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相关试卷

1、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4，点E满足 $D E = 3 E A$ ，点F是 $C C_{1}$ 的中点，点G满足 $D G = \frac{3}{5} G D_{1}$ .

(1)、求证：B、E、G、F四点共面；

(2)、求平面 $E F G$ 与平面 $A_{1} E F$ 夹角的余弦值.

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2、已知 $A (- 1, 2)$ ，以点 $A$ 为圆心的圆被 $y$ 轴截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求圆 $A$ 的方程；

(2)、若过点 $B (1, - 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $A$ 相切，求直线 $l$ 的方程.

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3、数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点A，B距离之比是常数 $λ$ （ $λ > 0$ ， $λ \neq 1$ ）的点M的轨迹是圆，已知两定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，动点M满足 $| M A | = \sqrt{2} | M B |$ ，则点M的轨迹方程为；若圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ 上存在满足条件的点M，则半径r的取值范围为

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4、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 1, 0)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (2, 2, - 1)$ 到直线l的距离为

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5、方程 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x - 3 y + m = 0$ 表示圆，则实数 $m$ 的取值范围为．

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6、已知圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 与直线 $x + m y - m - 2 = 0$ ，下列选项正确的是（）

A、圆的圆心坐标为 $(1, 2)$ B、直线过定点 $(2, 1)$ C、直线与圆相交且所截最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、直线与圆可以相切

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7、已知 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 0)$ ， $\vec{c} = (1, x, y)$ ，则（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b} = (0, 1, 2)$ B、 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ C、若 $\vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则 $x = 2$ D、若 $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $x = - \frac{1}{2}$ ， $y = 0$

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8、已知直线 $l_{1} : m x + y = 0$ 恒过定点A，直线 $l_{2} : x - m y - 2 = 0$ 恒过定点B，且直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于点P，则点P到点 $(0, 2 \sqrt{2})$ 的距离的最大值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、2

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9、已知点B是点 $A (3, 4, 5)$ 在坐标平面 $O x y$ 内的射影，则 $| \vec{O B} | =$ （）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{41}$ C、5 D、 $2 \sqrt{5}$

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10、直线 $\sqrt{2} x - \sqrt{6} y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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11、已知函数 $f (x) = 4 \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0)$ 图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为 $5$ ，则 $f (- \frac{6 φ}{π}) =$ （）

A、0 B、 $2 φ$ C、4 D、 $φ^{2}$

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12、某个软件公司对软件进行升级，将序列 $A = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots)$ 升级为新序列 $A * = (a_{2} - a_{1}, a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{3}, \dots)$ ， $A *$ 中的第 $n$ 项为 $a_{n + 1} - a_{n}$ ，若 $(A *) *$ 的所有项都是3，且 $a_{4} = 11$ ， $a_{5} = 18$ ，则 $a_{1} =$ .

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 和圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、求圆O与圆C的外公切线的长；

(2)、过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设 $D (\frac{16}{5}, \frac{8}{5})$ ．
①求 $\frac{| P O |}{| P D |}$ 的值；
②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} - a x - a)$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a > - 2$ 时，研究 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $a \geq 0$ ，当 $x = x_{1}$ 时，函数 $f (x)$ 有极大值m；当 $x = x_{2}$ 时， $f (x)$ 有极小值n，求 $m - n$ 的取值范围.

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15、设直线 $l_{1}$ ： $a x + 3 y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x + (a - 2) y + a = 0$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} = 9$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $a = 3$ 或-1 B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{3}{2}$ C、 $l_{2}$ 恒过定点 $(- 2, - 1)$ D、 $l_{2}$ 被圆C截得的弦长最小值为4

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ ， $x \in (0, + \infty)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x \ln x - 1$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ；
（i）求 $a$ 的取值范围；
（ii）证明 $\frac{x_{2} - x_{1}}{\ln x_{2} - \ln x_{1}} < 1$ ．

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17、 $(a, b)$ 表示正整数a，b的最大公约数，若 $\{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\} \subseteq \{1, 2, \dots, m\} (k, m \in N^{*})$ ，且 $\forall x \in \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\}$ ， $(x, m) = 1$ ，则将k的最大值记为 $φ (m)$ ，例如： $φ (1) = 1$ ， $φ (5) = 4$ .

(1)、求 $φ (2)$ ， $φ (3)$ ， $φ (6)$ ；

(2)、已知 $(m, n) = 1$ 时， $φ (m n) = φ (m) φ (n)$ .
（i）求 $φ (6^{n})$ ；
（ii）设 $b_{n} = \frac{1}{3 φ (6^{n}) - 1}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{6}{25}$ .

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18、已知抛物线C：y²＝2px过点P(1，1)．过点 $(0, \frac{1}{2})$ 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．

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19、用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $α$ 的扇形，制成一个圆锥形容器，扇形的圆心角 $α$ 为多大时，容器的容积最大？

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20、（1）已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，证明： $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列；
（2）已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 15}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 取得最小值时n值．

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