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相关试卷

1、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{5} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，右支上一点 $P$ 满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $l$ 平分 $∠ F_{1} P F_{2}$ ，过点 $F_{1}, F_{2}$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足分别为 $A, B$ .设 $O$ 为坐标原点，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、10 D、 $10 \sqrt{2}$

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2、有 $5$ 个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（）

A、90 B、150 C、390 D、420

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3、在空间直角坐标系中， $P (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 0, 3)$ ，三角形 $A B C$ 重心为 $G$ ，则点 $P$ 到直线 $A G$ 的距离为（）

A、 $\frac{6}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{221}}{17}$ C、 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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4、设 $a = \frac{1}{2} \cos 6 ° - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 6 °$ ， $b = 2 \sin 13 ° \cos 13 °$ ， $c = \sqrt{\frac{1 - \cos 50^{°}}{2}}$ ，则有（）

A、 $c < b < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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5、关于线性回归的描述，有下列命题：
①回归直线一定经过样本点的中心；
②相关系数r越大，线性相关程度越强；
③决定系数 $R^{2}$ 越接近1拟合效果越好；
④随机误差平方和越小，拟合效果越好．
其中正确的命题个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、设复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 - i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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7、在△ $A B C$ 中， $a = 4 \sqrt{3}$ ， $c = 4$ ， $∠ B A C = \frac{2π}{3}$ ， $P$ 为△ $A B C$ 内部（包含边界）的动点，且 $P A = 1$ .

(1)、求 $|\vec{A C} + \vec{A B}|$ ；

(2)、求 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的取值范围.

(3)、若 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求 $x + y$ 的取值范围.

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8、已知 $\vec{a} = (2 cos ω x, f (x) - sin 2 ω x), \vec{b} = (\sqrt{3} cos ω x, - 1), x \in R, ω > 0$ ．且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式与单调递增区间；

(2)、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c, f (A) = \sqrt{3}$ ，点 $D$ 在 $B C$ 上，且 $A D$ 平分 $∠ B A C, a = 3, A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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9、已知向量 $\vec{a} = (cos α, sin α)$ ， $\vec{b} = (cos β, sin β)$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = \frac{\sqrt{10}}{5}$ ．

(1)、求 $\cos (α - β)$ 的值；

(2)、若 $- \frac{π}{2} < β < 0 < α < π$ ， $sin β = - \frac{5}{13}$ ，求 $sin α$ 的值．

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10、如图，棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} D_{1}$ 上动点（包括端点）．则以下结论正确的为（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、异面直线 $A_{1} D, B_{1} D_{1}$ 成角为 $45^{\circ}$ C、直线 $A A_{1}$ 与面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、存在点 $P$ 使得 $C P / / 面 A_{1} B D$

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11、下列化简正确的是（）

A、 $sin 15^{\circ} cos 15^{\circ} = \frac{1}{2}$ B、 $sin 70^{\circ} cos 25^{\circ} - sin 20^{\circ} sin 25^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 ${cos}^{2} \frac{π}{12} - {sin}^{2} \frac{π}{12} = \frac{1}{2}$ D、 $tan 27^{\circ} + tan 33^{\circ} + \sqrt{3} tan 27^{\circ} tan 33^{\circ} = \sqrt{3}$

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12、在 $Rt △ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对应的边为 $a, b, c$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $C = \frac{π}{2}$ ， $c = 2$ ， $P$ 是 $△ A B C$ 外接圆上一点，则 $\vec{P C} \cdot (\vec{P A} + \vec{P B})$ 的最大值是（）

A、4 B、 $2 + \sqrt{10}$ C、3 D、 $1 + \sqrt{10}$

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13、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，要得到函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象，只需将函数 $f (x)$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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14、如图，位于某海域 $A$ 处的甲船获悉，在其北偏东 $60^{\circ}$ 方向 $C$ 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东 $15^{\circ}$ ，且与甲船相距 $\sqrt{2} nmile$ 的 $B$ 处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（）

A、 $\sqrt{2} nmile$ B、 $2 n m i l e$ C、 $2 \sqrt{2} n m i l e$ D、 $3 \sqrt{2} n m i l e$

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ ， $a c = 4$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、2 D、 $- 2$

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16、如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BD₁与直线AC所成的角是（）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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17、随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛．差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用．对于数列 $\{a_{n}\}$ ，规定 $\{Δ a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶差分数列，其中 $Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ ，规定 $\{Δ^{2} a_{n}\}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶差分数列，其中 $Δ^{2} a_{n} = Δ a_{n + 1} - Δ a_{n} (n \in N^{*})$ ．

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n^{3} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 $\{Δ a_{n}\}$ ， $\{Δ^{2} a_{n}\}$ 是否为等差数列，请说明理由?

(2)、数列 $\{{log}_{a} b_{n}\}$ 是以1为公差的等差数列，且 $a > 2$ ，对于任意的 $n \in N^{*}$ ，都存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $Δ^{2} b_{n} = b_{m}$ ，求a的值．

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18、已知各项均不为零的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，其前n项和记为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}^{2} - S_{n - 1}^{2}}{a_{n}} = 2 n^{2}, n \geq 2, n \in N^{*}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}, n \in N^{*}$ ．

(1)、求 $a_{2}, a_{3}, S_{100}$ ；

(2)、求数列 $\{3^{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19、已知函数 $f (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 4 a x + a^{2} ln x$ 在 $x = 1$ 处取得极大值．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e}, e]$ 上的最大值．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \ln x, x \geq 1 \\ 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1, x < 1 \end{cases}$ ，则 $x \in [- 1, e]$ 时， $f (x)$ 的最小值为，设 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - f (x) + a$ ，若函数 $g (x)$ 有6个零点，则实数 $a$ 的取值范围是.

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