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相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，定义向量 $\vec{O A} = (m, n)$ 为函数 $f (x) = m \sin x + n \cos x$ 的有序相伴向量.

(1)、设 $\vec{O A} = (\sqrt{3}, 1)$ 为函数 $g (x) = sin (x + φ) - cos (\frac{4 π}{3} - x) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的有序相伴向量，求实数 $φ$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 的有序相伴向量为 $\vec{O B} = (0, 1)$ ，若函数 $h (x) = f (x) + \sqrt{3} |\sin x|$ ， $x \in [0, 2 π]$ 与直线 $y = k$ 有且仅有四个不同的交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、将（1）中所得函数 $g (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $F (x)$ .已知 $M (- 2, 3)$ ， $N (2, 6)$ ，请问在函数 $F (x)$ 图象上是否存在一点 $F$ ，使得 $\vec{F M} ⊥ \vec{F N}$ 成立.若存在，求出 $F$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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2、如图所示，红星高级中学要在一块扇形空地上修建一个矩形花园，矩形 $C D E F$ 的四个顶点均在边界上，扇形 $A O B$ 的半径 $O A = 30 m$ ， $∠ A O B = 60 °$ ， $∠ C D O = θ$ ， $D O$ ， $E O$ 分别交 $C F$ 于 $H$ ， $G$ .

(1)、当 $θ = \frac{π}{12}$ 时，求边 $D E$ 的长；

(2)、当矩形 $C D E F$ 的面积 $S$ 取最大值时，求 $\frac{H O}{D O}$ 的值.

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3、已知平面向量 $\vec{a}$ 和非零向量 $\vec{b}$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = 60 °$ .

(1)、求 $|\vec{b}|$ 及 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

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4、函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $f (\frac{π}{4}) =$ .

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5、已知向量 $\vec{a} = (- m, 4), \vec{b} = (m - 1, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ .

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6、已知等边 $△ A B C$ 的边长为3，点 $D$ ， $E$ 为边 $A C$ 的两个三等分点，点 $D$ 靠近点 $A$ ，点 $G$ 在线段 $A B$ 上运动，设 $|\vec{B E} + \vec{D G}|$ 的最大值为 $M$ ，最小值为 $N$ ，则 $M^{2} + 4 N^{2} =$ （）

A、8 B、10 C、19 D、 $\frac{115}{4}$

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7、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，由 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B$ ， $D$ 四个点为顶点的正四面体 $B - A_{1} C_{1} D$ 的表面积为 $a^{2}$ ，则该正方体的表面积为（）

A、 $\sqrt{2} a^{2}$ B、 $\sqrt{3} a^{2}$ C、 $2 a^{2}$ D、 $\sqrt{6} a^{2}$

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8、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平面内两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D C} = 3 \vec{a} - \vec{b}$ ， $\vec{D B} = - \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列三点一定共线的是（）

A、 $A$ ， $B$ ， $C$ B、 $A$ ， $B$ ， $D$ C、 $A$ ， $C$ ， $D$ D、 $B$ ， $C$ ， $D$

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9、在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义 $1 - cos θ$ 为角 $θ$ 的正矢（ $V e r \sin e$ 或 $V e r s e d \sin e$ ），记作 $ver \sin θ$ ；定义 $1 - sin θ$ 为角 $θ$ 的余矢（Coversed或coversedsine），记作 $covers θ$ ．

(1)、设函数 $f (x) = \sqrt{3} ver \sin x + cov ers x - 1 - \sqrt{3}$ ，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 时，设函数 $g (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{2 - versin 2 x}, versin x \leq covers x \\ 2 - |covers 2 x|, versin x > covers x \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $g (x) = k$ 的有三个实根 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则：
①求实数 $k$ 的取值范围；
②求 $\frac{k + 1}{versin 4 x_{3} + 3 k} + covers (x_{1} + x_{2})$ 的取值范围．

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10、如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $2 B D = C D, A E = D E, \vec{A B} = λ \vec{A P}, \vec{A C} = μ \vec{A Q}, A B = 4, A C = 3$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ；

(1)、用 $\vec{A B}, \vec{A C}$ 表示 $\vec{A D}$ ；

(2)、若 $λ = 2 μ$ ，求 $P Q$ 的长度；

(3)、当 $\frac{1}{λ} + \frac{2}{μ}$ 取最小值时，求 $\vec{A D} \cdot \vec{P Q}$ ．

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，且 $2 b sin C - a sin B = b tan B cos A$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为8，外接圆的面积为 $3 π$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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12、如图，在三棱锥 $A - B C D$ 中， $C D = 4 \sqrt{3}, B C = 2 \sqrt{3}, ∠ B D C = 30 °, B C ⊥ A D$ ．

(1)、求证：平面 $B C D ⊥$ 平面 $A B D$ ；

(2)、当 $A B = A D = 4$ 时，求二面角 $A - B C - D$ 的正弦值．

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13、已知 $α \in (0, π), \sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求 $tan (α + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $β \in (0, \frac{π}{2}), tan β = \frac{1}{2}$ ，求 $cos (α + β)$ 的值．

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14、若存在实数 $m$ ，使得对于任意的 $x \in [a, b]$ ，不等式 $m^{2} + sin x cos x \leq 2 cos (x + \frac{π}{4}) \cdot m$ 恒成立，则 $b - a$ 的最大值为．

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15、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达 $A$ 处时测得公路右侧一山底 $C$ 在西偏北 $30 °$ 的方向上；行驶 $100 m$ 后到达 $B$ 处，测得此山底 $C$ 在西偏北 $75 °$ 的方向上，山顶 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，则此山的高度 $C D =$ $m$ ．

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16、 $△ A B C$ 按斜二测画法得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，如图所示，其中 $A^{'} O^{'} = B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为．

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17、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列说法正确的是（）

A、直线 $A C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、若点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 表面上运动且满足 $C_{1} P = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$ C、四棱锥 $B_{1} - A B C D$ 与四棱锥 $C_{1} - A B C D$ 公共部分的体积为 $\frac{5}{24}$ D、设直线 $A C_{1}$ 与平面 $A_{1} B D$ 交于点 $M$ ，则三棱锥 $M - A_{1} B_{1} B$ 外接球的表面积为 $3 π$

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18、已知 $z_{1}, z_{2}$ 是复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} \cdot z_{2} = 0$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 0$ B、若 $z_{1} - z_{2} > 0$ ，则 $z_{1} > z_{2}$ C、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$ D、若 $z = \sqrt{3} (cos θ + isin θ)$ ，则 $|z - 2 - 4 i|$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{3}$

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19、在 $△ A B C$ 中， $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ， $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ，若 $△ A B C$ 有两个解，则 $b$ 的值可以为（）

A、2 B、3 C、4 D、 $\sqrt{5}$

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20、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2}$ ，点 $P$ 为 $△ A B C$ 平面内一点，且 $\vec{P B} \cdot \vec{B C} = - \frac{1}{2}, \vec{P C} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}, O 、 H$ 分别为 $△ A B C$ 的外心和内心，当 $tan ∠ B A C$ 的值最大时， $O H$ 的长度为（）

A、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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