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相关试卷

1、如图所示，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F分别是棱BC， $C C_{1}$ 的中点， $Q$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 内一点，若 $A_{1} Q ∥$ 平面AEF.则线段 $A_{1} Q$ 长度的最大值与最小值之和为.

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2、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，且 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，当向量 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角为钝角时，实数 $λ$ 的取值范围为.

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3、某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm）如下：
性别
人数
平均数
方差
男生
100
172
18
女生
60
164
30
根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差 $s^{2} =$ .

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4、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”．如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”．在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = 2$ ，其外接球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，当此鳖臑的体积V最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = \sqrt{6}$ B、 $V = 6$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $P - A B C$ 内切球的半径为 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{6}}{3}$

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5、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ B、若 $z_{1} = {\bar{z}}_{2}$ ，则 $|z_{1} z_{2}| = {|z_{1}|}^{2}$ C、若 $z_{1}$ 是非零复数，且 $z_{1}^{2} = z_{1} z_{2}$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ D、若 $z_{1}$ 是非零复数，则 $z_{1} + \frac{1}{z_{1}} \neq 0$

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6、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = A A_{1} = 2, B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， E是 $B B_{1}$ 的中点，则异面直线 $C E$ 与 $A C_{1}$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $- \frac{1}{8}$

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7、下列命题中，正确命题的个数是（）
①如果 $a$ ， $b$ 是两条平行直线，那么 $a$ 平行于经过 $b$ 的任何一个平面；
②如果直线 $a$ 和平面 $α$ 满足 $a / / α$ ，那么 $a$ 与平面 $α$ 内的任何一条直线平行；
③如果直线 $a$ ， $b$ 满足 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ ；
④如果直线 $a$ ， $b$ 和平面 $α$ 满足 $a / / b$ ， $a / / α$ ， $b ⊄ α$ ，那么 $b / / α$ ；
⑤如果平面 $α$ 的同侧有两点 $A$ ， $B$ 到平面 $α$ 的距离相等，则 $A B / / α$ .

A、0 B、1 C、2 D、3

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8、从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A=“抽到的两人都是男生”，事件B=“抽到1名男生与1名女生”，则（）

A、在有放回简单随机抽样方式下， $P (A) = \frac{1}{2}$ B、在不放回简单随机抽样方式下， $P (B) = \frac{1}{4}$ C、在按性别等比例分层抽样方式下， $P (A) = \frac{1}{3}$ D、在按性别等比例分层抽样方式下， $P (B) = 1$

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9、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A B C D$ ，如图所示， $∠ A B C = 45^{°}, A B$ $= A D = 1, D C ⊥ B C$ ，则原平面图形的面积为（）

A、 $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10、已知复数 $z$ 满足 $| z | = 2$ ，则 $| z + 3 + 4 i |$ 最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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11、基本不等式可以推广到一般的情形：对于 $n$ 个正数 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 $\frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \dots a_{n}}$ ，当且仅当 $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ 时，等号成立．若无穷正项数列 $\{a_{n}\}$ 同时满足下列两个性质：① $\exists M > 0, a_{n} < M$ ；② $\{a_{n}\}$ 为单调数列，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

(1)、若 $a_{n} = n + \frac{4}{n^{2}}$ ，求数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{2^{n} - 1}$ ，记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$ ，判断数列 $\{S_{n}\}$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(3)、若 $c_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ ，求证：数列 $\{c_{n}\}$ 具有性质 $P$ ．

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．过点 $P (2, 0)$ 作直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于点 $A, B$ ．若 $A$ 是椭圆 $C$ 的短轴端点时， $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{A P} = 3$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、试判断是否存在 $l$ ，使得 ${|F_{1} A|}^{2}, \frac{{|F_{1} P|}^{2}}{2}, {|F_{1} B|}^{2}$ 成等差数列？若存在，求出直线 $l$ 的方程：若不存在，说明理由．

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13、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形ABCD为梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 6$ ， $A D = C D = 2$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，点E在线段AB上，且 $A E = 2$ ， F为BC的中点．

(1)、求证： $C_{1} E ∥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若直线 $D_{1} E$ 与平面ABCD所成角的大小为45°，求二面角 $B_{1} - E F - C_{1}$ 的余弦值．

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14、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x + 2 a) e^{x}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2, 7]$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、试讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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15、设直线 $l : x + y - 1 = 0$ ，一束光线从原点 $O$ 出发沿射线 $y = k x (x \geq 0)$ 向直线 $l$ 射出，经 $l$ 反射后与 $x$ 轴交于点 $M$ ，再次经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $N$ ．若 $|\vec{M N}| = \sqrt{5} |\vec{O M}|$ ，则 $k$ 的值为.

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16、春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有种．

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是线段 $A_{1} C$ 上一点，则 $∠ A P D_{1}$ 的大小可以为（）

A、 $\frac{3 π}{4}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{2}$

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18、已知 $△ A B C$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A C}| = 2$ ，且 $| \frac{λ}{2} \vec{A B} + (2 - 2 λ) \vec{A C} |$ $(λ \in R)$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ ，若P为边AB上任意一点，则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C}$ 的最小值是（）

A、 $- \frac{51}{4}$ B、 $- \frac{49}{4}$ C、 $- \frac{9}{16}$ D、 $- \frac{25}{16}$

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19、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的顶点 $(a, 0)$ 到渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的距离为 $\frac{b}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率是

A、2 B、3 C、4 D、5

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20、定义：对于 $f (x)$ 定义域内的任意一个自变量的值 $x_{1}$ ，都存在唯一一个 $x_{2}$ 使得 $\sqrt{f (x_{1}) f (x_{2})} = 1$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为“正积函数”．下列函数是“正积函数”的是（）

A、 $f (x) = \ln x$ B、 $f (x) = e^{x}$ C、 $f (x) = e^{\sin x}$ D、 $f (x) = \cos x$

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性别	人数	平均数	方差
男生	100	172	18
女生	60	164	30