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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ， $\vec{c} = (4, - x)$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线.

(1)、证明： $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、若 $| \vec{a} + t \vec{c} | = \sqrt{10}$ ，求 $t$ 的值.

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2、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角.
(1)求 $\sin 2 α$ 的值；
(2)求 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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3、已知向量 $\overset{⃑}{a} = (1, 1)$ ， $\overset{⃑}{b} = (2, - 3)$
（1）若 $\overset{⃑}{c} = 2 \overset{⃑}{a} + 3 \overset{⃑}{b}$ ，求 $\overset{⃑}{c}$ 的坐标；
（2）若 $λ \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}$ 与 $\overset{⃑}{a}$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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4、如图， $P$ 为矩形 $A B C D$ 边 $A B$ 中点， $M$ ， $N$ 分别在线段 $E F$ 、 $C D$ 上，其中 $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $A E = B F = 1$ ，若 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{P N} = 4$ ，则 $|\overset{⃑}{P M} + \overset{⃑}{P N}|$ 的最小值为．

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5、已知 $\vec{a} = (- \frac{\sqrt{3}}{2}, 2), \vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的投影向量是（用坐标表示）

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6、函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x$ 的最大值为．

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7、已知 $\tan (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α =$ .

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8、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(\frac{π}{6}, 0)$ B、直线 $x = - \frac{11 π}{12}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、若 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ D、方程 $f (x) = a$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上只有一个根时，实数 $a$ 的取值范围为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup {1}$

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9、已知在 $△ A B C$ 中，角A，B， $C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 且 $A = 60^{°}$ ， $b = 2$ ， $c = \sqrt{3} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $C = 75^{°}$ 或 $C = 105^{°}$ B、 $B = 45^{°}$ C、 $a = \sqrt{6}$ D、该三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

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10、下列说法中错误的为（）

A、已知 $\overset{⃑}{a} = (1, 2)$ ， $\overset{⃑}{b} = (1, 1)$ 且 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\vec{a} + λ \overset{⃑}{b}$ 夹角为锐角，则λ的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$ B、已知 $\overset{⃑}{a} = (2, - 3)$ ， $\overset{⃑}{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ 不能作为平面内所有向量的一组基底 C、若 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 平行，则 $\overset{⃑}{a}$ 在 $\overset{⃑}{b}$ 方向上的投影数量为 $|\overset{⃑}{a}|$ D、若非零 $\overset{⃑}{a}$ ， $\overset{⃑}{b}$ 满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}| = |\overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}$ 的夹角是60°

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11、下列各式中，值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是（）

A、 $\sqrt{\frac{1 - \cos 120^{°}}{2}}$ B、cos² $\frac{π}{12}$ －sin² $\frac{π}{12}$ C、cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D、 $\frac{\tan 15^{°}}{1 - \tan^{2} 15^{°}}$

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12、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2 x, - 3)$ 且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、－3 B、 $- \frac{3}{4}$ C、0 D、 $\frac{3}{4}$

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13、在直角梯形ABCD中， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = 0, ∠ B = 30 °, A B = 2 \sqrt{3}, B C = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 上一点，且 $\vec{A E} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，当 $x y$ 的值最大时， $| \vec{A E} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ， $B C = 2$ ， $C = 60 °$ ，则边 $A B$ 的长度等于（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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15、若向量 $\vec{a} = (2, 1), \vec{b} = (2, 2)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(- 2, - 3)$ D、 $(6, 3)$

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16、已知 $\sin (\frac{π}{4} - x) = \frac{3}{5}$ ，则 $\sin 2 x$ 的值为

A、 $\frac{19}{25}$ B、 $\frac{16}{25}$ C、 $\frac{14}{25}$ D、 $\frac{7}{25}$

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17、已知 $▱ A B C D$ 的三个顶点 $A (- 1, - 2), B (3, 1), C (0, 2)$ ，则顶点D的坐标为（）

A、 $(2, - 3)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(4, 5)$ D、 $(- 4, - 1)$

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18、为了得到函数 $y = \cos \frac{x}{5}$ 的图象，只需把余弦曲线 $y = \cos x$ 上所有的点（）

A、横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，纵坐标不变 C、纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{5}$ ，横坐标不变

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19、函数 $f (x) = \ln (e^{x} + 1) - \frac{x}{2}$ ，则，（）

A、是偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 B、是偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减 C、是奇函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 D、是奇函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减

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20、欧几里得在《几何原本》中证明算术基本定理：任何一个大于1的自然数，可以写成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，这个乘积形式是唯一的．对于任意正整数 $n$ ，记 $f (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的个数， $g (n)$ 为 $n$ 的所有正因数的和．

(1)、若数列 $a_{n} = f (3^{n})$ ， $b_{n} = g (3^{n})$ ， $c_{n} = \frac{3^{a_{n}}}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，
①写出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ；
②求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、对于互不相等的素数 $p$ 、 $q$ 、 $r$ ，证明： $f (p^{3} q^{2} r) = f (p^{3}) f (q^{2}) f (r)$ ， $g (p^{3} q^{2} r) = g (p^{3}) g (q^{2}) g (r)$ ，并求 $\frac{g (2200)}{f (2200)}$ 的值．

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