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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = - \sqrt{2} x$ ，则 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $8$ D、 $16$

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2、已知复数 $z = 1 + i$ ，则 $\frac{1}{z}$ 的虚部为（）．

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{i}{2}$ D、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

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3、若平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{μ_{1}} = (- 3, y, 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量为 $\vec{μ_{2}} = (6, - 2, z)$ 且 $α / / β$ ，则 $y + z =$ .

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4、直线 $l : x + y - 2024 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $-$ 1 B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为 $2$ ，离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}, A, B$ 分别是椭圆 $C$ 的上下顶点，过 $A$ 作两条互相垂直的直线 $A P, A Q$ ，分别交椭圆 $C$ 于 $P, Q$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求证：直线 $P Q$ 恒过定点；

(3)、求 $△ A P Q$ 面积的最大值.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + a ln x, a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $y = f (x) + (a + 1) x$ 的最小值为0，求 $a$ 的值.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是梯形， $A B$ $∥$ $D C, A C ⊥ B D$ ， $P A = A C = 3, D C = 2 A B = 4$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - B$ 的正弦值.

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8、已知公差不为0的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{5} = 35, a_{1}, a_{4}, a_{13}$ 成等比数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $m < n$ ，且 $\frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{m}}, \frac{1}{a_{n}}$ 成等差数列，求出所有的正整数 $m, n$ .

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = 5, c = 3, b = a cos C - \frac{c}{2}$ .

(1)、求 $∠ A$ ；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 中点，求 $A D$ 的长度.

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10、已知 $e$ 为自然对数的底数，若函数 $y = \ln x + a x$ 的最大值与函数 $y = e^{x} - x$ 的最小值相等，则实数 $a$ 的值是.

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11、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n} = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ，则 $S_{20} =$ .

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12、如果 $X$ 服从二项分布 $B (n, p)$ ，当 $n p > 10$ 且 $n (1 - p) > 10$ 时，可以近似的认为 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，据统计高中学生的近视率 $p = 0.6$ ，某校有600名高中学生.设 $X$ 为该校高中学生近视人数，且 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，下列说法正确的是（）
（参考数据： $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.682, P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ）

A、变量 $X$ 服从正态分布 $N (360, 144)$ B、 $P (X \geq 372) \approx 0.159$ C、 $P (X < 384) = P (X > 348)$ D、 $P (X < 384) \approx 0.9773$

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13、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}, λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在唯一一点 $P$ ，使得过 $D_{1}, B, P$ 的平面与正方体的截面是菱形 B、存在唯一一点 $P$ ，使得 $A P ⊥$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ C、存在无穷多个点 $P$ ，使得 $A P$ $∥$ 平面 $A_{1} C D$ D、存在唯一一点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ B C_{1}$

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14、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l : y = k x - k$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，分别过 $P$ ， $Q$ 两点作抛物线准线的垂线 $P M$ ， $Q N$ ，垂足分别是 $M$ ， $N$ ，下列说法正确的是( ).

A、直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点 B、当 $k = 1$ 时， $P$ ， $Q$ 两点横坐标的和为5 C、当 $k = 1$ 时，直线 $l$ 截抛物线所得的弦长为8 D、以 $M N$ 为直径的圆与直线 $l$ 相切

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15、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期函数，周期 $T = 1$ ，且当 $x \in [0, 1)$ 时 $f (x) = x^{2}$ ，若 $g (x) = k x + b$ ，则下列结论中一定正确的是（）

A、 $k = 1$ 时， $f (x) = g (x)$ 可以有三个解 B、 $k = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = g (x)$ 可以有三个解 C、 $k = - 1$ 时， $f (x) = g (x)$ 可以有一个解 D、 $k = - \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = g (x)$ 可以有四个解

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 4, x \leq a \\ x^{2} + 1, x > a \end{matrix}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是( ).

A、 $(- 1, 3]$ B、 $(- \infty, 3]$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1]\cup[3, + \infty)$

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17、已知直径为12的球内有一内接圆柱（圆柱上下底面圆在球面上），则圆柱体积的最大值为（）

A、 $96 \sqrt{3} π$ B、 $96 π$ C、 $48 \sqrt{3} π$ D、 $192 π$

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18、已知 $m > 0, n > 0$ ，且 $m + n = 1$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{n}$ 的最小值为（）

A、12 B、9 C、6 D、3

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19、已知向量 $\vec{a} = (0, 4), \vec{b} = (3, 6), \vec{c} = (- 1, 6)$ ，若 $\vec{c} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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20、若 $2 z - 1 = i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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