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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 1 + 2 ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，若存 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 在，满足 $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ ，证明： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、对任意的 $x > 0$ ， $f^{'} (x) \leq x e^{2 x} + \frac{2}{x} - ln x - 1$ 恒成立，其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数，求 $a$ 的取值范围．

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2、某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市民进行调查，结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的 $\frac{3}{7}$ ；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占 $\frac{1}{5}$ ．

(1)、请根据以上数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否上班存在关联？
满意
不满意
合计
上班族
非上班族
合计

(2)、该机构欲再从全市随机选取市民，进一步征求改善交通现状的建议．规定：抽样的次数不超过6次，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到6次时，抽样结束．以调查数据中的满意度估计全市市民的满意度，求抽样次数 $X$ 的分布列和数学期望．
附：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{0}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{b c}{3 sin B}$ ， $tan A tan B = 4$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 3$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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4、若直线 $y = k x$ 与曲线 $y = ln x + \frac{1}{2 x}$ 相切，则 $k =$ ．

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5、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (1, 2)$ ， $B (3, 1)$ ， $C (5, m)$ ，且 $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，则 $m =$ ．

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6、已知函数 $f (x) = a x^{3} - 3 x^{2} + 1$ ，则下列命题中正确的是（）

A、1是 $f (x)$ 的极大值 B、当 $- 1 < a < 0$ 时， $f (a - 1) < f (a)$ C、当 $a > 2$ 时， $f (x)$ 有且仅有一个零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} > 0$ D、若 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{1}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，其中 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$

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7、已知 $a$ ， $b > 0$ ，且 $a b = a + 2 b + 6$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值为18 B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为36 C、 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{2}{3}$ D、 $a + b$ 的最小值为 $3 + 4 \sqrt{2}$

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8、已知直线 $a$ ， $b$ 与平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ B、 $α / / γ$ ， $β ⊥ γ$ C、 $α \cap β = b$ ， $a ⊥ b$ ， $a \subset α$ D、 $a / / b$ ， $b ⊥ β$ ， $a \subset α$

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9、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导数， $f (1 - x) + f (1 + x) = 0$ ， $f (2) = 0$ ，当 $x > 1$ 时， $(x - 1) f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1) \cup (1, 2)$ B、 $(0, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (1, 2)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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10、已知圆台的高为1，下底面的面积 $16 π$ ，体积为 $\frac{37}{3} π$ ，则该圆台的外接球表面积为（）

A、 $64 π$ B、 $81 π$ C、 $100 π$ D、 $121 π$

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11、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_{4} = 0, a_{5} = - 5$ ，则（）

A、 $a_{n} = - 2 n + 5$ B、 $a_{n} = 3 n - 10$ C、 $S_{n} = - 2 n^{2} + 8 n$ D、 $S_{n} = - \frac{1}{2} n^{2} + 2 n$

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12、已知 $f (x) = \{\begin{cases} {log}_{a} x - 2 x, x > 0 \\ {log}_{2} (- x) + b x, x < 0 \end{cases}$ 是奇函数，则 $a + b =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、0 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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13、抛掷2枚质地均匀的骰子，在掷出的两枚骰子点数之和为6点的条件下，点数均为奇数的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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14、若 $sin 20^{\circ} = m$ ，则 $tan 160^{\circ} =$ （）

A、 $\frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}$ B、 $- \frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}$ C、 $\frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$ D、 $- \frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$

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15、已知函数 $f (x) = (x - a) \ln x - x + a - 3 (a \in R)$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 的极小值．

(2)、讨论函数 $f^{'} (x)$ 的单调性；

(3)、当 $a = 2$ 时，证明： $f (x)$ 有且只有 $2$ 个零点．

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16、设 $a > 0$ ，函数 $f (x) = a x^{3} - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求过点 $(0, - 1)$ 且与曲线 $y = f (x)$ 相切的直线方程：

(2)、 $x_{1}, x_{2}$ 是函数 $f (x)$ 的两个极值点，证明： $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 为定值．

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17、已知：函数 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，当 $x \geq 0$ 时， $f^{'} (x) > f^{'} (- x)$ ，若 $g (x) = f (x) + f (- x)$ ，且对任意 $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，不等式 $g (a x + 1) \leq g (x - 2)$ )恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是

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18、 $\lg (\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}}) =$ .

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19、若实数 $x ， y$ 满足 $x^{2} + y^{2} = 4 + x y$ ，则（　　）

A、 $x + y \geq - 4$ B、 $x + y \leq 2$ C、 $x^{2} + y^{2} \leq 8$ D、 $x^{2} + y^{2} \geq 4$

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20、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（）

A、 $A C_{1} = \sqrt{6}$ B、 $A C_{1} ⊥ B D$ C、四边形 $B D D_{1} B_{1}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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	满意	不满意	合计
上班族
非上班族
合计

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{0}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828