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相关试卷

1、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ，过其右焦点 $F$ 的直线 $2 x - y - 2 = 0$ 交椭圆 $C$ 于B，D两点．

(1)、求 $| B D |$ 的值；

(2)、若 $∠ A F D$ 的角平分线交直线 $x = 5$ 于点 $E$ ，证明：E，A，B三点共线．

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2、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = P D = 6$ ， $E$ 为线段AD的中点， $F$ 为PC上的一点，且 $\vec{C F} = 2 \vec{F P}$ ．

(1)、求直线EF与平面 $P B D$ 所成的角的正弦值；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为45°，且经过点 $P (- 1, 2)$ ．

(1)、求 $l_{1}$ 与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、若直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，且 $P$ 到 $l_{2}$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $l_{2}$ 的方程．

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4、已知椭圆 $Ω$ 的中心在原点，焦点在x轴上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $Ω$ 的两个焦点，动点P在 $Ω$ 上（异于 $Ω$ 的左、右顶点）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的重心为G，若直线 $G F_{1}$ 与 $G F_{2}$ 的斜率之积为非零常数 $λ$ ，则 $λ =$ ．

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5、直线 $l : x - m y + 4 m = 0 (m \in R)$ 经过的定点坐标是．

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6、如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则下列说法正确的是（）

A、若点P满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则点 $P$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、若点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则 $|A_{1} P| + |P D_{1}|$ 的最小值是 $\sqrt{3 + \sqrt{6}}$ C、若点 $P$ 满足 $| A P | = 2 | P C |$ ，则 $|A_{1} P|$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{41} - 2 \sqrt{2}}{2}$ D、若点 $P$ 满足 $| A P | + | P C | = 2$ ，则 $|D_{1} P|$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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7、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，点 $M$ 是 $C$ 上的任意一点，则下列结论成立的是（）

A、 $3 \leq |M F_{1}| \cdot |M F_{2}| \leq 4$ B、 $\sqrt{3} - 1 \leq \vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} \leq 1$ C、 $2 \sqrt{3} \leq |\vec{M F_{1}} + \vec{M F_{2}}| \leq 4$ D、 $\frac{1}{3} \leq \frac{|M F_{1}|}{|M F_{2}|} \leq 3$

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8、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $d_{1}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{1} + 2024 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ ， $d_{2}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} + 2024$ B、 $b_{2} = 2 b_{1} + 2024$ C、 $c_{2} = 2 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1}$

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9、点P是 $△ A B C$ 所在平面外一点， $\vec{P A} \cdot \vec{P C} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = 0$ ， $| \vec{P A} + \vec{P B} | = 8 \sqrt{3}$ ， $P C = 12$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 距离的最大值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、8

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10、人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为 $r_{1}$ ，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为 $r_{2}$ ，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（）

A、 $\frac{r_{2} - r_{1}}{r_{2} + r_{1} + 2 R}$ B、 $\frac{r_{2} + r_{1} - 2 R}{r_{2} + r_{1}}$ C、 $\frac{r_{2} + r_{1}}{r_{2} + r_{1} + 2 R}$ D、 $\frac{r_{2} + r_{1} - 2 R}{r_{2} - r_{1}}$

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11、某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（）

A、0.256 B、0.128 C、0.064 D、0.0256

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12、在三棱锥 $P - A B C$ 中，D，E分别为PA，BC的中点， $\vec{P A} = \vec{a}$ ， $\vec{P B} = \vec{b}$ ， $\vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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13、将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、已知向量 $\vec{a} = (x, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 2)$ ，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{a} | =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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15、样本数据3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位数是（）

A、6.5 B、6 C、5.5 D、5

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a sin B = - \sqrt{3} b cos A$ ，角 $A$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，且 $A D = 1$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{5}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、如图，已知 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $B B_{1} / / A A_{1}$ ， $A B = A C = 3$ ， $B C = 2 \sqrt{5}$ ， $A A_{1} = \sqrt{7}$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{7}$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $B C B_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B C B_{1}$ 所成角的大小；

(3)、若点 $F$ 为 $A_{1} C$ 的中点，求点 $C$ 到平面 $A E F$ 的距离．

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18、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (\sin C, \cos C)$ ， $\vec{n} = (2 \sin A - \cos B, - \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角C的值；

(2)、若 $a = 4$ ，求 $b + c$ 的取值范围.

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19、为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发了《国家学生体质健康标准》，要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作，为做好全省的迎检工作.某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试.并从中随机抽取了500名学生的数据.根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、估计这500名学生健康指数的平均数 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、现从体质健康指数在区间 $[75, 85)$ 和 $[85, 95]$ 内的学生中，用分层抽样法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷，求这3人中恰有2人体质健康指数在区间 $[75, 85)$ 内的概率.

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20、已知ABC中三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且 $B = \frac{π}{3}$ ， $b = 2$ .
（1）若 $c = \frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求 $\sin A$ 的值；
（2）当 $\overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B}$ 取得最大值时，求A的值.

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