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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $3 a - c = 3 b cos C$ ．

(1)、求 $sin B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ， $a + c = \sqrt{3} b$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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2、已知函数 $f (x) = a \sqrt{4 x - 1} + e^{x} + b$ 有零点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为．

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3、已知 $F$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点， $A, B$ 分别是椭圆 $E$ 的长轴与短轴的一个端点，若以 $A F$ 为直径的圆经过 $B F$ 的中点，则椭圆 $E$ 的离心率为．

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4、 $(1 + x^{2}) {(2 x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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5、已知有穷数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，其项数不少于4项，从 $\{a_{n}\}$ 中选取 $m (3 \leq m \leq n)$ 项组成数列 $\{b_{m}\}$ ，数列 $\{b_{m}\}$ 满足 $\forall i \in \{1, 2, \dots, m - 2\}$ ， $(b_{i + 2} - b_{i}) (b_{i + 2} - b_{i + 1}) < 0$ ，则（）

A、数列 $\{b_{m}\}$ 是单调数列 B、当 $n = m = 7$ 时， $b_{7} = 4$ C、当 $m = 12$ 时， $|b_{12} - b_{1}| \geq 6$ D、数列 $\{b_{m}\}$ 的个数为 $2 C_{n}^{m}$

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6、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点， $P$ 为双曲线右支上一点， $|P F_{2}|$ 的最小值为1，且当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时， $|P F_{2}| = 3$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的焦距为4 B、双曲线 $C$ 的一条渐近线被圆 $T$ ： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为2 C、过点 $F_{2}$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $Q$ ，则 $|Q F_{1}| = 2 \sqrt{2}$ D、 $M$ 为圆 $E$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上一点， $|P M| - |P F_{2}|$ 的最大值为3

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7、设函数 $f (x) = \frac{3}{2} cos 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} sin 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{3}$ B、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, \frac{5π}{6}]$ 上单调递增 C、 $\forall a \in R$ ， $f (x)$ 在 $(a, a + \frac{4π}{7})$ 上存在极值点 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后得到的图象对应的函数为偶函数

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8、已知 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 是球 $O$ 的球面上四点， $A B ⊥ A D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $A C = B D = C D = \sqrt{13}$ ．记球 $O$ 的体积为 $V_{1}$ ，四面体 $A B C D$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $V_{1} : V_{2}$ 的值为（）

A、 $\frac{64 \sqrt{3}}{27} π$ B、 $\frac{25 \sqrt{3}}{9} π$ C、 $\frac{80 \sqrt{3}}{27} π$ D、 $\frac{32 \sqrt{3}}{9} π$

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9、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 2) = f (x) f (x + 2)$ ， $f (3) = 3$ ，则 $f (2025) =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{2}$ C、5 D、 $\frac{5}{2}$

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10、已知不共线的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{c}| = |2 \vec{a} + \vec{c}|$ ，则 $|\vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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11、已知函数 $y = 3^{x}$ 图象上不同的两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 到直线 $y = \frac{1}{3}$ 的距离相等，则（）

A、 $x_{1} x_{2} < 0$ B、 $x_{1} + x_{2} < - 2$ C、 $y_{1} y_{2} > \frac{1}{9}$ D、 $y_{1} + y_{2} < 2 \times 3^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$

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12、已知 $α, β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{3 - sin α}{2 - {cos}^{2} β} = 2$ ，则 $tan α tan 2 β =$ （）

A、2 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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13、已知 $S_{n}$ 为正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} a_{5} a_{7} = a_{4} a_{8}$ ， $S_{3} = 7$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、6

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14、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + i}{z - 1} = 1 + i$ ，则在复平面内， $\bar{z}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | x (x - 2) > 0\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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16、二次函数的图象是抛物线，现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的图象可以由 $y = x^{2}$ 的图象沿向量 $\vec{n} = (0, 1)$ 平移得到；抛物线 $y = x^{2}$ ，即 $x^{2} = y$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{1}{4})$ ，准线方程为 $y = - \frac{1}{4}$ ；故二次函数 $y = x^{2} + 1$ 的焦点坐标为 $(0, \frac{5}{4})$ ，准线方程为 $y = \frac{3}{4}$ .

(1)、求二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的焦点坐标和准线方程；

(2)、求二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的焦点坐标和准线方程；

(3)、设过 $A (4, 1)$ 的直线与抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 的另一个交点为 $B$ ，直线 $A B$ 与直线 $y = x - 4$ 交于点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1$ 于点 $N$ . 是否存在定点 $G$ ，使得 $B, N, G$ 三点共线? 若存在，请求出定点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - x \ln x + m x - 1 (m \in R)$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ .
（ⅰ）求实数 $m$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $x_{1} x_{2} < 1$ .

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18、如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm³)的最大值为．

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19、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{5} = 2 a_{4}$ ，且 $a_{3}$ 与 $2 a_{6}$ 的等差中项为 $\frac{5}{4}$ ，则 $S_{4} =$ .

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20、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行的所有的数字之和为 $2^{n}$ B、在“杨辉三角”第 $2 n$ 行的数中，从左到右第 $n$ 个数最大 C、在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 $C_{13}^{4}$ D、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \cdot a_{n + 2 - i}$ 的值恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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