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相关试卷

1、设空间两个单位向量 $\vec{O A} = (m, n, 0)$ ， $\vec{O B} = (0, n, p)$ 与向量 $\vec{O C} = (1, 1, 1)$ 的夹角都等于 $\frac{π}{4}$ ，则 $\cos ∠ A O B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{2 \pm \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{7 \pm 4 \sqrt{3}}{16}$ D、 $\frac{4 \pm \sqrt{6}}{16}$

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2、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ ，过点 $P (1, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若点 $P$ 为线段 $A B$ 的中点，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $x - 3 y + 2 = 0$ B、 $3 x - y - 2 = 0$ C、 $2 x - y - 1 = 0$ D、 $x - 2 y + 1 = 0$

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3、已知函数 $g (x) = \frac{f (x) + f (- x)}{2}$ ， $h (x) = \frac{f (x) - f (- x)}{2}$ ，且 ${[g (x)]}^{2} - {[h (x)]}^{2} = 1$ ，则函数 $f (x)$ 可能是（）

A、 $f (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2}$ C、 $f (x) = 2^{x}$ D、 $f (x) = \log_{2} x$

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4、从两位数中随机选择一个数，则它的平方的个位数字为1的概率是（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{5}$

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5、已知向量 $\vec{a} = (2, - 1, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 4, - 2, x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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6、若 $\frac{z}{z + 1} = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $1 - i$ C、 $- 1 + i$ D、 $1 + i$

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，若 $\forall a, b \in [0, + \infty)$ ，且 $a \neq b$ ，都有 $\frac{a f (a) - b f (b)}{a - b} < 0$ 成立，则不等式 $t f (t^{2}) - (\frac{2}{t} + 1) f (t + 2) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (0, + \infty)$

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8、已知直椭圆柱体是指底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体．如图所示，直椭圆柱体的上下底面椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ，高为椭圆短轴长度的 $\frac{1}{2}$ ，下底面长轴记为 $A B$ ，上底面长轴记为 $A_{1} B_{1}$ ．点 $E$ 为 $A B$ 上一点，过点 $E$ 在下底面内作 $A B$ 的垂线分别交下底面椭圆于点 $C$ ， $D$ ．记 $m = \frac{|A E|}{|B E|}$ ．

(1)、若平面 $A_{1} A D ⊥$ 平面 $A_{1} A C$ ，求 $m$ 及二面角 $C - A_{1} B - D$ 的余弦值；

(2)、若 $m$ 随变量 $t$ 的变化而变化，且 $t \geq 1$ ， $m = 1 - \frac{1}{2 t}$ ．记二面角 $C - A_{1} B - D$ 的大小为 $θ$ ，证明： $\frac{π}{2} < θ < \frac{5π}{6}$ ．

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9、某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了 $A$ 和 $B$ 两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择 $A$ 和 $B$ 两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：

(1)、由折线图可看出，可用回归模型拟合 $y$ 与 $t$ 的关系，请用相关系数加以说明；

(2)、假设每位顾客选择 $A$ 套餐的概率为 $\frac{1}{3}$ ，选择 $B$ 套餐的概率为 $\frac{2}{3}$ ，其中 $A$ 包含一张优惠券， $B$ 套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了 $n$ 张优惠券，设其概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ ；

(3)、记（2）中所得概率 $P_{n}$ 的值构成数列 $\{P_{n}\} (n \in N *)$ ，求数列 $\{P_{n}\}$ 的最值．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} y_{i} = 16.17$ ， $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 68.35$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{7} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 0.72$ ， $\sqrt{7} = 2.646$
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

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10、如图，在圆锥 $P O$ 中， $A C$ 为圆锥底面的直径， $B$ 为底面圆周上一点，点 $D$ 在线段 $B C$ 上， $A C = 2 A B = 4$ ， $C D = 2 D B$ ．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $B O P$ ；

(2)、若圆锥 $P O$ 的侧面积为 $8 π$ ，求二面角 $O - B P - A$ 的正弦值．

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11、记 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\sqrt{3} sin A - cos A = 2$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $\sqrt{2} b sin C = c sin 2 B$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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12、如图，在 $4 \times 4$ 的格子中，有一只蚂蚁从 $A$ 点爬到 $B$ 点，每次只能向右或向上移动一格，则从 $A$ 点爬到 $B$ 点的所有路径总数为，若蚂蚁只在下三角形（对角线 $A B$ 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从 $A$ 点到 $B$ 点的所有总路径数为．

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13、在 ${(\frac{3}{x^{3}} + \frac{x^{3}}{3})}^{8}$ 的展开式中，常数项为．

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14、已知 $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ ，则 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ ．

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15、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导函数为 $g (x)$ ，若函数 $y = f (x + 1) - 1$ 是奇函数，函数 $y = g (x + 2)$ 为偶函数，则下列说法错误的是（）

A、 $f (1) = 1$ B、 $g (1) = 1$ C、 $y = f (x + 2) - 1$ 为奇函数 D、 $\sum_{i = 1}^{2024} f (i) = 1012$

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16、过抛物线 $E$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线交 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点，经过点 $A$ 和原点 $O$ 的直线交抛物线的准线于点 $D$ ，则下列说法正确的是（）．

A、 $B D / / O F$ B、 $O A ⊥ O B$ C、以 $A F$ 为直径的圆与 $y$ 轴相切 D、 $|A F| |B F| = \frac{p^{2}}{\sin^{2} θ}$

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17、已知随机变量 $X$ 服从正态分布，即 $X ~ N (3, 9)$ ，则（）．

A、 $E (X) = 27$ B、 $D (X) = 9$ C、 $P (X \geq 8) > P (X \leq - 1)$ D、 $P (X \leq 1) + P (X \leq 5) = 1$

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18、设函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，已知 $f (x_{1}) = - 1$ ， $f (x_{2}) = 1$ ，且 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{π}{4}$ ，则 $ω =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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19、在平面直角坐标系中，点 $A, B$ 的坐标分别是 $(- 5, 0)$ ， $(5, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $\frac{4}{9}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）．

A、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{9 y^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$ B、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{3 y^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$ C、 $\frac{y^{2}}{25} - \frac{3 x^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$ D、 $\frac{y^{2}}{25} - \frac{9 x^{2}}{100} = 1 (x \neq \pm 5)$

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20、若过点 $(2 \sqrt{3}, 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的两条直线的夹角为 $α$ ，则 $\cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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