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相关试卷

1、已知 $\frac{π}{2} < β < α < \frac{3 π}{4}$ ， $\cos (α - β) = \frac{12}{13}$ ， $\sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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2、已知函数 $f (x) = a - \frac{1}{2^{x} - 1} (a \in R)$ 为奇函数，则实数 $a$ 的值为.

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3、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{4}, - \frac{π}{4})$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $x = \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 的极大值点

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4、已知 $\tan α = 2 \tan β$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\tan α = \tan 2 β$ ，则 $\tan α = \tan β = 0$ B、若 $\sin α \cos β = \frac{2}{5}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) = \frac{7}{25}$ C、若 $α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan (α - β)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\exists α$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，使得 $α = 2 β$

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5、如果关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 a x + b - 1 > 0$ 的解集为 $\{x ∣ x \neq a\}$ ，那么下列数值中， $b$ 可取到的数为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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6、已知直线 $x = x_{1}, x = x_{2}$ 是函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{6}), (ω > 0)$ 图象的任意两条对称轴，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 的单调递增区间是（）

A、 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}], k \in Z$ B、 $[k π - \frac{π}{3}, k π + \frac{π}{6}], k \in Z$ C、 $[2 k π + \frac{π}{3}, 2 k π + \frac{4 π}{3}], k \in Z$ D、 $[2 k π - \frac{π}{12}, 2 k π + \frac{5 π}{12}], k \in Z$

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7、已知 $f (x) = \frac{a^{x} + b}{a^{x} - b}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）是 $R$ 上的奇函数，且 $f (1) = \frac{1}{3}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、把区间 $(0, 2)$ 等分成 $2 n$ 份，记等分点的横坐标依次为 $x_{i}, i = 1, 2, 3, \dots, 2 n - 1$ ， $g (x) = \frac{5}{4} - \frac{2}{2^{x - 1} + 1}$ ，记 $F (n) = g (x_{1}) + g (x_{2}) + g (x_{3}) + \dots + g (x_{2 n - 1}) (n \in N^{*})$ ，是否存在正整数n，使不等式 $\frac{f (2 x)}{f (x)} \geq F (n)$ 有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由；

(3)、函数 $f (x)$ 在区间 $[m, n] (m < n)$ 上的值域是 $[\frac{k}{2^{m}}, \frac{k}{2^{n}}] (k \in R)$ ，求 $\frac{k}{a}$ 的取值范围．

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 2$ ， $E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $P A / /$ 面 $E D B$ ；

(2)、求平面 $C P B$ 与平面 $P B D$ 的夹角的大小；

(3)、求点 $B$ 到平面 $E F D$ 的距离．

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9、若 $a = \frac{\ln 2}{2}$ ， $b = \frac{1}{e}$ ， $c = \frac{\ln 3}{3}$ ，则以下不等式正确的是（）

A、 $c > b > a$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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10、已知函数 $f (x) = a \sin x$ ， $a \in Z$ .若 $y = f (f (x))$ 的零点恰为 $y = f (x)$ 的零点，则a的最大值是.

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11、已知抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，斜率为1的直线l过F与C交于A，B两点，AB的中点到抛物线准线的距离为8，则 $p =$ ．

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12、已知平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, x)$ ，则（）

A、当 $x = 2$ 时， $\vec{a} + \vec{b} = (- 1, 4)$ B、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x = - 1$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = 1$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x \in (- \infty, - 4) \cup (- 4, 1)$

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13、在斜三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, b = 4, 4 \sqrt{6} a sin 2 C = 3 (a^{2} + b^{2} - c^{2}) sin B$ ，点 $O$ 满足 $2 \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 0$ ，且 $cos ∠ C A O = \frac{1}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{15}$ B、 $4 \sqrt{15}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $\frac{3 \sqrt{15}}{2}$

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14、已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0.$
（1）当 $a = - \frac{3}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）对任意 $x \in [\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a},$ 求 $a$ 的取值范围.
注： $e = 2.71828...$ 为自然对数的底数.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n}, n \geq 1$ ．

(1)、写出数列 $\{a_{n}\}$ 的前三项 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、证明：对任意的整数 $m > 4$ ，有 $\frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{m}} < \frac{7}{8}$ ．

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16、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l$ ： $y = - x + 3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；
（Ⅱ）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l^{'}$ 平行于 $O T$ ，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ ，证明：存在常数 $λ$ ，使得 $| P T |^{2} = λ | P A | \cdot | P B |$ ，并求 $λ$ 的值．

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17、水稻苗经过一个培育周期的生长株高达到8cm左右时最适宜播种，过高或过低都会影响后期的生产管理.根据长期的试验观察，在正常的培育环境下水稻苗经过一个培育周期生长的株高服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，并且符合 $3 σ$ 原则.为了监控水稻苗的生长状况，检验员会从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取20株，并测量其株高(单位：cm).

(1)、把株高在 $(μ - 3 σ, μ + 3 σ)$ 之外的水稻苗称作异常苗，记 $ξ$ 表示异常苗的数量，求 $ξ$ 可能取值的个数、 $P (ξ = 1)$ 及 $E ξ$ .

(2)、监控部门要求，如果在抽取的水稻苗中出现了异常苗，就认定这个培育周期的培育环境出现了异常情况，需要对培育环境进行检查和修正.
（ⅰ）监控部门的要求合理吗？请说明理由.
（ⅱ）下面是检验员从经过了一个培育周期的水稻苗中随机抽取的20株水稻苗的株高：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
株高/cm
7.98
8.01
8.00
8.03
7.99
7.83
7.99
8.28
7.05
7.69
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
株商/cm
8.00
8.41
7.75
8.38
7.72
7.69
8.04
8.29
7.82
8.05
其中， $\hat{μ} = \frac{1}{20} \sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 7.95, \hat{σ} = \sqrt{\frac{1}{20} {\sum_{i = 1}^{20} (x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{20} (\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} - 20 {\bar{x}}^{2})} \approx 0.294, x_{i}$ 为抽取的第 $i$ 株水稻苗的株高， $i = 1, 2, ..., 20$ .请判断是否需对这个培育周期的培育环境进行检查和修正？若要修正，剔除异常苗的株高，求余下的数据估计 $μ$ 和 $σ$ (精确到0.01).
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974$ ， ${0.9974}^{20} \approx 0.9493, {0.9974}^{19} \approx 0.9517$ $, \sqrt{0.004} \approx 0.06$

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18、如图，平面 $P C B M ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ P C B = 90 ° ， P M ∥ B C$ ，直线AM与直线PC所成的角为 $60 °$ ，又 $A C = 1, B C = 2 P M = 2, ∠ A C B = 90 °$ ．

(1)、求证： $A C ⊥ B M$ ；

(2)、求二面角 $M - A B - C$ 的大小；

(3)、求多面体 $P M A B C$ 的体积．

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19、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - x$ ，若存在 $t \in R$ ，使得 $| f (t + 2) - f (t) | \leq \frac{2}{3}$ ，则实数 $a$ 的最大值是.

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20、已知 ${(x^{\frac{3}{2}} + x^{- \frac{1}{3}})}^{n}$ 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中 $x^{5}$ 的系数是．（以数字作答）

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
株高/cm	7.98	8.01	8.00	8.03	7.99	7.83	7.99	8.28	7.05	7.69
编号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
株商/cm	8.00	8.41	7.75	8.38	7.72	7.69	8.04	8.29	7.82	8.05