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相关试卷

1、随机变量X服从正态分布 $X ～ N (4, σ^{2})$ ，若 $P (0.5 \leq X \leq 4) = 0.38$ ，则 $P (X \geq 7.5) =$ ．

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2、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $ξ \sim N (0, 1), φ (x) = P (ξ \leq x)$ ，其中 $x > 0$ ，则 $P (|ξ| > x) = 2 - φ (x)$ B、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，且 $0 < P (B) < 1$ ，则 $P (A |\bar{B}) = \frac{P (A)}{1 - P (B)}$ C、若事件 $B$ 发生，则事件 $A$ 一定发生，且 $0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1$ 则 $P (A |B) = P (A)$ D、甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为 $\frac{13}{30}$

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3、若 ${(1 - 2 x)}^{2 n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2 n} x^{2 n}$ ，则（）

A、 $a_{0} = 1$ B、 $\sum_{i = 0}^{2 n} |a_{i}| = 1$ C、 $\sum_{i = 0}^{n} {(C_{n}^{i})}^{2} = C_{2 n}^{n}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} = \frac{9^{n} + 1}{2}$

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4、4个不同的小球随机投入4个不同的盒子，设随机变量 $X$ 为空盒的个数，下列说法正确的是（）

A、随机变量 $X$ 的取值为 $1, 2, 3$ B、 $P (X = 3) = \frac{1}{64}$ C、 $P (X = 2) = \frac{9}{64}$ D、 $E (X) = \frac{81}{64}$

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5、设A，B为两个随机事件，若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，下列命题中，正确的是（）

A、若A，B为互斥事件， $P (A + B) = \frac{7}{12}$ B、 $P (A + B) \geq \frac{7}{12}$ C、若 $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则A，B为相互独立事件 D、若A，B为相互独立事件，则 $P (\bar{A} \cdot B) = \frac{1}{2}$

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6、设随机变量 $X ~ N (0, 1), f (x) = P (X ⩾ x)$ ，其中 $x > 0$ ，则下列等式成立的是（）

A、 $f (2 x) = 2 f (x)$ B、 $f (- x) = 1 - f (x)$ C、 $P (X ⩽ x) = 2 f (x) - 1$ D、 $P (| X | > x) = 2 - f (x)$

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7、 ${(x + 2 y + z)}^{11}$ 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（）

A、72项 B、75项 C、78项 D、81项

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8、同时抛掷两枚质地均匀的硬币（忽略客观因素对其的影响），如果已经知道有一枚硬币正面朝上，那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、不确定

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = n^{2} - 1$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、 $- 5$ B、5 C、7 D、8

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10、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{n - 3}$ ，则 $n =$ （）

A、6 B、7 C、8 D、9

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11、已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - x - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $f (x) + x - ln x \geq 0$ 恒成立时，求 $a$ 的取值范围；

(3)、证明： $\sum_{i = 1}^{n} e^{\frac{1}{i}} > \ln (n + 1) + n$ .

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{1} = 1, a_{n + 1} = S_{n} + 2^{n + 1}, n \in N^{*}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{S_{n}}{2^{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{S_{n}}{3^{n}}, \{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ；
①求 $T_{n}$ ；
②若对任意的正整数n，不等式 $5 - T_{n} < λ \cdot 2^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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13、求下列函数的导数：

(1)、 $y = \ln 3$ ；

(2)、 $y = x^{- 3}$ ；

(3)、 $y = {(2 x + 3)}^{10}$ ；

(4)、 $y = e^{2 x + 1}$ ；

(5)、 $y = \ln (3 x - 2)$ ；

(6)、 $y = \sin 4 x$

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14、已知函数 $f (x) = |e^{x} - 1|$ ， $a > 0 > b$ ， $f (a) = f (b)$ ，则 $b (e^{a} - 2)$ 的最大值为．

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15、如图，现在提供3种颜色给A，B，C，D4个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不相同，共有种不同的涂色方案？

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{5} = 27 a_{2}$ ， $S_{3} = 26$ ，则 $\frac{S_{4}}{a_{1} + a_{4}} =$ ．

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17、已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x}$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值点为 $- \frac{1}{e^{2}}$ B、 $f^{'} (- 2) = 0$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 2)$ D、若函数 $g (x) = f (x) - a$ 有两个不同的零点，则 $a \in (- \frac{1}{e^{2}}, + \infty)$

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18、下面是关于公差 $d > 0$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的四个命题，其中正确的有（）

A、数列 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{2 a_{n} - 1\}$ 是等差数列 C、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是递增数列 D、数列 $\{a_{n} + 3 n d\}$ 是递增数列

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19、下列说法中正确的有（）

A、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $4^{3}$ 种报名方法 B、4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 $3^{4}$ 种报名方法 C、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $4^{3}$ 种可能结果 D、4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获得），共有 $3^{4}$ 种可能结果

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20、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $x f^{'} (x) - f (x) < 0$ ，且 $f (2) = 2$ ，则 $f (e^{x}) - e^{x} > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty, ln 2)$ B、 $(ln 2, + \infty)$ C、 $(0, e^{2})$ D、 $(e^{2}, + \infty)$

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