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相关试卷

1、长沙是一座有着悠久历史和丰富文化底蕴的城市，其当地美食也独具特色．某个假期期间，一名游客前往长沙旅游打卡，现要每天分别从臭豆腐、炸藕夹、剁椒鱼头、辣椒小炒肉、酱板鸭、糖油粑粑这6种美食中随机选择2种品尝（选择的2种美食不分先后顺序），若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（）

A、90 B、120 C、150 D、180

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2、 $\tan \frac{π}{5} \sin \frac{2 π}{5} + \sin \frac{π}{10} =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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3、某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件 $J_{i}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）表示随机事件“第i（ $i = 1, 2, 3$ ）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（）

A、 $J_{1} \cap J_{2}$ B、 $\bar{J_{2} \cup J_{3}}$ C、 $J_{1} \cap J_{2} \cap \bar{J_{3}}$ D、 $\bar{J_{1}} \cap \bar{J_{2}} \cap \bar{J_{3}}$

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4、已知向量 $\vec{m} = (1, - 5)$ ， $\vec{n} = (- 4, 6)$ ，则 $\vec{m} \cdot (\vec{n} - \vec{m}) =$ （）

A、 $- 60$ B、 $- 45$ C、34 D、65

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5、已知 $z = \frac{2 + (a - 2) i}{i}$ （ $a \in R$ ）为纯虚数，则 $a =$ （）

A、1 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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6、已知集合 $A = \{- 7, - 3, 1, 5\}$ ， $B = \{x| y = \lg (x + 2)\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 7, - 3\}$ B、 $\{1, 5\}$ C、 $\{- 3, 1, 5\}$ D、 $\{5\}$

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7、函数 $y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为.

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8、正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以 $P ， Q ， R ， S ， T$ 为顶点的多边形为正五边形，且 $\vec{A T} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \vec{T S}$ ，设 $\vec{E S} - \vec{A P} = λ \vec{B Q} (λ \in R)$ ，则 $λ =$ ．

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9、如图，点 $D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的动点，已知 $A B = B C = 3$ ，且 $A B ⊥ B C$ ，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A C D$

(1)、证明： $B D ⊥ B C$ ；

(2)、若线段 $A C$ 上存在一点 $E$ 满足 $\vec{C E} = 2 \vec{E A}$ ，当三棱锥 $C - A B D$ 的体积取得最大值时，求平面 $B E D$ 与平面 $A E B$ 夹角的余弦值．

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10、

(1)、直线 $l_{1} : x + y - 2 m = 0$ 与直线 $l_{2} : (m^{2} - 2) x - y + 2 = 0$ 平行，求 $m$ 的值；

(2)、直线 $l_{1} : a x + (1 - a) y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : (a - 1) x + (2 a + 3) y - 2 = 0$ 垂直，求 $a$ 的值.

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11、已知 $A (3, 5)$ 、 $B (5, 7)$ ，直线 $l$ 的斜率是直线 $A B$ 斜率的 $\sqrt{3}$ 倍，则直线 $l$ 的倾斜角为.

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12、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，点 $B, D$ 在以线段 $A C$ 为直径的圆 $O$ 上运动，且 $B, D, O$ 三点共线，点 $M, N$ 分别是线段 $B C, C_{1} D_{1}$ 的中点，下列说法中正确的有（）

A、存在点 $B$ ，使得平面 $A B C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 不垂直 B、当直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积最大时，直线 $A_{1} C$ 与直线 $A B_{1}$ 垂直 C、当 $A B = 2$ 时，过点 $A_{1}, B, N$ 的平面截该四棱柱所得的截面周长为 $2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{2}$ D、当 $A B = 2$ 时，过 $M N$ 的平面截该四棱柱的外接球，所得截面面积的最小值为 $\frac{5 π}{2}$

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13、点 $M$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的点，以 $M$ 为圆心的圆与 $x$ 轴相切于椭圆的焦点 $F$ ，圆 $M$ 与 $y$ 轴相交于 $P, Q$ 两点，若 $△ P Q M$ 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, 1)$ D、 $(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2})$

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14、已知递减等差数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2024}$ 是方程 $x^{2} - 2025 x + 2024 = 0$ 两个实根，当 $a_{n} = 0$ 时， $n =$ （）

A、2026 B、2025 C、1012 D、2

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15、如图，设 $△ A B C$ 中角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A D$ 为 $B C$ 边上的中线，已知 $c = 1$ 且 $2 c \sin A \cos B = a \sin A - b \sin B + \frac{1}{4} b \sin C, \cos ∠ B A D = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .
（1）求b边的长度；
（2）求 $△ A B C$ 的面积；
（3）设点 $E, F$ 分别为边 $A B, A C$ 上的动点，线段 $E F$ 交 $A D$ 于G，且 $△ A E F$ 的面积为 $△ A B C$ 面积的一半，求 $\vec{A G} \cdot \vec{E F}$ 的最小值.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2为菱形， $∠ D A B = 60^{\circ}, △ P A D$ 是以 $P A$ 为斜边的等腰直角三角形， $F, G$ 分别是 $P B, C D$ 的中点.

(1)、求证： $G F$ $/ /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、设 $E$ 为 $A B$ 的中点，过 $E, F, G$ 三点的截面与棱 $P C$ 交于点 $Q$ ，指出点 $Q$ 的位置并证明.

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17、我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则 $△ A B C$ 的面积为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [{(a b)}^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ，若 ${cos}^{2} C - {cos}^{2} A - {cos}^{2} B = sin A sin B - 1$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为.

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18、若 $\vec{a} = (λ, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 5)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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19、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长相等，且六个顶点都在球 $O$ 的球面上，记正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $V_{1}$ ，球 $O$ 的体积为 $V_{2}$ ，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}} =$ （）

A、 $\frac{14 \sqrt{7} π}{27}$ B、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{54}$ C、 $\frac{7 \sqrt{7} π}{18}$ D、 $\frac{14 \sqrt{7} π}{9}$

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20、如图，在海面上有两个观测点 $B$ ， $D$ ，点 $B$ 在 $D$ 的正北方向，距离为 $3 km$ ，在某天10：00观察到某商船在 $C$ 处，此时测得 $∠ C B D = 45^{\circ}$ ， 5分钟后该船行驶至 $A$ 处，此时测得 $∠ A B C = 30^{\circ}$ ， $∠ A D B = 60^{\circ}$ ， $∠ A D C = 30^{\circ}$ ，则该船行驶的距离 $A C =$ （）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} km$ B、 $3 \sqrt{2} km$ C、 $\frac{3 \sqrt{6}}{2} km$ D、 $3 \sqrt{6} km$

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