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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心， $P O ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = \sqrt{5}$ ， $A B = 2$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 内切球的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{54}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\frac{11 \sqrt{3} π}{27}$ D、 $\frac{125 \sqrt{3} π}{54}$

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2、已知 $a ⩾ 1$ ，函数 $f (x) = a x ln x - x^{a} + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $x > 1$ 时， $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (x^{2} - 1) - {log}_{2} (x - 1) .$

(1)、证明： $f (x)$ 的定义域与值域相同；

(2)、若 $\forall x \in [7, + \infty) ， \forall t \in (0, + \infty) ， f (x) + \frac{1}{t^{2}} - \frac{2}{t} > m - 1$ 恒成立，求m的取值范围.

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4、在等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{2} = 4$ ， $8 a_{1} + a_{3} = 24$ .

(1)、求公比 $q$ 及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{100}$ 的值.

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ 的图象是曲线C，直线 $y = k x + 1$ 与曲线C相切于点 $(1, 3)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $F (x) = f (x) - 2 x - 3$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值和最小值.

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6、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + (1 - a) x$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围为

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7、命题 $p : \forall x > 0, 3^{x} - x + 2 > 0$ 的否定是.

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8、已知等差数列{aₙ}的首项 $a_{1} = 1$ ，公差 $d = 6$ ，在 $\{a_{n}\}$ 中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 $\{b_{n}\}$ ，下列说法正确的有（）

A、 $a_{n} = 6 n - 5$ B、当 $k = 2$ 时， $b_{n} = 2 n - 1$ C、当 $k = 2$ 时， $b_{19}$ 不是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项 D、若 $b_{8}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 中的项，则k 的值可能为6

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9、若一段河流的蓄水量为 $v$ 立方米，每天水流量为 $k$ 立方米，每天往这段河流排水 $r$ 立方米的污水，则 $t$ 天后河水的污染指数 $m (t) = \frac{r}{k} + (m_{0} - \frac{r}{k}) e^{- \frac{k}{v} t}$ $(m_{0}$ 为初始值， $m_{0} > 0)$ ．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的 $\frac{1}{7}$ ，需要的天数大约是（参考数据： $ln 7 \approx 1.95$ ）（）

A、98 B、105 C、117 D、130

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10、若函数 $y = f (x) - 1$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，则 $f (- 2) + f (0) + f (2) =$ （）

A、3 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 3$

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11、已知 $a = 2^{- 1.3}, b = \ln 3, c = \frac{1}{2} \log_{3} 4$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{6}$ 等于（）

A、120 B、122 C、124 D、126

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13、设某质点的位移xm与时间ts的关系是 $x = 1 - t + t^{2}$ ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（）

A、2m/s B、3m/s C、4m/s D、5m/s

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14、设集合 $U = \{x \in Z | x^{2} \leq 4\}$ ， $A = \{0, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 2, 0]$ B、 $\{1\}$ C、 $\{- 2, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 1\}$

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15、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $k$ ，对任意的 $x \in D$ ，总有 $|f (x) - f (- x)| \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、判断下列函数是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由.
① $f (x) = 2024$ ；② $g (x) = x$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 为二次函数，若存在正实数 $k$ ，使得函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .用反证法证明： $f (x)$ 是偶函数；

(3)、已知 $a > 0$ ， $k$ 为给定的正实数，若函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求 $a$ 的取值范围.（用 $k$ 表示）

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ ， $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{f (x)} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $y = \frac{1 - x}{1 + x}$ 图象的对称中心；

(2)、当 $a = \sqrt{2}$ 时，求 $g (x)$ 的最小值；

(3)、若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{3}{5}, \frac{3}{5}]$ ， $|g (r) - g (s)| < g (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，都有不等式 $f (x^{2} + m) + f (2 x^{2} - x + 2 m) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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18、已知全集 $U = R$ ，不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是 $A = {x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 1}$ ， $B = {x | x \leq 0 或 x > \frac{1}{2}}$ ， $C = {x | (x - 2 m) (x - m^{2} - 1) < 0, m \neq 1}$ .

(1)、计算 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $D$ ，且“ $x \in D$ ”是“ $x \in C$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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19、（1） $8^{\frac{2}{3}} - \sqrt[4]{16} + \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} - {(π - 1)}^{0}$ ；
（2）求 ${log}_{2} \sqrt[3]{2} + (\lg 5 + 2 lg 2) lg 5 + {(lg 2)}^{2} - 4^{{log}_{4} 3}$ 的值．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 1, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意的实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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