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相关试卷

1、在平面直角坐标系中，已知 $⊙ O$ 是以原点O为圆心，半径长为3的圆，角 $x (rad)$ 的终边与 $⊙ O$ 的交点为P，则点P的纵坐标y关于x的函数解析式 $y =$ ．

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2、设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如， $[- 3.5] = - 4, [2.1] = 2$ ．已知函数 $f (x) = x - [x]$ ，下列选项正确的有（）

A、 $f (- x) = f (x)$ B、 $f (x) = f (x + 1)$ C、当 $x \in (0,1)$ 时， $f (x) + f (- x) = 1$ D、方程 $f (x) - |lg x| = 0$ 在实数范围内有9个不同的实数根

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3、已知函数 $f (x) = \cos (3 x + φ) (- \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5π}{24}, \frac{π}{24})$ 单调递增 B、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, π)$ 内有4个零点 C、点 $(- \frac{π}{4}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{5π}{8}]$ 上的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、已知集合 $A = \{(x, y) | 3 x - y = 0\}$ ， $B = \{(x, y) | x - y = 0\}$ ， $C = \{(x, y) | 3 x - y = 4\}$ ， $D = \{(x, y)| \{\begin{array}{l} 2 x - y = 1 \\ x + 2 y = 3 \end{array}\}$ ，下列选项正确的有（）

A、 $A \cap B = \{0\}$ B、 $A \cap C = \emptyset$ C、 $B \cap C = (2, 2)$ D、 $D \subseteq B$

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的奇函数，且满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ．若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ （）

A、0 B、2 C、2024 D、2025

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6、某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为 $P = P_{0} \cdot e^{- k t}$ （其中 $P_{0}$ ， k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（）
（本题参考数据： $\ln 0.5 \approx - 0.693, \ln 0.9 \approx - 0.105$ ）

A、 $6h$ B、 $10h$ C、 $11h$ D、 $33h$

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7、在下列区间中，方程 $e^{x} + 3 x - 2 = 0$ 的解所在的区间为（）

A、 $(- \frac{1}{3}, 0)$ B、 $(0, \frac{1}{3})$ C、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$

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8、已知 $\frac{\sin α + \cos α}{\sin α - \cos α} = 3$ ，则 $\sin α \cos α =$ （）

A、 $\frac{4}{17}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\pm \frac{4}{17}$ D、 $\pm \frac{2}{5}$

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9、设命题 $p :$ 三角形的内角和为 $180 °$ ，则p的否定为（）

A、所有三角形的内角和都不为 $180 °$ B、有的三角形的内角和为 $180 °$ C、存在三角形的内角和不为 $180 °$ D、三角形的内角和不为 $180 °$

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10、下列命题是真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} < \frac{b}{c - b}$ D、若 $a < b < c < 0$ ，则 $\frac{a + c}{b + c} < \frac{a}{b}$

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11、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 6 \leq 0\}$ ， $B = \{x | \frac{x - 1}{x - 5} \leq 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 5)$ B、 $[1, 3]$ C、 $[1, 5)$ D、 $[- 2, 1] \cup [3, 5)$

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12、已知复数 $z = 3 + m i$ ，其中 $m \in R$ ．

(1)、设 $z_{1} = (1 + 3 i) z$ ，若 $z_{1}$ 是纯虚数，求实数m的值；

(2)、设 $m = - 1$ ，分别记复数 $z 、 z^{2}$ 在复平面上对应的点为A、B，求 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 的夹角余弦值以及 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量．

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13、已知 $z = \frac{a - 2 i}{i} (a \in R) ，$ 则（）

A、z有可能为实数 B、z不可能为纯虚数 C、 $|z|$ 的最小值为1 D、若z在复平面内所对应的点在第三象限，则 $a > 0$

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14、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $O$ 为 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $A A_{1} = 2, ∠ C_{1} C B = ∠ C_{1} C D, ∠ C_{1} C O = 45 °$ ．

(1)、证明： $C_{1} O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - A A_{1} - D$ 的正弦值．

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15、四个顶点的 $x, y, z$ 坐标均为整数的正四面体体积的最小值为（）．

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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16、 $f (x)$ 和 $g (x)$ 都是定义在 $R$ 上的函数，若它们满足如下性质：① $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数；② $f (x) + g (x) = a^{x}$ （ $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）；则称 $f (x)$ 为类正弦函数， $g (x)$ 为类余弦函数.

(1)、求类正弦函数和类余弦函数的解析式；

(2)、求证：
（ⅰ） $f (2 x) = 2 f (x) g (x)$ ；
（ⅱ） $g (2 x) = 2 {[g (x)]}^{2} - 1$ ；

(3)、解关于 $x$ 的不等式： $g (2 x) - (b + \frac{1}{b}) g (x) + \frac{3}{2} \leq 0$ ，其中 $b$ 为非零常数.

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17、已知函数 $f (x) = \log_{2} x$ ， $g (x) = 4^{x} - a \cdot 2^{x}$ ， $a \in R$ ， $h (x) = x + \frac{3}{x}$ ；

(1)、当 $x \in [2, 4]$ 时，求函数 $h [f (x)]$ 的值域；

(2)、当 $x \in [1, 3]$ 时， $g (x) + a - 2 \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在 $x_{1} \in [2, 4]$ ，使得不等式 $h [f (x_{1})] \geq |g (x_{2}) - g (x_{3})|$ 对任意 $x_{2}$ ， $x_{3} \in [0, 1]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \sin 2 x \cos θ - \cos 2 x \cos (\frac{π}{2} - θ)$ （ $0 < θ < \frac{π}{2}$ ），且 $|f (\frac{π}{3})| = 1$ .

(1)、求 $θ$ 的值及 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则求不等式 $g (x) + g (2 x - \frac{π}{2}) > 0$ 的解集

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19、已知 $A = \{x |\frac{4 - x}{x} > 1\}$ ， $B = \{x |2 m - 1 < x < m + 1, m \in R\}$

(1)、若 $m = 0$ ，求 $(∁_{R} A) \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，则求实数m的取值范围.

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20、（1）计算： ${(\frac{8}{27})}^{- \frac{1}{3}} + 10^{\lg 2} + \log_{\frac{1}{9}} \sqrt{3} + \log_{5} 16 \cdot \log_{2} \sqrt{5}$ ；
（2）已知 $\frac{3 π}{4} < α < π$ ， $\tan α + \frac{1}{\tan α} = - \frac{5}{2}$ ，求 $2 \sin^{2} α - \sin α \cos α - 3 \cos^{2} α$ 的值..

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