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相关试卷

1、数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为 $A (0, 0), B (0, 4), C (4, 4)$ ，则△ABC欧拉线的方程为（）

A、x+y-4=0 B、x-y+4=0 C、x+y+4=0 D、x-y-4=0

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2、我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

(1)、如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积．

(2)、如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积．

(3)、如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \cos C + (c + 2 a) \cos B = 0$ ．

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $D$ 为边 $A C$ 上的一点，
（i）若 $B D ⊥ B C, a = 1$ ，求 $A D$ 长．
（ii）若 $C D = 2 A D$ ，求 $B D$ 长的最小值；

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4、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + 4, m \in R, g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求关于 $x$ 的不等式 $f (2^{x} + 3) \leq f (4^{x} + 1)$ 的解；

(2)、若对任意的 $x_{1} \in [- 1, 1]$ ，存在 $x_{2} \in [1, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2), \vec{b} = (1, x), \vec{c} = (4, 5 - x)$ ．

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) / / \vec{c}$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量．

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6、已知复数 $z$ 满足 $z - i$ 和 $\frac{z}{2 + i}$ 均为实数．

(1)、求复数 $z$ ；

(2)、若 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数 $p, q$ 的值．

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7、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，设 $\vec{A M} = \vec{A D} + λ \vec{D B} (λ \in R)$ ，若 $|\vec{A M}| \geq 1$ 恒成立，则菱形 $A B C D$ 面积的取值范围是．

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8、衢州是孔子后裔的世居地和第二故乡，素有“东南阙里，南孔圣地”的美誉，孔子雕像坐落于孔子文化公园内．如图，选取与孔子雕像底部 $O$ 在同一平面内的三个测量基点 $A, B, C$ ，且在 $A, B, C$ 处测得雕像顶点 $P$ 的仰角分别为 $\frac{π}{6}, \frac{π}{4}, \frac{π}{3}$ ， $A B = B C = 10$ 米，则孔子雕像高 $O P$ 为米．

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9、已知函数 $y = 2^{x^{2} - 2 x + 2}$ ，则它的值域是．

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10、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 边长为2， $E, F$ 分别是 $C C_{1}, C_{1} D_{1}$ 中点，平面 $A E F$ 截正方体与棱 $A_{1} D_{1}, B C$ 分别交于点 $G, H$ ，下列选项正确的是（）

A、 $E F, D D_{1}, A G$ 三线交于一点 B、 $P$ 是多边形 $A G F E H$ 边上的动点， $\vec{A H} \cdot \vec{A P}$ 的最大值是 $\frac{20}{3}$ C、正方体被截面 $A G F E H$ 分成上下两部分的体积之比为 $47 : 25$ D、棱锥 $F - A B C D$ 的外接球的表面积为 $12 π$

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11、设 $z$ 为复数，下面四个命题中，真命题的是（）

A、若 $|z - 1 |=| z + 1|$ ，则 $z$ 为纯虚数 B、 $z \cdot \bar{z} = | \bar{z} |^{2}$ C、若 $1 < |z - 1 + i| < 2$ ，则点 $z$ 的集合构成的图形的面积为 $π$ D、若复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $|z_{1}| = |z_{2}| = 2, z_{1} + z_{2} = \sqrt{3} + i$ ，则 $|z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{3}$

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12、下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 不共线， $\vec{a} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 可以作为平面向量的一组基底 B、在 $△ A B C$ 中， $a = 9, b = 10, A = 60 °$ ，则这样的三角形有两个 C、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ D、已知 $\vec{a} = (3, - 2), \vec{b} = (1, k)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $k$ 的取值范围为 $(8, + \infty)$

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13、已知正四面体 $P - A B C$ 内接于球 $O$ ，球 $O$ 半径为3， $E$ 为 $B C$ 的中点，过点 $E$ 作球 $O$ 的截面，求截面圆半径的最小值（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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14、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2, B C = B B_{1} = \sqrt{2}, E$ 为线段 $B_{1} C$ 的中点， $F$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，若点 $P$ 为线段 $B D_{1}$ 上的动点，则 $P E + P F$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $1 + \sqrt{2}$

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15、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{c}{b} + \frac{2 b}{c} = 4 \cos A$ ， ${sin}^{2} B - {sin}^{2} C = 2 {sin}^{2} A$ ，则 $cos B =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{5 \sqrt{2}}{8}$

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16、已知 $cos (\frac{π}{8} - α) = \frac{2}{5}$ ，则 $cos (\frac{3}{4} π + 2 α) =$ （）

A、 $\pm \frac{4}{25} \sqrt{21}$ B、 $\frac{4}{25} \sqrt{21}$ C、 $- \frac{17}{25}$ D、 $\frac{17}{25}$

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, | \vec{a} | = 2, | \vec{b} | = 4$ ，则“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线”是“ $|\vec{a} + \vec{b}| = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，正方形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（）

A、8cm B、 $4 \sqrt{2} cm$ C、4cm D、 $(2 + 2 \sqrt{3}) cm$

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19、已知 $A = \{x |\frac{1 - x}{x + 2} \geq 0\}$ ， $B = \{x| 1 < 2^{- x} < 16\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 0)$ B、 $(- 4, 1]$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(- 4, 1)$

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20、已知复数 $z = {(1 - i)}^{2}$ ，则复数 $z$ 的虚部是（　　）

A、 $2$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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