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相关试卷

1、 $|z| = 1$ ，若 $z^{2}$ 与 $z$ 关于复平面虚轴对称，则 $\bar{z} =$ ．

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2、 ${(3 x^{2} + x^{\frac{1}{3}})}^{n}$ 偶数项二项式系数和为 $128$ ，则第 $4$ 项为．

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3、定义： $\{a_{n}\}$ 满足当 $n$ 为奇数时， $a_{n} + a_{n + 1} = k$ ；当 $n$ 为偶数时， $a_{n} + a_{n + 1} = - k$ ， $k \in Z$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“回旋数列”.若 $\{b_{n}\}$ 为“回旋数列”， $b_{1} = 1$ ， $k = 3$ ，设 $\{b_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，从 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， …， $b_{2 n}$ 中任意抽取两个数，两个数之和大于 $0$ 的概率为 $P_{2 n}$ ， $P_{2 n}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $b_{20} - b_{19} = 119$ B、 $4 S_{2 n + 1} = - 3 S_{2 n} + S_{2 n - 1}$ C、 $P_{100} = \frac{50}{99}$ 且 $P_{2 n}$ 恒不小于 $\frac{1}{2}$ D、 $T_{n} \leq \frac{n}{2^{n - 1}}$

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4、 $f (x) = \sin x \tan x + \cos x (0 < x < \frac{π}{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在定义域内单调递增 B、 $\exists x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ， $f^{2} (x_{0}) = \frac{1 - \cos 2 x_{0}}{2}$ C、在定义域内恒有 $f (x) < \frac{2}{2 - x^{2}}$ D、当 $x \in (0, π)$ 时，恒有 $\frac{e^{2 x}}{2 \sin x} > e^{2} tan \frac{x}{2}$

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5、 $\cos (2 θ + \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $θ$ 有1解 B、 $θ$ 有2解 C、 $\sin (2 θ + \frac{π}{12}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $f (x) = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，将 $f (x)$ 向右平移 $\frac{5}{12} π$ 个单位得到 $g (x)$ ， $g (x)$ 为奇函数

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6、一正四棱锥 $P - A B C D$ ， $A B = \sqrt{2}$ ，当其外接球半径 $R$ 与内切球半径 $r$ 之比最小时， $V_{P - A B C D}$ 为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{2} + 2}{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + 2$ C、 $2 \sqrt{\sqrt{2} + 1}$ D、 $\frac{2 \sqrt{\sqrt{2} + 1}}{3}$

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7、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 分别为等差数列和等比数列， $a_{1} > 0 ， b_{1} > 0 ， {a_{n}}$ 为递减数列， ${b_{n}}$ 为递增数列，且 ${a_{n}}$ 的和 $S_{n}$ 有最大值． $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ， $c_{1} = 2$ ， $c_{2} = 3$ ， $c_{3} = c_{1} \cdot c_{2}$ ，则 $c_{4}$ 的取值范围为（）

A、 $(11, 13)$ B、 $(13, 15)$ C、 $(13, + \infty)$ D、 $(11, 15)$

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8、在锐角三角形 $A B C$ 中，若 $A = \frac{π}{4}$ ，则 ${(\frac{1}{\tan B} + 1)}^{2} + {(\frac{1}{\tan C} + 1)}^{2}$ 的最小值为（）

A、 $4$ B、 $5$ C、 $6$ D、 $8$

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9、我们初中所学的反比例函数图象其实是一种典型的双曲线．若 $g (x) = \frac{1}{x}$ ，则该双曲线焦距为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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10、直线 $l_{1}$ 上单位向量为 $(\frac{3}{5}, m)$ ，直线 $l_{2}$ 上有 $C$ ， $D$ 两点， $\vec{C D} = (t, t - 2)$ ，若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $t$ 的值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ 或 $\frac{8}{7}$ B、 $\frac{8}{7}$ C、 $8$ D、 $\frac{8}{7}$ 或 $8$

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11、 $\vec{a} = (t - 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2 - t, - 1)$ ，命题 $p : \vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，命题 $q : \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为钝角，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、 $f (x) = x - 1 - 2 \ln x$ ，则 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处切线方程为（）

A、 $y + x - 1 = 0$ B、 $y - x + 1 = 0$ C、 $x = 1$ D、 $y + 2 x - 2 = 0$

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13、若集合 $A = \{x| \sqrt{\log_{2} x} \leq 2\}$ ， $B = \{x| x^{2} < 16\}$ ，则 $A \cap B$ 为（）

A、 $(- 4, 16]$ B、 $(0, 4)$ C、 $[1, 4)$ D、 $[1, 16)$

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14、现有甲、乙两名蓝球运动员进行投篮练习，甲每次投篮命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙每次投篮命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、为了增加投篮练习的趣味性，甲、乙两人约定进行如下游戏：甲、乙两人同时投一次篮为一局比赛，若甲投进且乙未投进，则认定甲此局获胜：若甲未投进乙投进，则认定乙此局获胜：其它情况认定为平局，获胜者此局得1分，其它情况均不得分，当一人得分比另一人得分多3分时，游戏结束，且得分多者取得游戏的胜利．求甲恰在第五局结束时取得游戏胜利的概率．

(2)、投篮练习规定如下规则：甲、乙两人轮流投篮，若命中则此人继续投蓝，若未命中则对方投篮，第一次投篮由甲完成，设 $P_{n}$ 为第n次投篮由甲完成的概率．
①求第3次投篮由甲完成的概率；
②请表示第n次投篮由甲完成的概率．

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15、已知函数 $f (x) = \ln (x - 1) - m (x - 1) + 2$ ．
（1）若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 3$ 处的切线与直线 $2 x - y + 6 = 0$ 垂直，求 $f (x)$ 的极值；
（2）若 $f (x)$ 的图象恒在直线 $y = 2$ 的下方．
①求实数 $m$ 的取值范围；
②证明：对任意正整数 $n$ ，都有 $\ln 1 + \ln 2 + \ln 3 + \cdot \cdot \cdot + \ln (2 n) < \frac{2 n (1 + 2 n)}{5}$

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16、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1, 2 n a_{n} - 2 S_{n} = n^{2} - n, n \in N^{*}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2 - a_{n}}{2^{n}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是3，且满足 $a_{n + 1} = 3 a_{n} - 2^{n}$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 e^{x} + x, x \leq 0 \\ 2 x - 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{2} > x_{1}$ ，且 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值是，此时在点 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．

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19、在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数， $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 4$ ，平均感染周期为7天，那么感染人数由1个初始感染者增加到1365人大约需要的天数为．（初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）

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20、已知 $f (x) = - 5 x + \sin x$ ，则满足 $f (a^{2}) + f (- 4) > 0$ 的实数 $a$ 的取值范围是．

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