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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ ， $g (x) = x^{2} + a$ ，若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为 $2 + 2 \sqrt{2}$ ，则 $a =$ ．

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2、平面内有 $n (n \geq 2)$ 条直线，其中任意两条直线都相交，任意三条直线不过同一点，设这 $n$ 条直线的交点个数为 $a_{n} =$ ．

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3、随机事件A，B相互独立，且 $P (A) = \frac{1}{5}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A + \bar{B})$ ．

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4、已知四面体ABCD中， $A B ⊥$ 面BCD， $B C ⊥ C D$ ， E、F分别是棱AC、AD上的点，且 $B E ⊥ A C$ ， $B F ⊥ A D$ .记四面体ABEF、四棱锥 $B - E C D F$ 、四面体ABCD的外接球体积分别是 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 、 $V_{3}$ ，则 $\frac{V_{1} + V_{2}}{V_{3}}$ 的值不可能是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5、已知圆 $M : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 9$ ，直线 $y = k x$ 交圆 $M$ 于 $A, B$ 两点，点 $C (6, 0)$ ，则三角形 $A B C$ 面积的最大值为（）

A、6 B、9 C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{27}{4}$

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6、已知函数 $f (x) = (x - 1) (e^{x} + a)$ 在区间 $(- 1, 1)$ 上单调递增，则a的最小值为（）

A、 $e^{- 1}$ B、 $e^{- 2}$ C、e D、 $e^{2}$

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{8} a_{9}} = \frac{8}{25}$ ，则 $a_{10} =$ （）

A、15 B、26 C、28 D、32

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8、若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的个数是（）
①平面α内的任一条直线必垂直于平面β；
②平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线；
③平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线；
④过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β；

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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9、若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则 $p =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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10、函数 $y = \log_{2} x + \cos \frac{π}{4}$ 的导数 $y^{'}$ =（）

A、 $\frac{1}{x \ln 2}$ B、 $x \ln 2$ C、 $\frac{1}{x \ln 2} - \sin \frac{π}{3}$ D、 $x \ln 2 - \sin \frac{π}{3}$

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11、对于椭圆： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，我们称双曲线： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 为其伴随双曲线．已知椭圆 $C :$ $\frac{y^{2}}{3} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $0 < b < \sqrt{3}$ ），它的离心率是其伴随双曲线 $Γ$ 离心率的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍．

(1)、求椭圆 $C$ 伴随双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、如图，点 $E$ ， $F$ 分别为 $Γ$ 的下顶点和上焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 上支交于 $A$ ， $B$ 两点，设 $△ A B O$ 的面积为 $S$ ， $∠ A O B = θ$ （其中 $O$ 为坐标原点）．若 $△ A B E$ 的面积为 $6 + 3 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{S}{\tan θ}$ ．

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12、如图1，四边形ABCD是等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点， $A D = 2 B C = 2 E F = 4$ ．将四边形ABFE沿着EF折起到四边形 $A_{1} B_{1} F E$ 处，使得 $A_{1} C = 3$ ，如图2，G在 $A_{1} E$ 上，且 $\vec{A_{1} E} = 3 \vec{A_{1} G}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C //$ 平面DFG；

(2)、求平面DFG与平面 $A_{1} C D$ 夹角的余弦值

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x + 1 (x \in R)$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $a = \sqrt{3}$ ， $A$ 为锐角，且 $f (A + \frac{π}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积 $S$ 的最大值．

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14、《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中 $P D ⊥$ 平面ABCD，若 $D E ⊥ P A$ ， $D F ⊥ P B$ ， $D G ⊥ P C$ ，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为．

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15、函数 $f (x) = \sin x - 2 | \sin x |, x \in [0, 2 π]$ 的图像与直线 $y = k$ 有且仅有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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16、若复数z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则|z|＝.

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17、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $S_{n}$ 是其前n项和，满足 $a_{3} = 2 a_{1} + a_{2}$ ，则下列说法正确的有（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是正项数列，则 $\{a_{n}\}$ 是单调递增数列 B、 $S_{n}, S_{2 n} - S_{n}, S_{3 n} - S_{2 n}$ 一定是等比数列 C、若存在 $M > 0$ ，使 $|a_{n}| \leq M$ 对 $\forall n \in N^{+}$ 都成立，则 $\{| a_{n} |\}$ 是等差数列 D、若 $a_{n} > 0$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{100}$ ， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{n}$ ，则 $n = 7$ 时 $T_{n}$ 取最小值

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18、下列命题中，正确的有（）

A、 $x + \frac{4}{x}$ 最小值是4 B、“ $a > 1$ ”是 $a^{2} > a^{}$ 的充分不必要条件 C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若a， $b \in R^{*}$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为9

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19、已知函数 $g (x) = x e^{2 x} - m x - \ln x$ ，（其中 $e$ 是自然对数的底数），若 $g (x) \geq 1$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上恒成立，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$ B、 $(- \infty, \frac{2}{e^{2}}]$ C、 $(- \frac{1}{e}, 2]$ D、 $(- \infty, 2]$

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20、若 $a = 2 \ln 1.1$ ， $b = 0.21$ ， $c = \tan 0.21$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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