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相关试卷

1、已知 $a = e^{0.7}, b = \ln 2.3, c = \log_{0.8} 5$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

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2、 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 互为共轭复数， $z_{1} = 1 - i$ ，则 $z_{1} \cdot z_{2} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3、定义非零向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 的“相伴函数”为 $f (x) = a sin x + b cos x (x \in R)$ ，向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 称为函数 $f (x) = a sin x + b cos x (x \in R)$ 的“相伴向量”（其中 $O$ 为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 $S$ ．

(1)、设 $h (x) = \sqrt{3} cos (x + \frac{π}{6}) + 3 cos (\frac{π}{3} - x) (x \in R)$ ，请问函数 $h (x)$ 是否存在相伴向量 $\vec{O M}$ ，若存在，求出与 $\vec{O M}$ 共线的单位向量；若不存在，请说明理由．

(2)、已知点 $M (a, b)$ 满足： $\frac{b}{a} \in (0, \frac{1}{2}]$ ，向量 $\vec{O M}$ 的“相伴函数” $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值，求 $tan 2 x_{0}$ 的取值范围．

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4、已知锐角三角形 $A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ 且 $\sqrt{3} c cos A + c sin A = \sqrt{3} b$ ．

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，角 $A$ 与角 $B$ 的内角平分线相交于点 $D$ ，求 $△ A B D$ 面积的取值范围．

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5、如图，现有一直径 $A B ＝ 2$ 百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足 $O C ＝ O D ＝ 2$ 百米（O为AB的中点），市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．

(1)、设 $∠ E O B ＝ θ$ ，试将管道总长（即线段 $E C + E D$ ）表示为变量θ的函数；

(2)、求管道总长的最大值．

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6、如图，在正方体中， $S$ 是 $B_{1} D_{1}$ 的中点， $E, F, G$ 分别是BC、DC、SC的中点.

(1)、求证：平面 $E F G ∥$ 平面 $D B B_{1} D_{1}$ ；

(2)、若正方体棱长为1，过A、E、 $C_{1}$ 三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线（不必说明画法与理由，但要说明点在棱的位置），并求出截面的面积.

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7、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $\frac{sin B}{sin A} + \frac{sin A}{sin B} - 4 cos C = 0$ ．

(1)、证明： $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ；

(2)、若 $cos B = \frac{2 {sin}^{2} B}{sin A sin C}$ ，求角 $A$ 的大小．

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8、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 1$ ， $cos A = \frac{\sqrt{15}}{4}$ ， $b = x$ ，三角形有唯一解，则整数 $x =$ ．

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9、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2)$ ， $\vec{A C} = (2, 3)$ ， $\vec{A D} = (m, - 3)$ ，若B，C，D三点共线，则 $m =$ ．

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10、半径为2cm，圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形面积为 .

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11、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 是棱 $B B_{1}$ 上的一点，点 $F$ 在棱 $D D_{1}$ 上，则下列结论正确的是（）

A、若 $A_{1}$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 四点共面，则 $B E = D F$ B、存在点 $E$ ，使得 $B D / /$ 平面 $A_{1} C E$ C、若 $A_{1}$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 四点共面，则四棱锥 $C_{1} - A_{1} E C F$ 的体积为定值 D、若 $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点，则三棱锥 $E - A_{1} C C_{1}$ 的外接球的表面积是 $32 π$

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12、复数 $z = \frac{2 + i}{1 - i}$ ， i是虚数单位，则下列结论正确的是（）

A、 $| z | = \sqrt{5}$ B、z的共轭复数为 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、z的实部与虚部之和为2 D、z在复平面内的对应点位于第一象限

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13、下列说法错误的是（）．

A、过三个点有且只有一个平面 B、已知直线 $l, m$ ，平面 $α, β$ ， $l ∥ β$ ， $m ∥ β$ ， $l \subset α$ ， $m \subset α$ ，则 $α ∥ β$ C、已知直线 $l, m$ ，平面 $α$ ， $m ∥ l$ ， $l ∥ α$ ，则 $m ∥ α$ D、如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $a + b = \frac{a}{\tan A} + \frac{b}{\tan B}$ ，则 $△ A B C$ 的形状一定是（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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15、已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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16、如图所示， $△ A B C$ 中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则 $\overset{⃑}{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{6} \overset{⃑}{B C}$ B、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{B C}$ C、 $\frac{2}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{B C}$ D、 $\frac{1}{3} \overset{⃑}{B A} + \frac{1}{6} \overset{⃑}{B C}$

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17、已知 $i$ 是虚数单位，则 $\frac{i}{1 - i} =$ （）

A、 $\frac{1 - 2 i}{2}$ B、 $\frac{- 1 + i}{2}$ C、 $\frac{2 + i}{2}$ D、 $\frac{1 + 2 i}{2}$

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18、已知三角形ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) c o s B - b c o s C = 0$ ．

(1)、求角B；

(2)、若b＝2，求 $a + c$ 的取值范围．

(3)、若b＝2，求三角形ABC面积的最大值．

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19、已知 $△ A B C$ 中， $A C = 1, B C = 2, ∠ A B C = 30 °$ ，且边 $A B, B C$ 上的中线 $C E, A D$ 交于点 $M$ .

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求 $\cos ∠ A M C$ 的值.

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20、在 $△ A B C$ 中， $\overset{⃑}{C D} = 2 \overset{⃑}{D B}$ ，设 $\overset{⃑}{A D} = x \overset{⃑}{A B} + y \overset{⃑}{A C}$ （ $x$ 、 $y$ 为实数）.
（1）求 $x$ ， $y$ 的值；
（2）若 $\overset{⃑}{A B} = (1 ， 3)$ ， $\overset{⃑}{A C} = (4 ， 3)$ ，求 $\overset{⃑}{A D} \cdot \overset{⃑}{B C}$ .

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