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相关试卷

1、 $y = sin (\frac{π}{2} + sin x)$ 的奇偶性是（）

A、偶函数 B、奇函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

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2、2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为 $2 α$ ，截面与圆锥的轴所成角为 $β$ 时，则截口曲线的离心率 $e = \frac{cos β}{cos α}$ ，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥 $S O$ ，轴截面 $S A B$ 为等边三角形， $\vec{S M} = \frac{1}{3} \vec{S B}$ .

(1)、当过 $M$ 的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥 $S O$ 的底面与截面圆之间的部分的体积；

(2)、过 $M$ 的平面截圆锥得到一个椭圆 $E$ ，截面与 $S O$ 交于点 $Q$ ，与 $S A$ 交于点 $N$ ， $R$ 为椭圆 $E$ 上一点， $R Q$ 与 $A B$ 垂直且与圆锥底面平行， $|R Q| = \frac{4}{3}$ .
①判断 $M N$ 是否为椭圆的长轴，并说明理由；
②判断 $Q$ 是否为椭圆的焦点，并说明理由.

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3、已知圆心为 $M$ 的动圆与 $⊙ C_{1}$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 外切，与 $⊙ C_{2}$ ： $x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 81$ 内切.

(1)、求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $N (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ 的直线与 $M$ 的轨迹交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $N$ 为线段 $A B$ 的中点，求坐标原点 $O$ 关于直线 $A B$ 的对称点 $P$ 的坐标.

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4、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为6的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 为 $C D$ 中点.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正弦值.

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5、已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标 $(5, 0)$ ，且离心率 $e = \frac{5}{3}$ .

(1)、求双曲线的标准方程和渐近线方程；

(2)、过双曲线右焦点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ .

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6、如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度）

(1)、求该玻璃罩外壁的面积；

(2)、若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？

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7、三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，面 $P A B ⊥$ 面 $A B C$ ， $P A = P B = \sqrt{17}$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A C$ 所在直线为旋转轴将 $△ A B C$ 旋转，则在旋转过程中， $| P B |$ 的取值范围是.

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8、与双曲线 $x^{2} - 8 y^{2} = 8$ 有共同焦点，且经过点 $(0, 4)$ 的椭圆的标准方程是.

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9、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点 $M$ 与焦点的距离等于6，且 $M$ 在第一象限内，则 $M$ 的坐标是.

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10、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两垂直， $P A = 3$ ， $P B = P C = 4$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的内切球 $O_{1}$ （球心 $O_{1}$ 到各个面距离相等）半径为 $r$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球 $O_{2}$ （球心 $O_{2}$ 到各顶点距离相等）半径为 $R$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为 $S$ ，体积为 $V$ ，则（）

A、 $S = 20 + 2 \sqrt{34}$ B、 $R = \frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $r = \frac{20 - 2 \sqrt{34}}{11}$ D、 $V = 24$

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11、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 在线段 $C D_{1}$ 上，则（）

A、当 $E$ 为 $C D_{1}$ 中点时， $A E$ 与 $B B_{1}$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、当 $E$ 为 $C D_{1}$ 中点时， $A E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、三棱锥 $A - E B B_{1}$ 的体积为定值 D、 $A E + B_{1} E$ 的最小值是 $4 \sqrt{6}$

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12、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，左焦点 $F_{1}$ ，右焦点 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上且不在 $x$ 轴上的一点，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围是 $(0, 4)$ B、当焦距为4时，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、当离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{2}$ D、当长轴长为 $4 \sqrt{2}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值为4

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13、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $A (2, 0)$ ， $B (1, \frac{3}{2})$ ，过点 $P (2, 1)$ 的直线交椭圆于 $E$ 、 $F$ 两点，过点 $E$ 且平行于 $y$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $Q$ ，点 $E$ 关于点 $Q$ 的对称点为 $N$ ，则直线 $N F$ 一定过点（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 3 - \sqrt{6})$ D、 $(2, 0)$

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14、过点 $(- 2, - 4)$ 的直线与曲线 $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ 有交点，则直线的斜率范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[\frac{6 - \sqrt{6}}{4}, \frac{6 + \sqrt{6}}{4}]$ C、 $[1, \frac{6 + \sqrt{6}}{4}]$ D、 $[\frac{6 - \sqrt{6}}{4}, 2]$

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, - 3)$ ， $\vec{b} = (3, 1, x)$ ， $\vec{c} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - 2 \vec{c}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, - 1, 0)$ B、 $(2 \sqrt{2}, 0, - 3 \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2}, 0)$ D、 $(\frac{2 \sqrt{2}}{13}, 0, \frac{- 3 \sqrt{2}}{13})$

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16、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、3

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17、已知点 $A (1, 0)$ ，点 $B$ 为直线 $x - y + 1 = 0$ 上动点，则 $A$ 、 $B$ 两点间距离的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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18、空间中三条不同的直线 $l$ ， $m$ ， $n$ 和平面 $α$ 满足 $l ⊄ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则下面结论正确的是（）

A、若 $l ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l ⊥ n$ 且 $l ⊥ m$ ，则 $m ∥ n$

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19、直线 $y = k x$ 倾斜角为 $135 °$ ，且过点 $P (\sqrt{3}, a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 3$ D、3

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20、已知抛物线 $Γ$ ： $y = x^{2}$ .

(1)、若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $Γ$ 上一点，证明：抛物线 $Γ$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $\frac{1}{2} (y_{0} + y) = x_{0} x$ ；

(2)、设 $E$ ， $F$ 是抛物线 $Γ$ ： $y = x^{2}$ 上两点，过点 $E$ ， $F$ 分别作 $Γ$ 的切线交于点 $C$ ，点 $A$ ， $B$ 分别在线段 $E C$ ， $C F$ 的延长线上，直线 $A B$ 与抛物线 $Γ$ 相切于点 $G$ .
（i）证明： $\frac{| E C |}{| C A |} = \frac{| C F |}{| F B |} = \frac{| A B |}{| B G |}$ ；
（ii）记 $△ E F G$ ， $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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