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相关试卷

1、已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 如图所示， $3 A B = 3 A A_{1} = 6 A D = \sqrt{6} A_{1} B$ ， $∠ A B C = ∠ A D D_{1} = 120^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C_{1}}$ ，求二面角 $A - A_{1} B - E$ 的余弦值．

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2、为迎接新一年五四青年节，某中学举办了一次名为《回首辉煌路，做好接班人》的党团史竞赛并计划对成绩前10%的学生进行颁奖.试卷满分为100分，所有学生成绩均在区间 $[40, 100]$ 分内.已知该校高一、高二、高三年级参加的学生人数分别为200、250、300.现用分层抽样的方法抽取了75名学生的答题成绩，绘制了如下样本频率分布直方图.
年级
样本平均数
样本方差
高一
75
75
高二
69
$s_{2}^{2}$
高三
$\bar{x_{3}}$
55

(1)、根据样本频率分布直方图估计该校全体学生成绩的众数、平均数以及得奖的最低分数；

(2)、已知所抽取各年级答题成绩的平均数、方差的数据如下表，且根据频率分布直方图估计出总成绩的方差为80，求高三年级学生成绩的平均数 $\bar{x_{3}}$ 和高二年级学生成绩的方差 $s_{2}^{2}$ .

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3、已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $cos A cos B + cos C = {sin}^{2} C - {sin}^{2} A - {sin}^{2} B$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 5$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上，且 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的角平分线，求 $S_{△ A C D}$ .

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4、已知函数 $f (x) = \frac{4 {cos}^{4} x - 4 {cos}^{2} x + 1}{2 tan (\frac{π}{4} + x) {cos}^{2} (\frac{π}{4} + x)}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和值域；

(2)、先将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间.

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5、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x + \frac{π}{6}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, π]$ 内不存在零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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6、已知一底面边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为.

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7、已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，点 $P$ 为正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点（包含边界），下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 是 $A_{1} B_{1}$ 中点，则 $M$ 、 $P$ 、 $B$ 、 $D$ 四点共面 B、存在点 $P$ ，使得直线 $B P$ 与 $A A_{1}$ 所成角为 $60^{\circ}$ C、若直线 $B P //$ 平面 $A M B_{1}$ ，则三棱锥 $P - A M B_{1}$ 的体积为定值 D、若 $B P = \sqrt{6}$ ，那么 $P$ 点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a + b = 4$ ，则 $a b$ 的最大值为 $4$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为 $1$ C、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ D、若 $a + 2 b + a b = 30$ ，则 $2 a + b$ 的最小值为 $11$

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9、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $l_{1} // α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} // β$ B、若 $m \subset α$ ， $n // α$ ， $m$ ， $n$ 共面，则 $m // n$ C、若 $l_{1}$ 不垂直于 $α$ ，且 $l_{2} \subset α$ ，则 $l_{1}$ 必不垂直于 $l_{2}$ D、若 $l_{1} ⊥ α$ 且 $α // β$ ，则 $l_{1} ⊥ β$

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10、已知 $f (x) = | {log}_{a} x |$ ， $a > 1$ ，记集合 $A = {x \in R |f (x) \leq 1}$ ， $B = {x \in R |f (f (x) + b) \leq 1}$ ，若 $A = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3} + 1}{2}, + \infty)$ B、 $[\frac{3}{2}, + \infty)$ C、 $[\frac{\sqrt{6} + 1}{2}, + \infty)$ D、 $[\frac{\sqrt{5} + 1}{2}, + \infty)$

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11、已知一函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|} - x^{2}$ ，其定义域为 $(- 4, 4)$ ，则满足不等式 $f (x) - f (2 x + 1) > 0$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1, - \frac{1}{3})$ B、 $(- \frac{5}{2}, - 1)$ C、 $(- \frac{5}{2}, \frac{1}{3}) \cup (1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{5}{2}, - 1) \cup (- \frac{1}{3}, \frac{3}{2})$

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12、一个袋子中有完全相同的 $x$ 个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是 $\frac{1}{10}$ .现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（）

A、 $\frac{36}{125}$ B、 $\frac{12}{125}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{4}{25}$

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13、在平行四边形 $A B C D$ 中， $P$ 是线段 $B D$ 上一点， $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N C}$ ， $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A D}$ .若 $A P // M N$ ，则 $x =$ （）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{9}{17}$ C、 $\frac{10}{17}$ D、 $\frac{11}{17}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $(λ \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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15、已知集合 $U = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $M = \{1, 2\}$ ， $N = \{2, 3\}$ ，则 $∁_{U} (M \cup N) =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{1, 3, 4\}$

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16、已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2, D C = 3, ∠ A D C = 60 °$ ， $E, F$ 是线段 $D C$ 的两个三等分点（ $E$ 在 $F$ 的左侧）， $M$ 是线段 $A F$ 上靠近 $A$ 的三等分点（如图①．将 $△ D A E$ 沿 $A E$ 翻折到 $△ P A E$ 的位置，连结 $P B, P C$ 得到四棱锥 $P - A B C E$ （如图②）．

(1)、求证： $A E ⊥ P M$ ；

(2)、当 $P M ⊥ A F$ 时，
①求平面 $P A E$ 与平面 $A B C E$ 所成二面角的余弦值；
②求直线 $P C$ 与平面 $P A E$ 所成角的正弦值．

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17、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B = \sqrt{3} b sin \frac{A}{2}, b = 4$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $cos B = \frac{2 \sqrt{7}}{7}, D$ 是线段 $B C$ 的中点，求线段 $A D$ 的长．

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18、如图，在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知 $M$ 是线段 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D_{1} C / /$ 平面 $D B_{1} M$ ；

(2)、若 $B C ⊥ B D$ ，平面 $A B C D ⊥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ ， $A_{1} D_{1} ⊥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ ，求证： $A_{1}, B, C, D_{1}$ 四点共面．

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19、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $(3 \vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 9$ ，向量 $\vec{c} = t \vec{a} + (2 - t) \vec{b}$ 满足 $\vec{c} ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求实数 $t$ 的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角．

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20、富比尼原理，又称为“算两次”思想，即对待同一个量，从不同的角度去考虑，以此建立等量关系或不等关系，从而达到解决问题的目的．如图，在边长为2的正九边形 $A B C D E F G H I$ 中， $\vec{A E} \cdot \vec{A I}$ 的值为；由向量关系 $\vec{A E} = \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D E}$ ，可得 $\vec{A E} \cdot \vec{A I} = (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C D} + \vec{D E}) \cdot \vec{A I}$ ，进而得 $cos \frac{7 π}{9} + cos \frac{5 π}{9} + cos \frac{3 π}{9} + cos \frac{π}{9}$ 的值为．

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年级	样本平均数	样本方差
高一	75	75
高二	69	$s_{2}^{2}$
高三	$\bar{x_{3}}$	55