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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为1，且 $a_{n} > 0$ ， ___．在① $S_{11} = 66$ ；② $a_{3}, a_{9}, 9 a_{3}$ 成等比数列；③ $S_{n} - n a_{n} = \frac{n - n^{2}}{2}$ ，其中 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ }的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{a_{n}} + 2 a_{n}$ ，求数列{ $b_{n}$ }的前n项和 $T_{n}$ ．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分，

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2、已知 $f (x) = {(1 + 2 x)}^{n}$ 展开式的二项式系数和为64，且 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ．

(1)、求 $a_{2}$ 的值；

(2)、求 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 展开式中二项式系数最大的项；

(3)、求 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n}$ 的值．

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3、已知偶函数 $f (x) (x \in R)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) + x f^{'} (x) + \frac{1}{x^{2}} > 0$ ， $f (5) = \frac{1}{25}$ ，则不等式 $f (x) > \frac{1}{x^{2}}$ 的解集为．

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4、 $(2 + \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{7}$ 的展开式中 $x^{2}$ 的系数为．

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5、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x ＞ 0$ 时， $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}$ .则下列结论正确的是（）.

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (x + 1)$ B、函数 $f (x)$ 在 $R$ 上有且仅有三个零点 C、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是 $f (- 2) \leq m \leq f (2)$ D、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ， $|f (x_{2}) - f (x_{1})| < 2$

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6、在 ${(\frac{1}{x} - 2 x)}^{4}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、常数项是24 B、第4项系数最大 C、第3项是 $- 32 x^{2}$ D、所有项的系数的和为1

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7、定义：设函数 $y = f (x)$ 在 $(a, b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f^{'} (x)$ 在 $(a, b)$ 上也存在导函数，则称函数 $y = f (x)$ 在 $(a, b)$ 上存在二阶导函数，简记为 $y = f^{″} (x)$ .若在区间 $(a, b)$ 上 $f^{″} (x) > 0$ ，则称函数 $y = f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上为“凹函数”.已知 $f (x) = e^{x} + \frac{1}{6} (1 - m) x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} (ln x + ln m - \frac{3}{2})$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为“凹函数”，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(1, e - 1)$ B、 $(0, e - 1)$ C、 $(1, e)$ D、 $(0, e)$

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是递增的等比数列， $a_{1} + a_{4} = 18, a_{2} a_{3} = 32$ ，若 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{k + 6} - S_{k} = 2^{11} - 2^{5}$ ，则正整数 $k$ 等于（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、若函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x$ 在 $(0, 1)$ 内无极值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- \infty, 0]\cup[1, + \infty)$ D、 $[0, 1]$

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10、若函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 满足 $f (x) + x g (x) = x^{2} - 1,$ 且 $f (1) = 1$ ，则 $f^{'} (1) + g^{'} (1) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11、若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则 $\frac{r}{l} =$ （）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ C、 $\sqrt{5} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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12、给出以下基本事实：函数 $φ (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是 $y = φ (x + a) - b$ 为奇函数.已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其图象关于点 $(1, 1)$ 对称，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = x^{2} - a x + a$ ，函数 $g (x) = x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 3$ ，其中 $x \in R$ .

(1)、根据基本事实，求 $f (- 3) + f (5)$ 的值；

(2)、根据基本事实，探求 $g (x)$ 的图象的对称中心横坐标m的值；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [0, 2]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、设函数 $f (x) = a^{x} + k a^{- x}$ （ $k \in R$ ， $a > 0$ ， $a \neq 1$ ）.

(1)、当 $k = 4$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由；

(3)、当 $k = 0$ 时， $\forall x \in (- \infty, \frac{1}{2})$ 都有 $f (x) \leq \frac{1}{1 - 2 x}$ ，求实数a的取值集合.

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14、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形，点E满足 $\vec{P E} = \frac{1}{3} \vec{P D}$ ．设三棱锥 $P - A C E$ 和四棱锥 $P - A B C D$ 的体积分别为 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ 的值为．

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15、某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若 $X ~ N (600, σ^{2})$ ，其中 $σ > 0$ ，则（）

A、 $P (X < 600) = \frac{1}{2}$ B、 $P (592 < X < 598) < P (602 < X < 606)$ C、 $P (X < 595) = P (X > 605)$ D、σ越小， $P (X < 598)$ 越大

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16、下列四个命题为真命题的是（）

A、若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、若向量 $\vec{a} = (5, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(4, 2)$ C、若向量 $\vec{e}$ 是与向量 $(1, 2)$ 共线的单位向量，则 $\vec{e} = (\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ D、已知向量 $\vec{a} = (\cos α, \sin α)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5} + 1$

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17、某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯 $A C$ （ $A C > 5$ 米）的 $C$ 点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌 $D E$ .如图所示，广告牌底部点 $E$ 正好为 $D C$ 的中点，电梯 $A C$ 的坡度 $∠ C A B = 30 °$ .某人在扶梯上点 $P$ 处（异于点 $C$ ）观察广告牌的视角 $∠ D P E = θ$ ，当人在 $A$ 点时，观测到视角 $∠ D A E$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ .

(1)、设 $B C$ 的长为 $m$ 米，用 $m$ 表示 $tan ∠ D A B$ ；

(2)、求扶梯 $A C$ 的长；

(3)、当某人在扶梯上观察广告牌的视角 $θ$ 最大时，求 $C P$ 的长.

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18、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $\vec{B E} = \frac{1}{2} \vec{B C}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ．

(1)、若 $\vec{E F} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，求 $3 x + 2 y$ 的值；

(2)、若 $|\vec{A B}| = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，求 $\vec{A C} \cdot \vec{E F}$ ．

(3)、若菱形 $A B C D$ 的边长为6，求 $\vec{A E} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围．

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19、已知函数 $f (x) = tan (- 2 x + θ)$ ，其中 $θ$ 为三角形的一个内角，且 $2 {cos}^{2} θ - cos θ - 1 = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及定义域；

(2)、求函数 $f (x)$ 的对称中心及单调区间．

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20、在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}, E$ 是线段 $A D$ 上的动点（与端点不重合），设 $\vec{C E} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ ，则 $\frac{6 x + y}{x y}$ 的最小值是．

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