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相关试卷

1、设集合 $U = \{x \in Z | x^{2} \leq 4\}$ ， $A = \{0, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 2, 0]$ B、 $\{1\}$ C、 $\{- 2, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 1\}$

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2、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $k$ ，对任意的 $x \in D$ ，总有 $|f (x) - f (- x)| \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、判断下列函数是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由.
① $f (x) = 2024$ ；② $g (x) = x$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 为二次函数，若存在正实数 $k$ ，使得函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .用反证法证明： $f (x)$ 是偶函数；

(3)、已知 $a > 0$ ， $k$ 为给定的正实数，若函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求 $a$ 的取值范围.（用 $k$ 表示）

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3、已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ ， $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{f (x)} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $y = \frac{1 - x}{1 + x}$ 图象的对称中心；

(2)、当 $a = \sqrt{2}$ 时，求 $g (x)$ 的最小值；

(3)、若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{3}{5}, \frac{3}{5}]$ ， $|g (r) - g (s)| < g (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，都有不等式 $f (x^{2} + m) + f (2 x^{2} - x + 2 m) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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5、已知全集 $U = R$ ，不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是 $A = {x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 1}$ ， $B = {x | x \leq 0 或 x > \frac{1}{2}}$ ， $C = {x | (x - 2 m) (x - m^{2} - 1) < 0, m \neq 1}$ .

(1)、计算 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $D$ ，且“ $x \in D$ ”是“ $x \in C$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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6、（1） $8^{\frac{2}{3}} - \sqrt[4]{16} + \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} - {(π - 1)}^{0}$ ；
（2）求 ${log}_{2} \sqrt[3]{2} + (\lg 5 + 2 lg 2) lg 5 + {(lg 2)}^{2} - 4^{{log}_{4} 3}$ 的值．

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 1, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意的实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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8、幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{- m}$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上单调递减，则m的值为．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |{(\frac{1}{2})}^{x} - 1|, x \leq 1 \\ |{log}_{4} (x - 1)|, x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - k$ 有四个零点，从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k \in (0, \frac{1}{2}]$ B、 $x_{3} + x_{4}$ 的最小值为4 C、 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、方程 $f [f (x)] - t = 0$ 最多有10个不同的实根

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10、下列说法正确的有（）

A、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 B、当 $x > - 1$ 时， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ C、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是2 D、 $\sqrt{x^{2} + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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11、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = | x | + \frac{1}{| x |}$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1 + | 2 x^{2} + a x - 1 |}{2} (a \in R)$ 的最小值为0，则 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{4}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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13、中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用 $80 ℃$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ℃$ 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是 $T_{0}$ ，经过 $t min$ 后的温度是 $T$ ，则 $T - T_{α} = (T_{0} - T_{α}) e^{- \frac{t}{h}} (e \approx 2.71828 \dots)$ ，其中 $T_{α}$ 表示环境温度， $h$ 表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是 $80 ℃$ ，放在 $20 ℃$ 的室温中， $10 min$ 以后茶水的温度是 $50 ℃$ ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据 $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）（）

A、 $5.7 min$ B、 $5.8 min$ C、 $5.9 min$ D、 $6.0 min$

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14、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意的 $x$ 满足 $f (- x) = f (x + 2)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 0]$ 上单调递增，若 $a = 1$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = 3$ ，则 $f (a), f (b), f (c)$ 的大小关系为（）

A、 $f (c) > f (a) > f (b)$ B、 $f (c) > f (b) > f (a)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (a) > f (c) > f (b)$

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15、函数 $y = \frac{|x^{2} - 1|}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、已知实数 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a c^{2} > b c^{2}$ C、 $a - \frac{b}{a} > b - \frac{a}{b}$ D、 $\frac{b}{a} > \frac{b + 1}{a + 1}$

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17、已知命题 $p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 > 0$ ，则（）．

A、 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} + 2 > 0$ B、 $\neg p : \exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} - x_{0} + 2 \leq 0$ C、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 < 0$ D、 $\neg p : \forall x \in R$ ， $e^{x} - x + 2 \geq 0$

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18、已知 $A = \{x ∣ |x| \leq 1\}, B = {x | x < 4, x \in N}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $\{1\}$ D、 $\{0, 1\}$

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19、已知 $x \in [0, \frac{π}{4}], sin x + cos x = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $tan (x - \frac{3 π}{4}) =$ ．

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20、（1）若 $f (x) = sin (x - \frac{π}{4})$ ，求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；
（2）化简求值： $2 \sqrt{3} \times 3 \sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$ .

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