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相关试卷

1、在锐角 $△ A B C$ 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，其面积为S，且 $(b - a) (b + a) + a c \cos B = \frac{2 \sqrt{3}}{3} S$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求S的取值范围．

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2、为了解某年级学生对《居民家庭用电配置》的了解情况，校有关部门在该年级进行了一次问卷调查(共10道题)，从该年级学生中随机抽取24人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10]五组，得到如下频率分布直方图.
（1）估计这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
（2）用分层随机抽样的方法从[4，6)，[6，8)，[8，10]的组别中共抽取12人，分别求出抽取的三个组别的人数；
（3）若从答对题数在[2，6)内的人中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率.

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3、已知两直线 $l_{1} : 3 x + y - 9 = 0$ 和 $l_{2} : 2 x - y - 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $P$ 且与直线 $x + 2 y - 1 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的一般式方程；

(2)、若圆 $C$ 过点 $(- 2,5)$ 且与 $l_{1}$ 相切于点 $P$ ，求圆 $C$ 的标准方程．

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4、在四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $A B = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $M$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则异面直线 $A D_{1}$ 与 $B M$ 所成角的余弦值为．

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, m, n), \vec{b} = (m^{2}, n, 32)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m n =$ ．

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6、数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线 $C : x^{2} + y^{2} = 2 |x| + 2 |y|$ 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）

A、曲线 $C$ 围成的图形的周长是 $4 \sqrt{2} π$ B、曲线 $C$ 围成的图形有 $6$ 条对称轴 C、若 $T (a, b)$ 是曲线 $C$ 上任意一点， $|4 a + 3 b - 18|$ 的最小值是 $11 - 5 \sqrt{2}$ D、曲线 $C$ 上的任意两点间的距离不超过 $6$

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7、下列给出的命题正确的是（）

A、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1, 0, 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2, 0, \frac{2}{3})$ ，则 $l // α$ B、两个不重合的平面 $α, β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1), \vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一组基底，则 $\{\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}\}$ 也是空间的一组基底 D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点P为平面ABC上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} - n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m - n = \frac{1}{2}$

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8、已知点A，B，C，D，P，Q都在同一个球面上， $A B C D$ 为正方形，若直线PQ经过球心，且 $P Q ⊥$ 平面 $A B C D$ .则异面直线 $P A, Q B$ 所成的角的最小值为（）

A、 $60 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $15 °$

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9、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = B C = 4$ ， $P B = A C = 5$ ， $P C = A B = \sqrt{11}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、 $26 π$ B、 $12 π$ C、 $8 π$ D、 $24 π$

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10、如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为a，以下结论中，错误的是（）

A、异面直线 $A_{1} D$ 与 $A B_{1}$ 所成的角为 $60 °$ B、直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 垂直 C、直线 $A_{1} D$ 与 $B D_{1}$ 平行 D、直线 $A_{1} D$ 与 $B_{1} C$ 平行

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11、在空间中，若向量 $\vec{a} = (1, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 3)$ ， $\vec{c} = (3, 3, m)$ 共面，则 $m =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 3$ D、 $- 6$

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12、已知三棱锥 $S - A B C$ ，点 $M$ 是棱 $S A$ 的中点，点 $N$ 是 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{S A} = \vec{a}$ ， $\vec{S B} = \vec{b}$ ， $\vec{S C} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{M N}$ 相等的向量是（）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{6} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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13、直线 $x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $90^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $30^{\circ}$

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14、已知球 $O$ 的直径为 $P C = 2 \sqrt{3}, A 、 B$ 是球面上两点，且 $P A = P B = \sqrt{3}, ∠ A P B = \frac{π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\sqrt{6}$

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15、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2 B C = 4, ∠ A B C = 60 °$ ， E为 $C D$ 的中点．将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折起，连接 $B D$ 与 $C D$ ，如图2．

(1)、当 $B D$ 为何值时，平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B C E$ ?

(2)、设 $\vec{B F} = λ \vec{B D} (0 \leq λ \leq 1)$ ，当 $B E ⊥ D E$ 时，是否存在实数 $λ$ ，使得直线 $A F$ 与平面 $A B C E$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ ？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由．

(3)、当三棱锥 $B - C D E$ 的体积最大时，求三棱锥 $D - A B E$ 的内切球的半径．

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16、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是边长为 $4$ 的正方形， $A A_{1} B_{1} B$ 为矩形， $A B = 3, B C = 5$ .

(1)、求证： $A A_{1} ⊥$ 平面ABC；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值；

(3)、求点C到平面 $A_{1} C_{1} B$ 的距离.

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17、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + n y + 1 = 0$ ，直线 $l_{1} : x - y - 1 = 0$ ， $l_{2} : x - 2 y = 0$ ，且直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 均平分圆 $C$ .

(1)、求圆 $C$ 的标准方程

(2)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - 2 \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，且 $∠ M C N = 120^{\circ}$ ，求实数 $a$ 的值.

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18、两条平行直线 $3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $a x + 8 y - 20 = 0$ 间的距离是．

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19、已知 $\vec{a} = (2, 2, 1), \vec{b} = (1, 0, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为.

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20、对于直线 $l_{1} : a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $l_{2} : 3 x + (a - 1) y + 3 - a = 0$ ．以下说法正确的有（）

A、直线 $l_{2}$ 一定过定点 $(- \frac{2}{3}, 1)$ B、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则 $a = \frac{2}{5}$ C、若 $l_{1} // l_{2}$ ，则 $a = 3$ D、点 $P (1, 3)$ 到直线 $l_{1}$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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