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相关试卷

1、 $\vec{N M} + \vec{B M} + \vec{A B} - \vec{A M} =$ （）

A、 $\vec{N M}$ B、 $\vec{M N}$ C、 $\vec{A N}$ D、 $\vec{B N}$

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2、若复数 $z = \frac{1 - 2 i}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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3、把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“ $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ”；一方面问题视为从包含 $a$ 的 $n + 1$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素，共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种方法；另一方面，还可以视为取出的 $m$ 个元素中，一类是不含有 $a$ ，共有 $C_{n}^{m}$ 种方法，一类是含有 $a$ ，共有 $C_{n}^{m - 1}$ 种方法，由分类加法计数原理有 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ． “算两次”原理在数学中有广泛的应用．

(1)、若函数 $f (x)$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $2 eln x \leq f (x) \leq x^{2}$ 恒成立，求 $f (\sqrt{e})$ 的值（e为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，角 $B$ 的内角平分线交 $A C$ 于 $D$ ，证明： $(c - a) cos \frac{B}{2} = b cos (A + \frac{B}{2})$ ；

(3)、当 $n \geq 3$ 时，求 $\sum_{k = 1}^{n} [1 + {(- 1)}^{k}] k^{2} C_{n}^{k}$ 的值．（结果用含 $n$ 的式子表示）

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4、为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织 $1000$ 名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔 $400$ 名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分 $150$ 分）整理后绘制成的频率分布直方图．

(1)、估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线；

(2)、从参加预赛的 $1000$ 名学生中随机抽取 $30$ 人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为 $X$ ，求 $E (X)$ ；

(3)、为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的 $600$ 名学生中推荐 $100$ 名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 $0.1$ ，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 $0.4$ ．在入围复赛的 $500$ 名学生中随机抽取 $1$ 名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．

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5、在 $△ A B C$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = 120 °$ ．若平面 $A B C$ 外的点 $P$ 和线段 $A C$ 上的点 $D$ ，满足 $P D = D A$ ， $P B = B A$ ，四面体 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{\sqrt{21}}{6}$ ．

(1)、证明： $B D ⊥ A P$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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6、已知函数 $f (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} cos 2 x - \frac{3}{2} sin 2 x + 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 2, f (A) = 1 - \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积．

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} - b x^{2} + c x + 1$ ，若存在实数 $c$ ，使得 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, b]$ 上有三个零点，则实数 $b$ 的取值范围为．

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8、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3})$ ，满足 $f (x + \frac{π}{2}) + f (x) = 0$ ，实数 $ω$ 可以为．（写出满足条件的一个 $ω$ 即可）

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9、某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的第30百分位数为．

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10、已知正四面体 $A - B C D$ 的棱长为4，四面体内部一点 $P$ （包含边界）到三个侧面 $A B C$ ， $A B D$ ， $A C D$ 的距离之比为 $1 : 1 : 2$ ，则下列说法正确的是（）

A、正四面体 $A - B C D$ 内切球的半径为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、点 $P$ 可以为 $△ B C D$ 的重心 C、 $C D ⊥ B P$ D、 $△ P C D$ 面积的最小值为 $\frac{8 \sqrt{22}}{11}$

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11、设平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{b}| = 2 |\vec{a}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，记 $\vec{c} = t \vec{a} + (2 - t) \vec{b}$ ， $\vec{d} = t \vec{a} + (3 - t) \vec{b}$ ， $t \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在 $t$ ，使得向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直 B、 $|\vec{d}|$ 的最小值为3 C、若 $t = 1$ ，则向量 $\vec{c}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\vec{a}$ D、 $\vec{c} \cdot \vec{d}$ 的最小值为4

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12、设样本空间 $Ω = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且 $A = \{a, b\}$ ， $B = \{a, c\}$ ， $C = \{a, d\}$ ，则下列结论正确的是（）

A、事件 $A, B, C$ 两两互斥 B、事件 $A, B, C$ 两两独立 C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、 $P (A |C) = \frac{1}{2}$

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13、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 c^{2} + a^{2}}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $△ A B C$ 三个内角中最小的角的正弦值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、若函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}} + a$ （ $e$ 为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）的图象上存在关于原点对称的点，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0]$ D、 $(- \infty, \frac{1}{e}]$

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15、关于 ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{14}$ 的展开式，下列说法正确的是（）

A、第 $7$ 项的二项式系数最大 B、当 $x = 1$ 时， ${(x^{3} + \frac{1}{x})}^{14}$ 被 $3$ 除的余数为 $2$ C、展开式中存在常数项 D、展开式中存在连续三项的系数成等差数列

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16、一个袋子中装有除颜色外完全相同的 $6$ 个红球和 $4$ 个白球，从中一次性随机摸出 $3$ 个球，用 $X$ 表示这 $3$ 个球中白球的个数，则下列概率中等于 $\frac{C_{10}^{3} - C_{6}^{3}}{C_{10}^{3}}$ 的是（）

A、 $P (X = 1)$ B、 $P (X \leq 1)$ C、 $P (X \geq 1)$ D、 $P (X = 3)$

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17、已知直线 $y = a (x - 1)$ 与曲线 $y = ln x$ 相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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18、若 $tan θ = 2$ ，则复数 $z = 2 sin θ + icos θ$ （ $i$ 为虚数单位）的模为（）

A、 $\frac{17}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{85}}{5}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$

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19、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X \leq 0) = P (X \geq 2)$ ，则（）

A、 $σ = 2$ B、 $σ^{2} = 2$ C、 $μ = 0$ D、 $μ = 1$

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20、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ B、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 \leq 0$ C、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 1 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 1 < 0$

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