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相关试卷

1、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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2、我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

(1)、已知一个半径为 $R$ 的半球（如图①），以及一个底面半径和高都等于 $R$ 的圆柱（如图②），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，试用祖暅原理求新几何体的体积.

(2)、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, Q$ 为空间内一点，满足 $Q A ⊥ Q D_{1}$ ，记点 $Q$ 的轨迹所围成的空间几何体为 $Ω$ .
（i）求平面 $B D D_{1} B_{1}$ 截空间几何体 $Ω$ 所得截面的面积；
（ii）若平面 $B D D_{1} B_{1}$ 把空间几何体 $Ω$ 分成两个部分，求较小部分的体积.

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2$ .

(1)、若 $A = 45^{\circ}, b = \sqrt{6}$ ，求 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = \sqrt{3}, ∠ A B C = 2 ∠ D A C$ ，求 $c$ ；

(3)、若 $sin (A - B) = \frac{1}{4}, C = 30^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A D B = 90^{\circ}, E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ C B D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ P B D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ P E$ ；

(2)、若 $A P = 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $E P$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值.

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5、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, \vec{b} = (1, \sqrt{3})$ .

(1)、若 $\vec{a} / /$ $\vec{b}$ ，求 $\vec{a}$ 的坐标；

(2)、若 $(8 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ 的余弦值.

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6、类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线 $P A, P B, P C$ 构成的图形称为三面角 $P - A B C$ ，记 $∠ A P C = α, ∠ B P C = β$ ， $∠ A P B = γ$ ，二面角 $A - P C - B$ 的大小为 $θ$ ，则 $\cos γ = \cos α \cos β + \sin α \sin β \cos θ$ .已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A B = 2, A A_{1} = 3 \sqrt{3}$ .若 $cos ∠ A_{1} A B = cos ∠ A_{1} A D = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ，则二面角 $A - C C_{1} - B$ 的余弦值为.

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $2 a \cos B = b \sin A = 2$ ，则 $a =$ .

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8、若复数 $z = (1 + i) \cdot (2 - i)$ ，则 $|z| =$ .

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $6, E, F$ 分别是 $A B, B C$ 的中点，过 $E F$ 作平面 $α$ ，记 $α \cap$ 平面 $A_{1} B D = l_{1}, α \cap$ 平面 $A D C_{1} B_{1} = l_{2}$ ，且 $α$ 截正方体所得截面多边形为 $Γ$ ，则（）

A、若 $α / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则 $l_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ B、若 $α / /$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ C、若 $B_{1} D ⊥ α$ ，则 $Γ$ 的周长为 $18 \sqrt{2}$ D、若 $B_{1} D ⊥ α$ ，以 $B_{1}$ 为顶点， $Γ$ 为底面的几何体的外接球的表面积为 $75 π$

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10、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，点 $P$ 是边 $B C$ 上的一个动点，点 $M$ 是边 $A C$ 的中点，且 $(2 b - c) cos A = a cos C$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2$ C、若 $b = 1, c = 2, A P$ 平分 $∠ B A C$ ，则 $A P = \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、若 $b = 1, c = 2$ ，当 $∠ A P M$ 最大时， $C P = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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11、有一组样本数据 $x_{1}, 2, 2, 3, 3, x_{2}$ ，其中 $x_{1} < 2, x_{2} > 3$ ，则（）

A、该组数据的中位数为2.5 B、该组数据的极差大于1 C、该组数据的平均数等于 $2, 2, 3, 3$ 的平均数 D、该组数据的方差不小于 $2, 2, 3, 3$ 的方差

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12、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的面积为20，且 $b^{2} + c^{2} = \frac{17}{9} a^{2}$ ，点 $M$ 在其内部，满足 $△ M A B, △ M A C, △ M B C$ 的面积之比为 $1 : 1 : 3$ .若 $B M = 4$ ，则 $C M =$ （）

A、4 B、6 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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13、在三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}, △ A B C$ 是以 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形，且 $A C = 2 A_{1} C_{1} = 2 A A_{1} = 2 C C_{1}$ ，则二面角 $B - A C_{1} - C$ 的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、2

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14、一个盒子中装有标号为 $1, 2, 3, 4, 5$ 的5张标签，有放回地随机选取两张标签，记事件 $A =$ “两张标签标号之积大于15”，事件 $B =$ “第一张标签标号小于3”，则（）

A、 $P (A) = \frac{3}{25}$ B、 $P (B) = \frac{3}{5}$ C、 $A$ 与 $B$ 互斥 D、 $A$ 与 $B$ 相互独立

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15、设 $α, β$ 是两个平面， $m, n$ 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α, α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $β$ B、若 $α$ $∥$ $β, m ⊥ α, n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ⊥ β, m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ β$ D、若 $m$ $∥$ $α, m \subset β, α \cap β = n$ ，则 $m$ $∥$ $n$

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16、一个袋中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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17、在 $△ O A B$ 中， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，记 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{O D} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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18、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $B = 45^{\circ}, a = 3, c = \sqrt{2}$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $\sqrt{21}$

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19、已知复数 $z$ 满足 $i \cdot z = 3 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - 3 i$ B、 $- 1 + 3 i$ C、 $1 - 3 i$ D、 $1 + 3 i$

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20、已知函数 $f (x)$ 的定义域为D，S为非空数集，对 $\forall x_{1}, x_{2} \in D$ ，若 $x_{1} + x_{2} \in S$ ，均有 $f (x_{1}) \cdot f (x_{2}) \in S$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (S)$ ．

(1)、求证： $f (x) = x$ 不具有性质 $P ([0, + \infty))$ ；

(2)、若 $f (x) = e^{g (x)}$ ，且 $f (x)$ 具有性质 $P (\{1\})$ ，
①是否存在满足条件的 $g (x)$ ，使得 $g (x)$ 为周期函数，若存在，请写出一个满足条件的 $g (x)$ ，若不存在，说明理由；
②若 $g (x) = \frac{1}{a x + b}$ ， m，n为方程 $g (x) - g (x + a) = \frac{1}{x}$ 的两根，求 $\frac{m}{n}$ 的取值范围．

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