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相关试卷

1、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B$ ， $A C$ ， $A D$ 两两互相垂直，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = 2$ ， $A D = 2$ ，若三棱锥 $A - B C D$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $32 π$ B、 $16 π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $\frac{16}{3} π$

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $M$ ， $N$ 满足 $\vec{A M} = \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 3 \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

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3、若 $α$ 为第二象限角且 $\cos α = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$

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4、已知复数 $z$ 满足 $(1 - 2 i) z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、2 C、1 D、 $\sqrt{5}$

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5、不等式 $(x^{2} - a x - 1) (x - b) \geq 0$ 对任意 $x > 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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6、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - A A_{1} D$ 的体积为定值 $\frac{4}{3}$ B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F //$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\sqrt{5}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ 的点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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7、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 (a_{n} - 1)$ .

(1)、求证：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，并求其通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{a_{n}}{(a_{n} + 1) (a_{n + 1} + 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < \frac{1}{3}$ .

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8、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，则向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \vec{a}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a}$ C、 $- \vec{b}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{b}$

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若最多存在 $n$ 个实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n} \in D$ ， $(x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n})$ ，使得 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = \dots = f (x_{n})$ ， $(n \geq 2, n \in N^{*})$ ，则称函数 $f (x)$ 为“ $n$ 级 $E$ 函数”.

(1)、函数① $f (x) = x^{- 2}$ ， ② $g (x) = \frac{1}{x}$ 是否为“ $n$ 级 $E$ 函数”，如果是，求出 $n$ 的值，如果不是，请说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = |x^{2} - 3 x + t|$ ，求 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}$ 的值；

(3)、若函数 $f (x) = x^{2} + x |x + a| (a > 0)$ ，求 $\frac{x_{1}}{x_{2}} + x_{1}$ ， $(x_{2} \neq 0)$ 的取值范围.（用 $a$ 表示）

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10、设函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0, b, c \in R)$ .

(1)、若 $f (1) = - a$ ，求证： $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 内存在零点；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 的解集是 $(- 2, - 1)$ ，且 $x \in [1, 2]$ 时， $f (2^{x}) \leq 4^{x}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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11、设奇函数 $f (x) = \ln |\frac{2 e}{x + 1} - e| + b$ ，（ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $f (x)$ 的定义域和 $b$ ；

(2)、 $x \in (\frac{1 - e}{1 + e}, 1)$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

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12、若函数 $f (x) = a^{a x + \frac{1}{x}}$ ，（ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）在区间 $(\frac{1}{2}, 2)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是

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13、已知 $f (x) = |lg x|$ ，若 $f (a) = f (b)$ ， $(a < b)$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为.

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14、已知集合 $A = \{1, 3, m^{2}\}$ ， $B = \{1, m + 2\}$ ，若 $A \cup B = A$ ，则实数 $m$ 的值为.

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15、若函数 $f (x) = x |x| + a x + b$ ，当 $x \in [- 2, 2]$ 时， $f (x)$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $m$ ；则下列说法正确的是（）

A、 $M - m$ 的值与 $b$ 无关 B、 $M - m$ 的值与 $a$ 无关 C、函数 $f (x)$ ， $x \in R$ 至少有一个零点 D、函数 $f (x)$ ， $x \in R$ 至多有三个零点

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16、波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为 $[0, 1]$ ，其解析式为： $R (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q} (p, q 为正整数且 p, q 互质) \\ 0, x = 0 或 1 或 (0, 1) 内的无理数 \end{array}$ ，下列关于黎曼函数的说法正确的是（）

A、 $R (\frac{6}{7}) = \frac{1}{7}$ B、 $R (a) R (b) \leq R (a b)$ ， $a$ ， $b \in [0, 1]$ C、 $R (x)$ 的值域为 $[0, \frac{1}{2}]$ D、 $y = R (x + \frac{1}{2})$ 为偶函数

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17、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ， $c < d < 0$ ，则 $a c < b d$ C、若 $0 > c > a > b$ ，则 $\frac{a}{c - a} > \frac{b}{c - b}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$

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18、若集合 $A = {(m, n) ∣ m \leq - 2, 0 < n \leq t}$ 时， $\forall (m, n) \in A$ ，均有 $m {log}_{4} n - n - 3 m \geq 0$ 恒成立，则 $t$ 的最大值为（）

A、1 B、4 C、16 D、64

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $y = f (x) - 2 e^{x} - 1$ 是奇函数， $y = f (x) - 4 e^{- x}$ 为偶函数，（ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \dots$ ），则 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $\frac{3}{e} - e + 1$ D、 $3 e + 1 - \frac{1}{e}$

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20、图（1）是某条公共汽车线路收支差额 $y$ 关于乘客量 $x$ 的图象
由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（）

A、（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价. B、（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价. C、（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变. D、（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变.

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