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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{a x}{x + 2}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(- 1, f (- 1))$ 处的切线 $l$ 垂直于直线 $x + 2 y - 1 = 0$ ，则实数 $a$ 的值为．

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2、国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示，2020年国夏粮总产量达14281万吨，创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食，也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为 $63000 π$ 立方米的粮食储藏容器，如图1所示，已知该容器分上下两部分，中上部分是底面半径和高都为 $r (r \geq 10)$ 米的圆锥，下部分是底面半径为 $r$ 米､高为 $h$ 米的圆柱体，如图2所示.经测算，圆锥的侧面每平方米的建造费用为 $\sqrt{2} a$ 元，圆柱的侧面､底面每平方米的建造费用为 $a$ 元，设每个容器的制造总费用为 $y$ 元，则下面说法正确的是（）

A、 $10 \leq r < 40$ B、 $h$ 的最大值为 $\frac{1880}{3}$ C、当 $r = 21$ 时， $y = 7029 a π$ D、当 $r = 30$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $6300 a π$

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3、已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，有 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = m$ ， $π$ 是圆周率， $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $(0, e)$ B、 $m > \frac{1}{e}$ C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < 4$ ，则 $2 < x_{1} < e$ D、若 $a = e^{3}$ ， $b = 3^{e}$ ， $c = e^{π}$ ， $d = π^{e}$ ， $s = 3^{π}$ ， $t = π^{3}$ ，则 $s$ 最大

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4、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x + 1$ ，若 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 - 2 \ln 2$ B、 $- 2 \ln 2 - 2$ C、 $4 - 2 \ln 2$ D、 $- 2 \ln 2 - 4$

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{3}, a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 1$ 的极值点，设等差数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $b_{5} = a_{5}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、 $- 18$ 或 $18$ B、 $- 18$ C、 $18$ D、2

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6、已知函数 $y = f (x)$ 的图像如图所示，则其导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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7、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{n} = {(- 1)}^{n} n \sin \frac{n π}{2}$ ，则 $S_{2024} =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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8、已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 为 $a_{n}$ 的前n项和， $S_{5} = 5 S_{3} - 4$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、9 C、15 D、20

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n} ､ T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{3 n + 4}{n + 2}$ ，则 $\frac{a_{5} + a_{7}}{b_{2} + b_{10}} =$ （）

A、 $\frac{37}{13}$ B、 $\frac{111}{13}$ C、 $\frac{111}{26}$ D、 $\frac{37}{26}$

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10、已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) cos 2 x + \sin x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处的导数为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知 $∠ A O B = \frac{π}{4}$ ，弓形花园的弦长 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，记弓形花园的顶点为 $M, ∠ M A B = ∠ M B A = \frac{π}{4}$ ，设 $∠ O B A = θ (θ \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2}))$ .

(1)、将 $|O A|, |O B|$ 用含有 $θ$ 的关系式表示出来；

(2)、该山庄准备在 $M$ 点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计 $O A, O B$ 的长度，才使得喷泉 $M$ 与山庄 $O$ 的距离的值最大？

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12、投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量 $X_{n} = \{\begin{matrix} 1, & 第 n 次投出正面, \\ - 1, & 第 n 次投出反面, \end{matrix} (n = 1, 2, 3)$ ．记A表示事件“ $X_{1} + X_{2} = 0$ ”， $B$ 表示事件“ $X_{2} = 1$ ”， $C$ 表示事件“ $X_{1} + X_{2} + X_{3} = - 1$ ”，则（）

A、 $B$ 和 $C$ 互为对立事件 B、事件 $A$ 和 $C$ 不互斥 C、事件 $A$ 和 $B$ 相互独立 D、事件 $B$ 和 $C$ 相互独立

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13、已知角 $α$ ， $β \in (0, π)$ ， $\tan (α + β) = \frac{2}{3}$ ， $\cos β = \frac{4}{5}$ .

(1)、求 $\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α}$ 的值；

(2)、求 $\tan (2 α + β)$ 的值.

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14、在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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15、如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点，满足 $A B = A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $B C E D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{F C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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16、已知圆 $M : {(x + a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的圆心 $M$ 在直线 $y = x$ 上，且直线 $3 x + 4 y + 15 = 0$ 与圆 $M$ 相切.

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、设圆 $M$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $M$ 内，且 $| P M |^{2} = |P A| \cdot |P B|$ .记直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的取值范围.

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17、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = A C = 1$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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18、在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y + 4 a = 0, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求过点 $(1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ 相切，求 $a$ 的值.

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19、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为.

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20、若 $\vec{a} = (1, 0, 1), \vec{b} = (0, 2, 2)$ ，则 $sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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