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相关试卷

1、若 $\vec{a} = (2, - 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ （）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、3 D、5

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2、若集合 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{y| y = \sqrt{x}, x \in R\}$ ，则 $α \in A$ 是 $α \in B$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，短轴端点和长轴端点间的距离为 $\sqrt{7}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过左焦点的直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 在 $C$ 上.
（i）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 为坐标原点，求直线 $A B$ 的方程；
（ii）若 $△ P A B$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，求 $G$ 的横坐标的取值范围.

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4、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $P B = 2 \sqrt{6}$ ， $P C = 6$ ， $∠ B A D = 60 °$ .

(1)、证明： $P A = P D$ ；

(2)、若二面角 $P - A D - B$ 的余弦值为 $- \frac{1}{3}$ ，求直线 $B C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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5、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - 1$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上的值域；

(2)、若存在 $x_{0} > 1$ ，当 $x \in (0, x_{0})$ 时， $f (x) < 0$ ，求 $a$ 的取值范围.

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6、记 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} b \sin A = a (\cos B + 1)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、设 $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，若 $C D = 2 \sqrt{3}$ ， $a = 2$ ，求 $b$ .

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 等可能取 $- 1$ ， 0或1，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 0$ ，且 $b_{n + 1} = b_{n} + a_{n}$ ，则 $b_{5} = 0$ 的概率为．

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8、若曲线 $y = e \ln x$ 在点 $(e, e)$ 处的切线与圆 ${(x - a)}^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 $a =$ .

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9、在正三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B$ ， $P A = 1$ ， $Q$ 是底面 $△ A B C$ 内（含边界）一点，则下列说法正确的是（）

A、点 $Q$ 到该三棱锥三个侧面的距离之和为定值 B、顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 到直线 $P Q$ 的距离的平方和为定值 C、直线 $P Q$ 与该三棱锥三个侧面所成角的正弦值的和有最大值 $\sqrt{3}$ D、直线 $P Q$ 与该三棱锥四个面所成角的正弦值的平方和有最大值 $\frac{3}{2}$

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10、下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（）

A、 $y = \sin x$ 与 $y = - \sin x$ B、 $y = x^{3}$ 与 $y = x^{3} - x$ C、 $y = 2^{x}$ 与 $y = 3 \cdot 2^{x}$ D、 $y = \lg x$ 与 $\lg (3 x)$

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11、随着农业现代化的持续推进，中国农业连年丰收，农民收入持续增加，农村活力不断增强，乡村全面振兴的美好蓝图变成现实.某地农科院为研究新品种大豆，在面积相等的 $100$ 块试验田上种植一种新品种大豆，得到各块试验田的亩产量（单位： $kg$ ），并整理得下表：
亩产量
$[150, 160)$
$[160, 170)$
$[170, 180)$
$[180, 190)$
$[190, 200)$
$[200, 210]$
频数
$5$
$10$
$25$
$40$
$15$
$5$
则 $100$ 块试验田的亩产量数据中（）

A、中位数低于 $180 kg$ B、极差不高于 $60 kg$ C、不低于 $190 kg$ 的比例超过 $15 \frac{0}{0}$ D、第 $75$ 百分位数介于 $190 kg$ 至 $200kg$ 之间

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12、摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min.甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了 $k$ 号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则 $k$ 的最小值是（）

A、16 B、17 C、18 D、19

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13、已知直线 $l$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，且 $O A ⊥ O B$ ，过点 $O$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $E (2, 1)$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(2, 0)$ C、 $(- 1, 0)$ D、 $(1, 0)$

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15、若 $\frac{1}{z - 1} = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ B、 $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$

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16、已知集合 $A = {x |x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {- 2, 0, 1, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 1}$ B、 ${- 2, 0, 1}$ C、 ${0, 1, 3}$ D、 ${- 2, 0, 1, 3}$

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17、已知圆 $M : x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点和上顶点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，若 $|A B| = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ ，求 $m$ 的值．

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18、如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，面 $A D E F$ 为矩形，且与面 $A B C D$ 垂直， $∠ B C D = 90^{\circ}$ ， $A D = C D = \frac{1}{2} B C = 1$ ， $D E = \sqrt{2}$ .
（1）证明： $A D // B C$ ；
（2）求平面 $A C E$ 与平面 $B C E F$ 所成的锐二面角的余弦值.

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19、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列，满足 $a_{1} = b_{2} = 2$ ， $S_{5} = 30$ ， $b_{4} + 2$ 是 $b_{3}$ 与 $b_{5}$ 的等差中项.
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ， $T_{n}$ 是数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求 $T_{n}$ .

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20、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 在点 $P (1, 2)$ 处的切线斜率为4，且在 $x = - 1$ 处取得极值．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，求函数 $f (x)$ 的最值．

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亩产量	$[150, 160)$	$[160, 170)$	$[170, 180)$	$[180, 190)$	$[190, 200)$	$[200, 210]$
频数	$5$	$10$	$25$	$40$	$15$	$5$