq 3 ， n \in N^{*}),$ 则称 ${a_{n}}$ 为n阶“归化”数列.

(1)、若某3阶“归化”数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；

(2)、若某11阶“归化”数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)、若 ${a_{n}}$ 为n阶“归化”数列，求证 $a_{1} + \frac{1}{2} a_{2} + \frac{1}{3} a_{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n} a_{n} \leq \frac{1}{2} - \frac{1}{2 n} .$

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7、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a (1 - x + ln x)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 不是单调函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 在 $(1, + \infty)$ 恒成立，求实数 $a$ 的最小整数值. $(e^{2} \approx 7.39)$

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8、如图所示，正方形 $A A_{1} D_{1} D$ 与矩形 $A B C D$ 所在平面互相垂直， $A B = 2 A D = 2$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点.

(1)、求证： $B D_{1} //$ 平面 $A_{1} D E$ ；

(2)、在线段 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使二面角 $D_{1} - M C - D$ 的平面角的大小为 $\frac{π}{4}$ ？若存在，求出 $A M$ 的长；若不存在，请说明理由.

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $(12 \sin B - \sin A \cos C) b = a \sin C \cos B$ ．

(1)、求 $\frac{b}{a}$ 的值；

(2)、若 $a = 6$ ，点 $D$ 是线段 $B C$ 上的一点， $∠ C A D = ∠ B A D$ ， $D A = D C$ ，求 $\cos C$ 的值．

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10、如图，在边长为1的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $P$ 点在正方形内（含边界），且 $|\vec{A P}| = |\vec{A B}|$ ． ①若 $|\vec{B P}| = |\vec{A B}|$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{B P}$ 的值是；②若向量 $\vec{A C} = λ \vec{D E} + μ \vec{A P}$ ，则 $λ + μ$ 的最小值为．

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11、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为 $5cm$ ，秒针均匀地绕点O旋转，当时间 $t = 0$ 时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离 $d (cm)$ 表示成 $t (s)$ 的函数，则 $d =$ 其中 $t \in [0, 60]$ .

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12、出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若 $A C = b$ ， $B C = a (b \geq a)$ ， $A B = c$ ，图中两个阴影三角形的周长分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，则 $\frac{l_{1} + l_{2}}{a + b}$ 的最小值为.

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13、设函数 $g (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 向左平移 $\frac{π}{5 ω}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ ，已知 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、在 $(0, 2 π)$ 上，方程 $f (x) = 1$ 的根有3个，方程 $f (x) = - 1$ 的根有2个 C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{10})$ 上单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{12}{5}, \frac{29}{10})$

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14、设点D是 $△ A B C$ 所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）

A、若 $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，则D是BC边上靠近B的三等分点 B、若 $\vec{A D} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}| \cos B} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}| \cos C})$ ，（ $λ \in R$ 且 $λ \neq 0$ ），则直线AD经过 $△ A B C$ 的垂心 C、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，且x， $y \in R$ ， $x + y = \frac{1}{2}$ ，则 $△ B C D$ 是 $△ A B C$ 面积的一半 D、若平面内一动点P满足 $\vec{O P} = \vec{O A} + λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，（ $λ \in R$ 且 $λ \neq 0$ ），则动点P的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的外心

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15、已知直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = x^{2} - (a + 1)$ 的切线，也是曲线 $y = a \ln x - 1$ 的切线，则k的最大值是（）

A、 $\frac{2}{e}$ B、 $\frac{4}{e}$ C、2e D、4e

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16、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 5, ∠ B A C = 60 °, B C, A C$ 边上的两条中线 $A M, B M$ 相交于点 $P$ ，求 $∠ M P N$ 的余弦值．（）

A、 $\frac{6 \sqrt{91}}{91}$ B、 $\frac{4 \sqrt{91}}{91}$ C、 $\frac{5 \sqrt{91}}{91}$ D、 $\frac{7 \sqrt{91}}{91}$

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17、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买 $10 g$ 黄金，售货员先将 $5 g$ 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将 $5 g$ 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）
附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有 $m_{1} L_{1} = m_{2} L_{2}$ ，其中 $m_{1}$ 、 $m_{2}$ 分别为左、右盘中物体质量， $L_{1}$ 、 $L_{2}$ 分别为左右横梁臂长．

A、等于 $10 g$ B、小于 $10 g$ C、大于 $10 g$ D、不确定

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18、下列求导数计算错误的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(\frac{x^{2}}{e^{x}})}^{'} = \frac{x^{2} - 2 x}{e^{x}}$ C、 ${(x ln x)}^{'} = 1 + ln x$ D、 ${(tan x)}^{'} = \frac{1}{{cos}^{2} x}$

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19、已知函数 $y = f (\frac{1}{2} x + 1)$ 的定义域是 $[2, 4]$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x)}{\ln (x - 2)}$ 的定义域为（）

A、 $(2, 3)$ B、 $(2, 3]$ C、 $(2, 3) \cup (3, 6]$ D、 $(2, 3) \cup (3, 4]$

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20、sin40°(tan10°－ $\sqrt{3}$ )＝

A、－ $\frac{1}{2}$ B、－1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、－ $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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