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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x ln x$ ．

(1)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $0 < a < 2$ 时，若曲线 $f (x)$ 上的动点 $P$ 到直线 $2 x - y - 11 e = 0$ 距离的最小值为 $2 \sqrt{5} e$ （ $e$ 为自然对数的底数）．
①求实数 $a$ 的值；
②求证： $f (x) < e^{x} + cos x - 2$ ．

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2、已知函数 $f (x) = x \ln x - a x + 1$ ，数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $\frac{1}{4} < a_{1} < 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{5 - 4 a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明：对任意 $n \in N^{*}$ ， $\frac{1}{4} < a_{n + 1} < a_{n} < 1$ ；

(3)、定义 $a_{0} = 1$ ，证明： $\sum_{k = 0}^{n} (a_{k} - a_{k + 1}) a_{k + 2} < \frac{\ln 2}{2}$ .

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3、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (\sqrt{2} < b < 2)$ 的左右焦点，直线 $l$ 与椭圆交于A、B两点，当 $∠ F_{1} F_{2} A = \frac{π}{3}$ 时， $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、已知椭圆E与x轴负半轴交于点M，直线 $M A$ 与 $M B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）设 $△ A M O$ 与 $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{5}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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4、甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱中有3个红球、3个白球，乙箱中有 $m (m \geq 2)$ 个红球，其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱中随机摸出2个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱中随机摸出2个球.已知摸到白球的概率是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求m；

(2)、记摸到红球的个数为随机变量X，求X的分布列和均值.

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5、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = B D = \sqrt{6}$ ， $C D = 2 \sqrt{2}$ . $O$ 为 $C D$ 的中点， $H$ 为 $B O$ 的中点， $A H ⊥$ 平面 $B C D$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A H D$ ；

(2)、若 $A B$ 与底面 $B C D$ 所成角的正切值是2，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值.

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6、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边， ${(\sin B - \sin C)}^{2} = \sin^{2} (B + C) - \sin B \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求A；

(2)、若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求 $A D$ 的最小值.

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7、在量子通信中，光子极化序列需满足以下条件：
（1）每个极化方向为水平（H）或垂直（V）；
（2）任意三个连续光子中不能有全相同的极化方向；
（3）序列的首尾极化方向必须相同.
如“ $H V H$ ”是一个长度为3的合法序列.则长度为7的合法序列数目为.

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8、已知 $f (x) = \cos (π x + \frac{π}{6}) \cdot \ln x$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0, 3]$ 上的所有零点之和为.

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9、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的两个焦点分别是 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ ，焦距为4，M是双曲线上的一点，且 $|M F_{1}| = 3$ ，则 $△ M F_{1} F_{2}$ 的面积是.

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10、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 4 y$ 与圆M： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = r^{2}$ 交于A，B两点，圆M与y轴的负半轴交于点P， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $r > 1$ B、若 $△ P A B$ 为等边三角形，则 $r = 4$ C、存在 $r$ ，使得 $|O P| = |O A|$ D、直线 $P A$ 与抛物线C相切

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11、已知函数 $f (x) = \cos 2 x + 2 \sin x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 是奇函数 C、曲线 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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12、若平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角相等，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 3$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|$ 的取值可以为（）

A、0 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、6

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13、若 $b > 1$ ， $a \in R$ ，且 $e^{a} + 2 \ln b = \frac{1}{b} - a$ ，则（）

A、 $a^{2} < b$ B、 $a^{2} > b$ C、 $e^{a} > b^{- 1}$ D、 $e^{a} > b^{- 2}$

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14、若 $\tan (α + β) = 3 \tan α$ ， $\sin (2 α + β) = \frac{4}{5}$ ，则 $\sin β =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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15、在圆台 $O_{1} O_{2}$ 中，圆 $O_{2}$ 的半径是圆 $O_{1}$ 半径的2倍，且点 $O_{2}$ 为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{3}}{16}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{96}$ C、 $\frac{21 \sqrt{3}}{32}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{32}$

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16、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = a_{5}$ ，若 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{m}$ 成等比数列，则 $m =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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17、2024年6月，国家卫健委等16部门联合发布《“体重管理年”活动实施方案》，旨在通过三年行动提升全民体重管理意识，推广健康生活方式.体重指数（体重公斤数除以身高米数平方）是常用的衡量人体胖瘦程度的一个标准，中国成人参考标准如下表.某中学在高三年级学生中随机抽取10人并计算出他们的体重指数分别为：16，18，18，19，19.7，20.3，21，22，26，30，则下列结论不正确的是（）
偏瘦
<18.5
正常
18.5~23.9
偏胖
24~27.9
肥胖
≥28

A、这组数据的中位数为20 B、该组数据的极差为14 C、这十个人的平均体重正常 D、从该校学生中随机抽取一人，体重偏胖概率为20%

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18、已知 $m, n \in R$ ，则“ $(m - 1) (n - 1) = 0$ ”是“ ${(m - 1)}^{2} + |n - 1| = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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19、已知集合 $A = \{x |x = 2 k + 1, k \in N\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 3\}$ B、 $\{1, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{- 1, 1, 3\}$

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20、已知 ${(3 x^{2} + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的二项展开式有7项．

(1)、求 $n$ ，并求出所有二项式系数之和；

(2)、求展开式中含 $x^{7}$ 项的系数；

(3)、求展开式中的有理项．

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偏瘦	<18.5
正常	18.5~23.9
偏胖	24~27.9
肥胖	≥28