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相关试卷

1、已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\overset{⇀}{b} = (2, - 1)$ .
(1)若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，求 $\frac{\sin^{3} θ + \cos^{3} θ}{\sin θ - \cos θ}$ 的值；
(2)若 $|\overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b}| = 2$ ， $θ \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\sin (θ + \frac{π}{4})$ 的值.

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} \tan x, x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{3}] \cup (\frac{2 π}{3}, \frac{3 π}{2}) \\ - \frac{6 \sqrt{3}}{π} x + 3 \sqrt{3}, x \in (\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}] \end{cases}$ 若 $f (x)$ 在区间D上的最大值存在，记该最大值为 $K \{D\}$ ，则满足等式 $K {[0, a)} = 3 \cdot K {[a, 2 a]}$ 的实数a的取值集合是.

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3、已知某圆台的体积为 $(18 + 6 \sqrt{2}) π$ ，其上底面和下底面的面积分别为 $3 π$ ， $6 π$ ，且该圆台两个底面的圆周都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的表面积为.

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4、若 $\sin (α + β) = \frac{1}{3}, \tan α = 3 \tan β$ ，则 $\sin (α - β) =$ ．

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5、设正数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 的最大值为1 B、 ${log}_{2} (x^{2} + y^{2})$ 的最小值为 $- 1$ C、 $\frac{2 x^{2} + 1}{2 x y}$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x y}$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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6、下列命题中，真命题是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ，使得 $e^{x_{0}} \leq 0$ B、 $\sin^{2} x + \frac{2}{\sin x} \geq 3 (x \neq k π, k \in Z)$ C、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{2 m - 1}$ 在 $(0, + \infty)$ 上为减函数，则m的值为 $- 1$ D、 $a > 1$ ， $b > 1$ 是 $a b > 1$ 的充分不必要条件

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7、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，AD＝2， $A B = B C = C D = 1$ ， $A D // B C$ ，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，则直线 $P A$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $1$

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8、平面内有向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{c}| = 2 |\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{a} - \vec{c}| + 2 |\vec{b} - \vec{c}|$ 的最小值是（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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9、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + ϕ) (0 < ω < 6, | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的图象经过点 $(\frac{π}{6}, 2)$ 和 $(\frac{2 π}{3}, - 2)$ .若函数 $g (x) = f (x) - m$ 在区间 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 上有唯一零点，则实数 $m$ 的取值范围是（）.

A、 $(- 1, 1] \cup [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ B、 $\{- 1\} \cup [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ D、 $\{- 2\} \cup (- 1, 1]$

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10、已知甲袋中有4个白球､ $x$ 个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 $x =$ （）

A、2 B、4 C、6或2 D、8或4

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11、下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
衣服裤子类
鞋类
帽子围巾类
其他类
营业收入占比
$91.10 %$
$3.98 %$
$3.62 %$
$1.30 %$
净利润占比
$94.80 %$
$- 0.68 %$
$3.62 %$
$2.26 %$
下列判断中不正确的是（）

A、该公司2021年度鞋类销售亏损 B、该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供 C、该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同 D、清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低

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12、定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = - 3^{|x + m|} + 2$ 为偶函数， $a = f (\log_{2} \frac{1}{2}), b = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{3}})$ ， $c = f (m)$ ，则（　　）

A、 $c < a < b$ B、 $a < c < b$ C、 $a < b < c$ D、 $b < a < c$

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13、考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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14、小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如 $36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3$ ， $74 = 2 \times 37$ 等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数 $n$ ，我们将比 $n$ 小且与 $n$ 互质的正整数的个数记为 $A (n)$ ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以 $A (10) = 4$ ，同理有 $A (12) = 4$ ．

(1)、求 $A (60)$ ， $A (312)$ ；

(2)、求所有 $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ，使得 $A (n)$ 是奇数；

(3)、若正整数 $n = p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ ，其中 $p_{1}, p_{2}, ..., p_{k}$ 表示互不相同的质数．证明： $A (n) = n (1 - \frac{1}{p_{1}}) (1 - \frac{1}{p_{2}}) \dots (1 - \frac{1}{p_{k}})$ .

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15、已知焦点为F的抛物线Γ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆F与Γ在第一象限的交点为P，与x正，负半轴分别交于点H，G．直线PH，直线PF与Γ的另一交点分别为M，N，直线MN与直线PG交于点T．

(1)、若 $|P F| < 2 p$ ，证明： $∠ P N M > 2 ∠ P M N$ ；

(2)、若 $p = 2$ ，求 $S_{△ P N T}$ 的取值范围．

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16、已知无限高圆柱 $O O_{1}$ ．如图，四边形 $A B C D$ 内接于其底面⊙O，P为其内一动点（包括表面），且平面 $P A B ⊥$ 平面 $P A D$ ， $P C ⊥ A B$ ．

(1)、是否存在点 $P$ 使得直线 $B C ⊥$ 平面 $P C D$ ？试判断并说明理由．

(2)、若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O D} = \vec{0}$ ，二面角 $P - A B - C$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，求 $A P$ 最大时直线 $P C$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值．

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17、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = a x - \ln x$ ， $g (x) = \frac{e^{x}}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、分别说明 $f (x)$ ， $g (x)$ 的单调性；

(2)、若函数 $f (g (x))$ 存在唯一极小值点，求 $a$ 的取值范围．

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18、俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B卷难度更大）：
某俱乐部标准资格测试参试成绩预测

不及格
及格
良好
优秀
A卷
a
b
16
4
B卷
20
12
6
2

(1)、若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a的最小值；

(2)、在预测的40份B卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X
①求X的分布列及数学期望；
②人教A版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n远远小于N时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
α
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

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19、给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：
记 $2, 3, 5$ 经Ξ延伸后得到的无穷数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{2024} =$ ．

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20、甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A和B．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：
①A、B中相同的数字少于两个（如147和289）
②A、B中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）
根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为．

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	衣服裤子类	鞋类	帽子围巾类	其他类
营业收入占比	$91.10 %$	$3.98 %$	$3.62 %$	$1.30 %$
净利润占比	$94.80 %$	$- 0.68 %$	$3.62 %$	$2.26 %$

α	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

	不及格	及格	良好	优秀
A卷	a	b	16	4
B卷	20	12	6	2