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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} + \vec{b} = (1, 2)$ ， $\vec{a} - \vec{b} = (- 3, 0)$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、3 D、 $- 3$

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2、我们将满足下列条件的函数 $f (x)$ 称为“ $L$ 伴随函数”：存在一个正常数 $L$ ，对于任意的 $x$ 都有 $f (2 L + x) = f (- x)$ 且 $f (3 L + x) = - f (x)$ .

(1)、是否存在正常数 $L$ ，使得 $f (x) = cos x$ 是“ $L$ 伴随函数”？若存在，请求出一个 $L$ 的值；若不是，请说明理由；

(2)、已知 $f (x)$ 是“ $\frac{π}{4}$ 伴随函数”，且当 $x \in [\frac{π}{4}, π]$ 时， $f (x) = - 2 sin (2 x - \frac{π}{4})$ .
（i）求当 $x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{4})$ 时， $f (x)$ 的解析式；
（ii）若 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} (n \in N^{*})$ 为方程 $f (x) = a (- 2 \leq a \leq 2)$ 在 $[- \frac{π}{2}, \frac{11 π}{2}]$ 上的根，求 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ 的值.

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3、某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，1月底测得凤眼莲的覆盖面积为 $16 m^{2}, 3$ 月底测得凤眼莲的覆盖面积为 $36 m^{2}$ ，凤眼莲的覆盖面积 $y$ （单位： $m^{2}$ ）与月份 $x$ （单位：月）的关系有两个函数模型： $y = k a^{x} (a > 1)$ 与 $y = m x^{2} + n x + \frac{32}{3}$ .

(1)、分别使用这两个函数模型对本次研究进行分析，求出对应的函数解析式；

(2)、若测得6月底凤眼莲的覆盖面积约为 $95 m^{2}$ ，判断上述两个函数模型中哪个更合适.

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4、已知 $θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $tan θ = \frac{cos θ}{4 - sin θ}$ .

(1)、求 $\sin θ$ 的值；

(2)、求 $cos 2 θ - sin 2 θ$ 的值.

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5、已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间 $t$ （单位：h）的变化近似满足函数关系 $f (t) = 28 + A sin (\frac{π}{8} t + \frac{3 π}{4}) (A > 0)$ ， $t \in [0, 24)$ ，且这天的最大温差为 $8 ℃$ ，则 $A =$ ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为h.

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6、命题“ $\forall x \geq 1, x^{2} + 1 > 2$ ”的否定是.

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7、当 $x \in [0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, 2 π]$ ，函数 $f (x) = |\cos x| - |\tan x|$ 的零点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8、 $tan (- {877.5}^{\circ}) =$ （）

A、 $- \sqrt{2} - 1$ B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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9、已知 $m$ 是常数，幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3) x^{m}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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10、已知集合 $M = \{x | x \leq - 2$ 或 $x > 1\}$ ， $N = \{- 2, 0, 1, 2\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{- 2\}$ B、 $\{2\}$ C、 $\{- 2, 2\}$ D、 $\{- 2, 1, 2\}$

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11、已知函数 $f (x) = |x - 2 m| - m (m < 0)$ .

(1)、求不等式 $f (x) \geq 2 x$ 的解集；

(2)、当 $m = - 2$ 时，函数 $f (x)$ 的最小值为 $n$ ，若非零实数 $a, b, c$ 满足 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = n$ ，证明： $\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \geq \frac{3}{2}$ .

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = m t^{2} \\ y = m t \end{array}$ ( $t$ 为参数). 以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{4}) - 2 \sqrt{2} = 0$ .

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $M (6, 2)$ 为线段 $A B$ 的三等分点，求实数 $m$ 的值.

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，过点 $P (a, b)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当 $l$ 过坐标原点 $O$ 时， $|A B| = \sqrt{10}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、线段 $O P$ 上是否存在定点 $Q$ ，使得直线 $Q A$ 与直线 $Q B$ 的斜率之积为定值. 若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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14、已知函数 $f (x) = x ln x - a \sqrt{x} + a (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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15、课外阅读对于培养学生的阅读兴趣，拓宽知识视野、提高阅读能力具有重要作用. 某市为了解中学生的课外阅读情况，从该市全体中学生中随机抽取500名学生，调查他们在寒假期间每天课外阅读平均时长 $t$ (单位：分钟)，得到如下所示的频数分布表，已知所调查的学生中寒假期间每天课外阅读平均时长均不超过100分钟.
时长t
$[0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, 60)$
$[60, 80)$
$[80, 100]$
学生人数
50
100
200
125
25

(1)、估计这500名学生寒假期间每天课外阅读平均时长的平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)、用频率估计概率，从该市中学生中随机抽取2名学生参加座谈，抽到的学生寒假期间每天课外阅读平均时长在 $[0, 20)$ 内记0分，在 $[20, 60)$ 内记1分，在 $[60, 100)$ 内记2分. 用 $X$ 表示这两名学生得分之和，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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16、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ B A D = 60^{\circ} ， |A B| = 1$ ， $|A D| = |C D| = 2 ， B E ⊥ C D$ .

(1)、证明：平面 $B D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A D ⊥ D E ， |D E| = 4 \sqrt{2} ，$ $F$ 为 $C E$ 中点，求直线 $B F$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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17、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $2 a_{n} = S_{n} + n$ .

(1)、证明：数列 $\{a_{n} + 1\}$ 是等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (a_{n} + 1), c_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、设 $F$ 为抛物线 $C : x^{2} = 2 y$ 的焦点，过 $F$ 的直线与 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作 $C$ 的切线，与 $x$ 轴交于点 $D$ ，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，则 $\vec{D E} \cdot \vec{O B}$ (其中 $O$ 为坐标原点) 的值为

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19、在棱长为5的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ 是 $D D_{1}$ 中点，点 $P$ 在正方体的内切球的球面上运动，且 $C P ⊥ A Q$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为（）

A、 $\sqrt{5} π$ B、 $2 \sqrt{5} π$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $5 π$

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20、已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $1 ， M ， N$ 分别是边 $A B ， A D$ 上的点 (均不与端点重合)，记 $△ A M N ， △ C M N$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2}$ . 若 $S_{1} = |\vec{C M} \cdot \vec{A B}| \cdot |\vec{C N} \cdot \vec{A D}|$ ，则 $S_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ B、 $[\sqrt{2} - 1 ， \frac{3}{4})$ C、 $[\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$ D、 $[\sqrt{2} - 1 ， \frac{1}{2})$

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时长t	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100]$
学生人数	50	100	200	125	25