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相关试卷

1、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $， A B ⊥ B C ， \sqrt{2} A B = B C = 2 ，$ 四边形 $B C C_{1} B_{1}$ 是正方形，且 $∠ A B B_{1}$ 是锐角，已知点A到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离为 $1.$

(1)、求证： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A B C;$

(2)、求平面 $A C C_{1} A_{1}$ 与平面 $A C B_{1}$ 夹角的余弦值.

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2、已知 $f (x) = sin (x + \frac{π}{3}) + sin (x - \frac{π}{3}) + \sqrt{3} {cos}^{2} \frac{x}{2} - \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{x}{2} .$

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若锐角 $△ A B C$ 中，边AC上的高 $h = 3 ，$ 且 $f (A) = \sqrt{3} ，$ 求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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3、函数 $f (x) = 2 x - sin x$ 上存在互异两点A，B，若曲线 $f (x)$ 在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与 $f (x)$ 无公共点，则l的斜率为.

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4、如图，椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点A是抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x$ 的焦点，过A作x轴的垂线交 $C_{2}$ 于点B，线段BO与 $C_{1}$ 交于点D，F是 $C_{1}$ 焦点 $， D F / / A B ，$ 则 $C_{1}$ 的离心率 $e =$ .

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5、已知 $\vec{b} = (2, 2)$ ， $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的模为1，则 $\vec{a}$ 坐标可以是 $. ($ 写一个即可 $)$

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6、数学里常研究一些形状特殊的曲线，过程中总要用到数形结合的思想方法.比如形状酷似“星星”的曲线 $C : {|x|}^{\frac{1}{2}} + {|y|}^{\frac{1}{2}} = 2$ 在第一象限内的图象如图所示，则下列关于曲线C的说法正确的有（）

A、共有4条对称轴 B、围成的封闭图形内最大能放入半径为1的圆 C、周长大于25 D、围成的封闭图形的面积小于14

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7、如图，已知四边形 $A B C D$ 中， $A C = B D = 3$ ， $A C$ 与 $B D$ 垂直并相交于点 $O$ ，且满足 $A O = 1$ ， $B O = a (0 < a < 3)$ ，以 $B D$ 为折痕，将四边形翻折，形成三棱锥 $A - B C D$ ，且满足二面角 $A - B D - C$ 大小为 $60^{\circ}$ .则下列对于三棱锥 $A - B C D$ 的说法正确的有（）

A、对任意 $a \in (0, 3)$ ，三棱锥 $A - B C D$ 的体积为定值 B、 $A C ⊥$ 平面 $A B D$ C、当且仅当 $a = 1$ 时，三棱锥 $A - B C D$ 的表面积为 $\frac{9 + \sqrt{6} + \sqrt{15}}{2}$ D、外接球半径的最小值为 $\sqrt{3}$

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8、甲、乙两个班级各有6名候选人参加校学生会干部竞选.其中，甲班中男生2名，乙班中男生3名.则下列说法正确的有（）

A、从12人中选出两人担任主持人，恰好一男一女当选的情况有35种 B、某选手得分是 $9, 9.2, 9.2, 9.3, 9.3, 9.4, 9.4, 9.5$ ，则该选手得分的第70百分位数是 $9.3$ C、从12人中随机选择一人总结会议，已知选到的是女生，则她来自甲班的概率是 $\frac{1}{3}$ D、5名男生随机抽选3人担任男寝楼长，其中甲班男生当选人数为X人，则 $E (X) = \frac{6}{5}$

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9、函数 $f (x) = |ln x| + x + m ， g (x) = x^{3} + x + m ，$ 若 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2}) ， g (x)$ 的零点为 $x_{0} ，$ 则关于 $x_{0}$ 的不等式不能成立的是（）

A、 $x_{1} < x_{0} = x_{2}$ B、 $x_{1} = x_{0} < x_{2}$ C、 $x_{0} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{1} < x_{0} < x_{2}$

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10、正整数数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = \{\begin{cases} \frac{a_{n}}{2}, a_{n} 是偶数 \\ 3 a_{n} + 1, a_{n} 是奇数 \end{cases}$ ，使得 $a_{6} = 4$ 的不同 $a_{1}$ 个数为（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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11、下列四个几何体中，表面积与其他三个不同的是（）

A、底面半径 $r = \frac{1}{2} ，$ 母线 $l = \frac{5}{8}$ 的圆锥 B、底面半径 $r = \frac{1}{4} ，$ 母线 $l = \frac{7}{8}$ 的圆柱 C、半径 $r = \frac{3}{4}$ 的球 D、上、下底面半径分别为 $r^{'} = \frac{1}{4} ， r = \frac{1}{2} ，$ 母线 $l = \frac{1}{3}$ 的圆台

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12、年初，甲流在国内肆意横行，下表是某单位统计了5天内每日新增患甲流的员工人数.
第x天
1
2
3
4
5
新增y人
2
3
5
8
12
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
已知 $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 115 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 55 ，$ 现用最小二乘法算得线性回归方程是（）

A、 $\hat{y} = 2.1 x - 0.5$ B、 $\hat{y} = x + 3$ C、 $\hat{y} = - x + 9$ D、 $\hat{y} = 2.5 x - 1.5$

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13、等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} ，$ 满足 $S_{5} = a_{2} + a_{5} + a_{7} ，$ 若 $a_{1} ， a_{2} ， a_{m}$ 成等比，则 $m =$ （）

A、6 B、5 C、4 D、3

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14、“ $sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”是“ $tan α = \sqrt{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知复数 $z = 1 - 2 i (i$ 是虚数单位 $) ，$ 则（）

A、复平面内z对应的点在第二象限 B、 $\bar{z} = 1 + 2 i$ C、z的虚部是2 D、 $|z| = \sqrt{3}$

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16、集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\} ， B = {x | x^{2} - x \leq 2} ，$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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17、下列说法中正确的有（）

A、将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 B、已知随机变量X服从二项分布 $B (n, P)$ ，若 $E (X) = 30$ ， $D (X) = 20$ ，则 $P = \frac{2}{3}$ C、设随机变量 $X ~ N (3, 2^{2})$ ，则 $E (\frac{1}{2} X + 1) = \frac{5}{2}$ ， $D (\frac{1}{2} X + 1) = 2$ D、以模型 $y = c e^{k x}$ 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 0.4 x + 3$ ，则c，k的值分别是 $e^{3}$ 和0.4

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18、若关于 $x$ 的方程 $x + \sqrt{4 - x^{2}} - 2 m = 0$ 有解，则 $m$ 的取值范围是．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 满足： $S_{1} = 4$ ， $S_{n + 1} = 2 a_{n + 1} + 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} b_{n} = \log_{2} a_{n}$ .
①求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
②若 $b_{n} \leq m^{2} + 2 m - \frac{5}{2}$ 对于一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、设函数 $f (x) = \ln (a - x)$ ，已知 $x = 0$ 是函数 $y = x f (x)$ 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 $g (x) = \frac{x + f (x)}{x f (x)}$ ．证明： $g (x) < 1$ ．

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