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相关试卷

1、某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为 $x (x > 0)$ 千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为 $f (x)$ 千元与 $g (x)$ 千元，其中 $f (x) = 2 x$ ， $g (x) = 4 \ln (2 x + 1)$ ，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投（）千元．

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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2、三次函数 $f (x) = m x^{3} - x^{2} - x$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{3})$ D、 $(- \infty, 1]$

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3、已知函数 $f (x) = 3 f^{'} (1) x - x^{2} + ln x + \frac{1}{2}$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、函数 $f (x) = 6 + 12 x - x^{3}$ 的极小值点为（）

A、 $(4, - 10)$ B、 $(- 2, - 10)$ C、 $4$ D、 $- 2$

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5、已知公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{5} - 2 a_{3} = 1$ ，且 $a_{2} = 0$ ，则 $d =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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6、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} =$ （）

A、6 B、8 C、12 D、16

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7、对于一个四元整数集 $A = \{a, b, c, d\}$ ，如果它能划分成两个不相交的二元子集 $\{a, b\}$ 和 $\{c, d\}$ ，满足 $a b - c d = 1$ ，则称这个四元整数集为“有趣的”．

(1)、写出集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 的一个“有趣的”四元子集：

(2)、证明：集合 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集：

(3)、证明：对任意正整数 $n (n \geq 2)$ ，集合 $\{1, 2, 3, \dots, 4 n\}$ 不能划分成 $n$ 个两两不相交的“有趣的”四元子集．

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8、如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (- 1, 2)$ 作一条不经过 $F$ 的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与抛物线交于异于原点的 $A, B$ 两点，点 $B$ 在 $x$ 轴下方，且 $A$ 在线段 $P B$ 上．

(1)、试判断：直线 $F A, F B$ 的斜率之积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

(2)、过点 $B$ 作 $P F$ 的垂线交直线 $A F$ 于点 $C$ ，若 $△ F B C$ 的面积为4，求点 $B$ 的坐标，

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9、已知三棱锥 $P - A B C$ 满足 $A B ⊥ A C, A B ⊥ P B, A C ⊥ P C$ ，且 $A P = 3, B P = \sqrt{5}, B C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $A B P$ 所成角的正弦值，

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10、已知数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是首项为3，公比为9的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + \frac{b_{2}}{3} + \frac{b_{3}}{3^{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{3^{n - 1}} = 3 n$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，若 $∠ B D C = 45 °$ ，则 $B D =$ ； $\cos ∠ A B D =$ .

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12、设函数 $f (x)$ 与其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且 $f^{'} (x + 2)$ 为偶函数， $f (1 + x) - f (1 - x) = 0$ ，则（）

A、 $f^{'} (1 + x) = f^{'} (1 - x)$ B、 $f^{'} (3) = 0$ C、 $f^{'} (2025) = 0$ D、 $f (2 + x) + f (2 - x) = 2 f (2)$

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13、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = ∠ B A D = 60 °$ ，则（）

A、直线 $A_{1} C$ 与BD所成的角为90° B、线段 $A_{1} C$ 的长度为 $\sqrt{3}$ C、直线 $A_{1} C$ 与 $B B_{1}$ 所成的角为90° D、直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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14、下列说法正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ， $σ$ 越小，表示随机变量 $X$ 分布越集中 B、数据1，9，4，5，16，7，11，3的第75百分位数为9 C、线性回归分析中，若线性相关系数 $|r|$ 越大，则两个变量的线性相关性越弱 D、已知随机变量 $X ~ B (7, \frac{1}{2})$ ，则 $E (X) = \frac{7}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x e^{x}, x < 1, \\ - x^{2} + 2 x + a, x \geq 1, \end{array}$ 若 $5 f (x) + 1 = 0$ 有3个实数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{e}, + \infty)$ B、 $[- \frac{6}{5}, + \infty)$ C、 $[- \frac{1}{e}, e]$ D、 $[- \frac{1}{e}, e - 1]$

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16、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 满足 $f (\frac{π}{3}) = 1$ ，最小正周期为 $π$ ，函数 $g (x) = sin 2 x$ ，则将 $f (x)$ 的图象向左平移（）个单位长度后可以得到 $g (x)$ 的图象

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{11 π}{12}$

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17、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前2项和为12， $a_{1} - a_{3} = 6$ ，则公比 $q$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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18、已知复数 $z$ 满足 $5 z + 3 \bar{z} = 8 - 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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19、已知集合 $A = \{x |x \geq 1\}$ ， $B = \{x |2 x^{2} - 5 x - 3 < 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |x \geq 1\}$ B、 $\{x |x > - \frac{1}{2}\}$ C、 $\{x |1 < x < \frac{3}{2}\}$ D、 $\{x |1 \leq x < 3\}$

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20、已知函数 $g (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x) = g (x) + a x^{2} - (2 + a) x$ ， $x_{1}, x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个零点，证明： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ．

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