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相关试卷

1、如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线，若原正三角形边长为1，记第n个图形的边数为 $a_{n}$ ，第n个图形的边长为 $b_{n}$ ，第n个图形的周长为 $L_{n}$ ，第n个图形的面积为 $S_{n}, n \in N^{*}$ ．则下列命题正确的是（）

A、 $a_{n} = 3 \times 4^{n - 1}$ B、 $S_{3} = \frac{40}{27} S_{1}$ C、 $b_{4} = \frac{1}{81}$ D、数列 $\{L_{n}\}$ 的前n项和为 $\frac{4^{n}}{3^{n - 2}} - 9$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m$ （m为正整数）， $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, 当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1, 当 a_{n} 为奇数时 \end{cases}$ ，若 $a_{6} = 1$ ，则m可能的取值有（）

A、3 B、4 C、5 D、32

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示．则对于任意 $x_{1}, x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，下列结论正确的是（）

A、 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ B、 $\frac{f^{'} (x_{1}) - f^{'} (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ C、 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ D、 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < \frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2}$

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4、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 2 n - 1$ ，前12项和为164，则 $a_{1}$ 的值为（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = n^{2} + 3 n$ ，若首项为 $\frac{1}{2}$ 的数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{b_{n + 1}} - \frac{1}{b_{n}} = a_{n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前2024项和为（）

A、 $\frac{1012}{2023}$ B、 $\frac{2025}{2024}$ C、 $\frac{2023}{2024}$ D、 $\frac{2024}{2025}$

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6、如图是函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ 的大致图象，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、2 D、 $\frac{8}{3}$

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7、已知函数 $y = x f^{'} (x)$ 的图象如下图所示（其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），下面四个图象中 $y = f (x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（）

A、 $1 : 3$ B、 $2 : 3$ C、 $3 : 2$ D、 $4 : 5$

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9、记等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}, a_{3} + a_{7} = 6, a_{10} = 13$ ，则 $S_{14} =$ （）

A、98 B、112 C、126 D、140

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10、对函数 $y = \log_{\frac{1}{2}} x + e^{2 x}$ 求导正确的是（）

A、 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2} + e^{2 x}$ B、 $y^{'} = \frac{1}{x \ln 2} + 2 e^{2 x}$ C、 $y^{'} = \frac{1}{- x \ln 2} + e^{2 x}$ D、 $y = \frac{1}{- x \ln 2} + 2 e^{2 x}$

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11、已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 6\}, B = \{x| a < x < b\}$ ，其中 $a, b (a < b)$ 是关于 $x$ 的方程 $(x - 3 m) (x + m) = 0 (m > 0)$ 的两个不同的实数根.

(1)、若 $A = B$ ，求出实数 $m$ 的值；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、如图，已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}, A C = A A_{1}$ ， E，F分别是棱 $B C, A_{1} C_{1}$ 上的点．记 $E F$ 与 $A A_{1}$ 所成的角为 $α$ ， $E F$ 与平面 $A B C$ 所成的角为 $β$ ，二面角 $F - B C - A$ 的平面角为 $γ$ ，则（）

A、 $α \leq β \leq γ$ B、 $β \leq α \leq γ$ C、 $β \leq γ \leq α$ D、 $α \leq γ \leq β$

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13、已知函数 $f (x) = cos 3 x - cos 2 x$ ， $x \in (0, π)$ ，若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则（）

A、 $\frac{π}{5} \in {x_{1}, x_{2}}$ B、 $x_{2} = 3 x_{1}$ C、 $\cos x_{1} + \cos x_{2} = \frac{1}{2}$ D、 $\cos x_{1} \cos x_{2} = - \frac{1}{4}$

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14、直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ，且 $P A = 1$ ， $A B = 1$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ， $N$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求平面 $A B C D$ 与平面 $P B C$ 所成锐二面角的余弦值；

(2)、求点 $N$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、在线段 $P D$ 上，是否存在一点 $M$ ，使得直线 $C M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出 $\frac{D M}{D P}$ 的值：若不存在，请说明理由.

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 120 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $A A_{1} = 6$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点.
（1）证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；
（2）求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的余弦值.

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17、某市教育局为了了解高三学生体育课达标情况，在某学校的高三学生体育课达标成绩中随机抽取50个进
行调研，按成绩分组：第1组 $[75, 80)$ ，第2组 $[80, 85)$ ，第3组 $[85, 90)$ ，第4组 $[90, 95)$ ，第5组 $[95, 100)$ ，得到的频率分布直方图如图所示：
若要在成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查．
（1）已知学生甲和学生乙的成绩均在第五组，求学生甲或学生乙被选中复查的概率；
（2）在已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受篮球项目的考核，求其中一个在第三组，另一人在第四组的概率．

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18、已知空间三点 $A (- 2, 0, 2)$ ， $B (- 1, 1, 2)$ ， $C (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ .

(1)、求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 夹角的余弦值；

(2)、若 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 的夹角是钝角，求k的取值范围.

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19、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 0)$ ， $\vec{b} = (k, 0, 1)$ ，若 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60^{\circ}$ ，则 $k =$ .

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20、已知向量 $\vec{a} = (m + 1, 2, m)$ 是直线l的一个方向向量，向量 $\vec{n} = (1, m, 2)$ 是平面 $α$ 的一个法向量，若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则实数m的值为．

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