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相关试卷

1、将一实心铁球放入圆柱形容器中（厚度忽略不计），铁球恰好与圆柱的内壁相切，且铁球的最高点与圆柱上底面在同一平面内，则铁球的体积与圆柱形容器的体积之比为.

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{|x - 1|} - 1 ， 0 < x \leq 2 \\ \frac{1}{2} f (x - 2) ， x > 2 \end{array} .$ 则下列说法正确的是（）

A、当 $2 < x \leq 4$ 时， $f (x) = 2^{|x - 3| - 1} - \frac{1}{2}$ B、 $f (2 n + 1) = - {(\frac{1}{2})}^{n} (n \in N)$ C、存在 $x \in (- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ ，使得 $f (x) = 1$ D、函数 $g (x) = 4 f (x) - 1$ 的零点个数为 $10$

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3、如图，甲船从 $A_{1}$ 出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，乙船位于甲船的北偏西 $105 °$ 方向的 $B_{1}$ 处，此时两船相距 $5 \sqrt{2}$ 海里．当甲船航行12分钟到达 $A_{2}$ 处时，乙船航行到甲船的北偏西 $120 °$ 方向的 $B_{2}$ 处，此时两船相距5海里，下面正确的是（）

A、乙船的行驶速度与甲船相同 B、乙船的行驶速度是 $15 \sqrt{2}$ 海里/小时 C、甲乙两船相遇时，甲行驶了 $\frac{1 + \sqrt{2}}{3}$ 小时 D、甲乙两船不可能相遇

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4、若集合 $M$ 和 $N$ 关系的Venn图如图所示，则 $M, N$ 可能是（）

A、 $M = \{0, 2, 4, 6\}, N = \{4\}$ B、 $M = \{x ∣ x^{2} < 1\}, N = {x ∣ x > - 1}$ C、 $M = \{x ∣ y = lg x\}, N = \{y ∣ y = e^{x} + 5\}$ D、 $M = \{(x, y) ∣ x^{2} = y^{2}\}, N = \{(x, y) ∣ y = x\}$

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{3}, \vec{A D} = 2 \vec{D B}, P$ 为 $C D$ 上一点，且 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $△ A B C$ 面积是 $8 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{A P}|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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6、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6}), x \leq \frac{2π}{3} \\ \log_{\frac{1}{e}} x, \frac{2π}{3} < x \leq c \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 的值域是 $[- 2, 1]$ ，则 $c$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、 $e^{2}$ D、 $\frac{1}{e^{2}}$

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7、已知命题“ $\forall x \in [1, 4], e^{x} - \frac{2}{x} - m \geq 0$ ”为真命题，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, e - 2]$ B、 $(- \infty, e^{4} - \frac{1}{2}]$ C、 $[e - 2, + \infty)$ D、 $[e^{4} - \frac{1}{2}, + \infty)$

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{a} - \vec{b}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5 \sqrt{26}}{26}$ B、 $- \frac{5 \sqrt{26}}{26}$ C、 $\frac{\sqrt{26}}{13}$ D、 $- \frac{\sqrt{26}}{13}$

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9、已知函数 $f (x) = x + 2^{x}$ 的零点在区间 $(n ， n + 1)$ 内， $n \in Z$ ，则 $n$ 的值为（）

A、－2 B、－1 C、0 D、1

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10、已知直线 $y = k x - 2$ 与曲线 $\sqrt{1 - {(y - 1)}^{2}} = | x | - 1$ 有两个不同的交点，则实数 $k$ 的取值范围是．

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11、已知直线 $l$ 经过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得 $\vec{O P} = \vec{O A} + \vec{O B}$ 成立的点P的横坐标为3，则四边形 $O A P B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{5}$ C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $5 \sqrt{5}$

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12、 ${(\frac{2}{x} - \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．

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13、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\frac{\tan (α + \frac{π}{4})}{\tan α} = - \frac{3}{2}$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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14、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin 2 C}$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值.

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15、已知函数 $f (x) = m e^{x} - x^{2} - 2 x (m \neq 0)$ ， $P (x_{1}, y_{1})$ 与 $Q (x_{2}, y_{2})$ 在函数 $f (x)$ 的图象上，回答下列问题：

(1)、当 $m < 0$ 时，证明 $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) > k_{P Q}$ ；

(2)、 $f (x)$ 上有 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2}), C (x_{3}, y_{3})$ 三点（ $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 均不为 $0$ 且互不相等），满足 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 成等差数列且 $x_{3} = 3 x_{1}$ ．
①若不存在 $A, B, C$ 三点，使 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 成等差数列，求 $m$ 的取值范围；
②若 $m < 0, g (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ，证明： $g (m) + g (- m) > 2$ ．

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）， $O$ 为坐标原点，过椭圆 $C$ 左焦点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点（ $P$ 在 $x$ 轴上方），有 $∠ P F_{1} O = 2 ∠ F_{1} P O$ ， $l$ 不与 $x$ 轴重合．

(1)、当 $∠ F_{1} P O = 45 °$ 时，求椭圆 $C$ 的离心率 $e$ ；

(2)、求 $\frac{|P O|}{|F_{1} O|}$ 的取值范围；

(3)、是否存在 $l$ 使 $|P O| + |P F_{1}| = 2 a$ ？若存在，求出 $∠ P F_{1} O$ 的余弦值；若不存在，请说明理由．

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17、 $\{a_{n}\}$ 为等差数列或等比数列， $\{a_{n}\}$ 和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = 8$ ， $a_{6} = 32$ ．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，求 $S_{n}$ 的通项公式；

(2)、当 $\{a_{n}\}$ 为等差数列时， $b_{n} = \frac{s_{n}}{a_{n}}$ ；当 $\{a_{n}\}$ 为等比数列且 $\{a_{n}\}$ 为摆动数列时， $c_{n} = \frac{s_{n}}{a_{n}}$ ．当 $n \geq 5$ 时，求 $(b_{n}_{min} + c_{n}_{min})$ 的值；

(3)、若 $S_{n}$ 单调递增，证明： $n^{2} a_{n} + S_{n} (2 \cos n - 1) > \frac{n}{e^{n - 1}} (n \in N^{*}) ．$

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $a = 6, b = 4, sin C = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆半径 $R$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 为等腰三角形， $△ A B C$ 所在平面内有一点 $P$ ，满足 $\vec{O P} = \vec{O C} + λ (\frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}| sin B} + \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}| sin A}) ， O$ 为 $△ A B C$ 内部一点，求 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最小值．

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19、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = B C = A C = A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 为线段 $A C$ 中点．

(1)、证明： $A B_{1} / /$ 平面 $B E C_{1}$ ；

(2)、若 $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，求二面角 $A - B E - C_{1}$ 的余弦值．

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20、双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，动点 $P$ 在双曲线右支上，过 $P$ 作两条渐近线垂线分别交于 $M ， N$ 两点．若 $|P M| + |P F_{1}|$ 最小值为 $3$ ，则 $|P M| + |P N|$ 的最小值为．

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