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相关试卷

1、已知命题 $p : \forall x > 0, \sqrt{3 - x} > 0$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x > 0, \sqrt{3 - x} \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \leq 0, \sqrt{3 - x_{0}} \leq 0$ C、 $\exists x_{0} > 0, \sqrt{3 - x_{0}} \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0, \sqrt{3 - x} \leq 0$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ，点 $O$ 为坐标原点，线段 $O A$ 的中点恰好为 $F$ ，点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、设点 $E$ 在直线 $x = 4$ 上，过 $F$ 作 $E F$ 的垂线交椭圆 $C$ 于 $M, N$ 两点．记 $△ M O E$ 与 $△ N O E$ 面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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3、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = P C = 2, M, N$ 分别为 $P D, P B$ 的中点.

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、求二面角 $C - P B - D$ 的正弦值.

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4、随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为．

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5、中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台（古人称方台）体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图（1）为俯视图，图（2）为立体切面图. $E$ 对应的是正四棱台中间位置的长方体， $B, D, H, F$ 对应四个三棱柱， $A, C, I, G$ 对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为.

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6、 ${(\sqrt{x} - \frac{a}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中的常数项是10，则 $a =$ .

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7、已知复数 $z = a - i (a \in R)$ ，且 $\frac{6 i}{z}$ 的虚部为3，则（）

A、 $a = 1$ B、 $|\frac{3}{z}| = 2 \sqrt{2}$ C、 $(z + 2) \cdot (1 - 3 i)$ 为纯虚数 D、 $\frac{2 + i}{z + 2}$ 在复平面内对应的点在第二象限

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ ，圆 $F : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k (x - 2) (k \neq 0)$ 自上而下顺次与上述两曲线交于 $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ 四点，则下列各式结果为定值的是

A、 $| M_{1} M_{3} | \cdot | M_{2} M_{4} |$ B、 $| F M_{1} | \cdot | F M_{4} |$ C、 $| M_{1} M_{2} | \cdot | M_{3} M_{4} |$ D、 $| F M_{1} | \cdot | M_{1} M_{2} |$

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9、已知曲线 $y = e^{x} (a x - \ln x)$ 在点 $(1, a e)$ 处的切线方程为 $y = k x$ ，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $e$

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10、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 平行，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、6 D、 $- 6$

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11、已知集合 $A = {x | - 27 < x^{3} < 8}$ ， $B = {x | | x - 2 | \leq 3, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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12、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - (2 a + 1) x + 2 \ln x + 4 a (a > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x$ ，若对任意 $x_{1} \in (0, 2]$ ，均存在 $x_{2} \in (0, 2]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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13、由1， 2， 3， …，1000这1000个正整数构成集合 $A$ ，先从集合 $A$ 中随机取一个数 $a$ ，取出后把 $a$ 放回集合 $A$ ，然后再从集合 $A$ 中随机取出一个数 $b$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{1}{3}$ 的概率为．

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14、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上的动点，则（）

A、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时， $A P = \frac{2 \sqrt{14}}{3}$ B、直线 $A_{1} P$ 与 $B D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{6}$ C、若 $\vec{B_{1} P} = \frac{1}{3} \vec{B_{1} C}$ ，则二面角 $B - A_{1} P - B_{1}$ 平面角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、当 $B_{1} P = 2 P C$ 时，点 $D_{1}$ 到平面 $A_{1} B P$ 的距离为 $\frac{2}{3}$

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15、在空间直角坐标系Oxyz中， $A (1, 1, 1)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 0, 1)$ ，点H在平面ABC内，则当点O与H间的距离取最小值时，点H的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{2}{3}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ C、 $(- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3})$

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16、设 $A (- 2, 3), B (1, 2)$ ，若点 $P (x, y)$ 在线段 $A B$ 上，则 $\frac{y + 1}{x}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 2, 3]$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(- \infty, - 2]\cup[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (3, + \infty)$

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17、已知向量 $\vec{a} = (x, y)$ ， $\vec{b} = (1, - 2)$ ，从6张大小相同分别标有号码 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的卡片中，有放回地抽取两张， $x$ 、 $y$ 分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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18、给定数组 $5, 4, 3, 5, 3, 2, 2, 3, 1, 2$ ，则错误的是（）

A、中位数为3 B、标准差为 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、众数为2和3 D、第85百分位数为4

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19、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点.若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B M}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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20、若直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，在 $y$ 轴上的截距为 $b$ ，则（）

A、 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $b = 1$ B、 $α = \frac{2 π}{3}$ ， $b = - 1$ C、 $α = \frac{2 π}{3}$ ， $b = 1$ D、 $α = \frac{5 π}{6}$ ， $b = - 1$

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