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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x + \frac{1}{3} \sin 3 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 C、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $|f (x)| \leq 3 |x|$

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2、下列说法中，正确的有（）

A、具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 2) = 0.3$ C、数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D、若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数

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3、如果数列 $\{a_{n}\}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ，都有 $a_{n + 2} + a_{n} > 2 a_{n + 1}$ 成立，则称 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”.若数列 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”，且任意项 $a_{n} \in Z$ ， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{k} = 2025$ ，则正整数k的最大值为（）

A、62 B、63 C、64 D、65

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4、若函数 $f (x) = a e^{x} - x^{3}$ 在区间 $(1, 3)$ 上单调递增，则实数a的最小值为（）

A、 $\frac{3}{e}$ B、 $\frac{12}{e^{3}}$ C、 $\frac{12}{e^{2}}$ D、 $\frac{27}{e^{3}}$

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5、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，点 $F (- 1, 0)$ ，若直线 $x + λ y - 1 = 0$ （ $λ \in R$ ）与椭圆E交于A，B两点，则 $△ A B F$ 的周长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $4 \sqrt{3}$ D、8

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6、 ${(1 - 2 x)}^{7}$ 的展开式的第4项系数是（）

A、 $- 280$ B、280 C、 $- 560$ D、560

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7、已知 $\tan α = \frac{4}{3}$ ，则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{12}{25}$

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8、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 15$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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9、若复数z满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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10、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ， $B = \{x |x \geq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $(2, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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11、为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $- 1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $- 1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_{i} (i = 0, 1, \dots, 8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0} = 0$ ， $p_{8} = 1$ ， $p_{i} = a p_{i - 1} + b p_{i} + c p_{i + 1}$ $(i = 1, 2, \dots, 7)$ ，其中 $a = P (X = - 1)$ ， $b = P (X = 0)$ ， $c = P (X = 1)$ ．假设 $α = 0.5$ ， $β = 0.8$ ．
(i)证明： ${p_{i + 1} - p_{i}}$ $(i = 0, 1, 2, \dots, 7)$ 为等比数列；
(ii)求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性．

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

(2)、若 $2 a - 1 \leq f (x)$ 对 $\forall x \in [- 2, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点坐标为 $F (1, 0)$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求 $| A B |$ ．

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14、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 4$ ， $C C_{1} = 4 \sqrt{2}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、证明： $B M ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求 $M B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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15、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 1, a_{4} = 3$ ，则 $a_{3} =$ ．

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16、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 3$ ，则下列正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $3$ B、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为 $6$ C、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、 $2^{x + 1} + 4^{y} \geq 4$

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17、若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $E (X) = \frac{2}{3}$ B、 $E (3 X - 1) = 2$ C、 $D (X) = \frac{2}{9}$ D、 $D (3 X - 1) = 2$

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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19、从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（）

A、504种 B、729种 C、84种 D、27种

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20、甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，则密码被破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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